含參量瑕積分的相關(guān)性質(zhì)

李彩霞

[摘? ? ? ? ? ?要]? 含參量瑕積分作為一種積分函數(shù)，在數(shù)學分析中起著非常重要的作用，我們曾接觸過含參量正常積分，也充分了解了它的一些相關(guān)性質(zhì)并能解決一些問題.而含參量瑕積分的應用也是很廣泛的，故將給出含參量瑕積分的相關(guān)性質(zhì)。其中包括含參量瑕積分一致收斂性的判定和含參量瑕積分的分析性質(zhì).從含參量無窮限積分的一致收斂的判定定理和分析性質(zhì)的研究方向和證明方法出發(fā)，分別給出含參量瑕積分一致收斂性的判定定

理及其證明和分析性質(zhì)的證明過程.

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 含參量瑕積分;一致收斂性;分析性質(zhì)

[中圖分類號]? O174? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2020）10-0194-02

一、預備知識

定義1：設(shè)函數(shù)f（x，y）在區(qū)域D=[a，b]×[c，d）上有定義.對于任意的x∈[a，b]，y=d都是函數(shù)f（x，y）的瑕點，則稱x，y）dy是含參變量x的瑕積分。

定義2：對任意ε>0，總存在0<δ

定義3：設(shè)x∈[a，b]，y=d都是f（x，y）的瑕點，若存在ε>0，對于任意的η>0，存在η使0<η<ε，當x∈[a，b]，（x，y）dy≥ε，則稱y）dy在[a，b]上非一致收斂.

二、含參量瑕積分的一致收斂性判定定理

（一）一致收斂柯西準則

含參量瑕積分在[a，b]上一致收斂的充要條件是：對任意給定的正數(shù)ε，存在不依懶于x的δ>0，使得當0<η'<η<δ時，對一切x∈[a，b]，都有：[必要性]：若含參量瑕積分義可知：對任意的正數(shù)ε，總存在某正數(shù)δ

（二）魏爾斯特拉斯M判別法

由含參量瑕積分一致收斂柯西準則即可得證.

（三）Heine歸結(jié)原則

（四）狄利克雷判別法

（2）對任意的x∈[a，b]，函數(shù)g（x，y）為關(guān)于y的單調(diào)函數(shù)，且對參量x，函數(shù)g（x，y）在[a，b]上一致有界。則含參量瑕積（x，y）g（x，y）dy在[a，b]上一致收斂。

證明：由條件可知存在M>0，對任意x∈[a，b]，有g(shù)（x，y）≤M又由2.4證明方法得證。

三、含參量瑕積分的分析性質(zhì)

（一）定理1：連續(xù)性

證明：由已知f（x，y）連續(xù)及I（dy在[a，b]上收斂可得，對任意的x，x）dyx和I（x+Δx）.且Δx→0時，

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◎編輯 陳鮮艷