談數(shù)學(xué)教學(xué)中“猜想與直覺思維”能力的培養(yǎng)

陶 強(qiáng)

(重慶市潼南中學(xué)校 重慶 402660)

著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說，“要成為一個好的數(shù)學(xué)家，……你必須首先是一個好的猜想家”“數(shù)學(xué)也許往往像猜想游戲，在你證明一個數(shù)學(xué)定理之前，你先得猜測到這個定理的內(nèi)容，在你完全作出詳細(xì)證明之前，你先得推測證明的思路”“在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，猜想是合理的，值得尊重的，是負(fù)責(zé)任的態(tài)度”。高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)明確指出，要組織、引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)過程”。通過有目的的假設(shè)與猜想，從而進(jìn)行檢驗與論證、歸納，可以解決很多數(shù)學(xué)問題。

一、明確直覺思維能力與猜想能力培養(yǎng)之間的關(guān)系

（一）猜想為直覺思維的發(fā)生創(chuàng)造有利條件

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，給學(xué)生留一定的空間與時間讓他們有思考的余地，巧妙設(shè)置問題與提示，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識、原理，對知識的內(nèi)在、外在進(jìn)行聯(lián)系，歸納、類比及整合。對問題進(jìn)行合理探究，大膽對問題進(jìn)行假設(shè)與猜想，再通過反復(fù)推理、檢驗、研究、論證得出正確的結(jié)論，把課堂真正地交給學(xué)生，發(fā)揮學(xué)生的主體性地位，時時給予肯定、點撥，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造力，激發(fā)學(xué)生的直覺思維[1]。

（二）直覺思維能力的培養(yǎng)可加強(qiáng)猜想能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)猜想是根據(jù)已知數(shù)學(xué)條件和數(shù)學(xué)原理對未知量及其關(guān)系做出的假設(shè)與推斷，是一種探索性思維。猜想與數(shù)學(xué)直覺有密切關(guān)系。物理學(xué)家牛頓認(rèn)為“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”“預(yù)見結(jié)論，途徑便可以有的放矢”。解決數(shù)學(xué)問題的過程中，教師可以將自己的思維切入點及猜想角度剖析給學(xué)生，從而激發(fā)學(xué)生利用直覺及對問題獨特的觀察力進(jìn)行大膽猜測。

二、數(shù)學(xué)猜想和直覺思維能力培養(yǎng)應(yīng)具備的基本條件

（一）教師首先要會猜想

一位既不懂猜想也不會猜想的教師不能培養(yǎng)出具有高水平猜想能力的學(xué)生。教猜想必須懂猜想、會猜想。數(shù)學(xué)教師具備較高的猜想能力，懂得現(xiàn)代教育心理理論，大膽地猜想和教猜想，同時密切關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展?fàn)顩r，摸索猜想規(guī)律，總結(jié)經(jīng)驗，并在理論上加以探索、論證。

（二）探索適合猜想的數(shù)學(xué)教學(xué)模式

數(shù)學(xué)教學(xué)必須注重知識的發(fā)生過程，但真正能做到展示知識的生動發(fā)生過程的，惟有讓學(xué)生參與猜想。要真正體現(xiàn)學(xué)生的主體性，就必須使學(xué)生的認(rèn)知過程是一個再創(chuàng)造的過程。數(shù)學(xué)教師必須發(fā)揮自己的聰明才智，總結(jié)當(dāng)前好的教學(xué)模式，探索出符合培養(yǎng)猜想能力的教學(xué)模式。

（三）做好猜想的學(xué)法指導(dǎo)

拉卡托斯指出：樸素的猜想構(gòu)成了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯實際出發(fā)點。從某種意義上可以斷言，沒有猜想和證明就沒有數(shù)學(xué)。因此，應(yīng)教會學(xué)生怎樣猜想，如引導(dǎo)他們怎樣整合材料、提出疑問，如何猜想結(jié)果或問題解決的途徑；介紹各種實現(xiàn)猜想的途徑、步驟、規(guī)律、方法；共同研究猜想途徑的合理性和有效性等。

三、數(shù)學(xué)猜想和直覺思維能力的培養(yǎng)基本方法

（一）歸納性方法猜想

歸納法是先提出猜想之后再證明的。數(shù)學(xué)教師要選擇具有可猜因素的材料，讓學(xué)生在問題情境中去思考，根據(jù)一定數(shù)量的特例進(jìn)行觀察、分析，應(yīng)用不完全歸納法得出有關(guān)命題的形式、結(jié)論或方法的猜想，叫歸納猜想。歸納猜想是數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的一種基本方法，而且，在解題中由歸納猜想可以發(fā)現(xiàn)解題思路，發(fā)現(xiàn)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，從而獲得超越原有知識的認(rèn)識水平[2]。

例：求前n個自然數(shù)的立方和。

分析：先用幾個具體的數(shù)字試試看：

13=12

13+23=9=(1+2)2

13+23+33=36=62=(1+2+3)2

歸納猜想：13+23+…+n3=(1+2+…+n)2

這個猜想的正確性可由數(shù)學(xué)歸納法加以證明。

（二）運(yùn)用類比方法猜想

通過比較兩個對象或問題的相似性——部分相同或整體類似，得出數(shù)學(xué)新命題或新方法的猜想叫類比猜想。它是一種從特殊到特殊的推理方法，在解決數(shù)學(xué)問題時，無論是對命題本身或解題思路方法，類比都是產(chǎn)生猜測、獲得命題的推廣和引伸的原動力。比如，學(xué)習(xí)對數(shù)后，根據(jù)對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，可讓學(xué)生對照指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)“猜想”對數(shù)是否也有運(yùn)算性質(zhì)，并通過對一些特殊的對數(shù)值（如lg1，lg2，…lg9，lg10）之間的關(guān)系歸納對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，讓學(xué)生在類比、歸納中得出運(yùn)算性質(zhì)，這樣有利于提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新意識[3]。

（三）直觀性方法猜想

直觀猜想是指在整體觀察和細(xì)部考察的結(jié)合中發(fā)現(xiàn)事物的內(nèi)在規(guī)律，作出直覺判斷和猜想。例如，三角形的內(nèi)角和是180度。這是一個十分重要的概念。在教學(xué)中我讓學(xué)生自己動手操作，自己尋求三角形內(nèi)角和的答案。這時，有的學(xué)生將三角形的三個角分別剪下來，拼在一起是一個平角；有的學(xué)生剪下三角形的兩個角后，再與第三個角拼在一起同樣可以得出結(jié)論；還有的學(xué)生則用量角器分別量出每個角的度數(shù)，把三個角度數(shù)相加。

教師要給學(xué)生營造一種寬松、和諧的猜想氛圍，并鼓勵學(xué)生積極尋找猜想的依據(jù)，探索猜想的合理性和準(zhǔn)確性，通過自己的實踐操作檢驗猜想的真?zhèn)?。在?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，猜想的功能是強(qiáng)大的，它可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們不斷探索、收獲。它能增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，使他們更為透徹地理解和掌握數(shù)學(xué)知識；它又能開拓學(xué)生的思維，有利于學(xué)生更快捷地尋找解題思路。有利于更為透徹地理解和掌握數(shù)學(xué)知識。

讓我們點燃學(xué)生主動探索之火，讓學(xué)生去猜、去想，猜想問題的結(jié)論，猜想解題的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想知識間的有機(jī)聯(lián)系，讓學(xué)生把各種各樣的想法都講出來，真正成為學(xué)習(xí)的主人。