MPCK視角下線性回歸方程的意義理解

朱曉語

【摘要】舒爾曼提出的學科教學知識的兩個主要成分是教師對學科知識的表征以及對學生特定的學習困難的理解.其實，在現(xiàn)實教學中兩者應該是互相交織在一起的，數(shù)學教師有越多的對數(shù)學學科知識深入透徹的理解，才能擁有更多的對數(shù)學知識的表征方式，這樣才能更好地了解學生在這部分知識的學習中存在的困難，從而促進數(shù)學教學.本文以人教A版高中數(shù)學必修3中“線性回歸方程”內(nèi)容為例，探討在線性回歸方程的教學中，教師應該具備怎樣的數(shù)學學科知識才能讓學生更好地理解線性回歸方程.

【關鍵詞】線性回歸方程;MPCK;數(shù)學教學;理論

1 引言

教師的MPCK是數(shù)學教育研究的熱點問題.發(fā)展數(shù)學教師的MPCK不僅是數(shù)學教育工作者的普遍訴求，也是社會各界對數(shù)學教育行業(yè)的殷切期望.

2 MPCK視角下的分析

筆者在2016年10月至2017年2月期間，對武漢市部分高中的教師和學生進行了深入調(diào)研.調(diào)研發(fā)現(xiàn)：對于高中數(shù)學教材來說，線性回歸方程的公式和相關系數(shù)r只有最后簡明扼要的結果.因此，筆者認為首先要解決的問題就是數(shù)學教師對數(shù)學學科知識的理解，也就是數(shù)學教師的MK.下面以數(shù)學教師應該對這部分內(nèi)容有怎樣的理解為目的，從一個特例出發(fā)，對線性回歸方程的公式推導和相關意義的理解進行闡述.

2.1 用最小二乘法理解系數(shù)a，b的意義

值得注意的是，教材中引入線性回歸方程的內(nèi)容時總會提到最小二乘法，最小二乘法（簡稱GLS，又稱最小平方法，在古漢語中“平方”稱為“二乘”）是一種數(shù)據(jù)處理優(yōu)化的方法，但是在實際的教學中學生可能很難理解最小二乘法的意義.筆者認為，最小二乘法就是兩次配方，下面的推導就能體現(xiàn)這種容易理解的說法.

問題：設x與y是具有線性相關關系的兩個變量，且相應于樣本的一組觀測值為：（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），…，（xn，yn）.如何求線性回歸方程呢？

設所求的線性回歸方程為y^i=bxi+a（i=1，2，3，…，n），顯然，上面的各個偏差的符號有正有負，如果將它們相加會相互抵消一部分，那么它們的和就不能代表n個點與回歸直線整體上的接近程度，因而采用n個偏差的平方和Q來表示n個點與相應回歸直線在整體上的接近程度，即∑n[]i=1（yi-y^i）2=（y1-bx1-a）2+（y2-bx2-a）2+…+（yn-bxn-a）2，求出當Q取最小值時的a，b的值，就求出了線性回歸方程.

但是能夠直接求解嗎？應該怎么求呢？不妨先從簡單情況入手獲取求解線性回歸方程的思路.

【特例】設x與y是具有線性相關關系的兩個變量，且相應于樣本的一組觀測點的坐標分別是（1，1），（2，2），（3，4），試求線性回歸方程.

分析：根據(jù)線性回歸方程的概念可知，所得的線性回歸直線應該使得各個點到這條直線的縱向距離之和最小，現(xiàn)在令Q為各個點到所求直線的距離平方之和.

2.1.2 線性回歸方程公式的推導

3 結語

高中數(shù)學教師應該掌握適當?shù)母叩葦?shù)學的知識，在初等數(shù)學和高等數(shù)學之間建立聯(lián)系，將復雜煩瑣的初等數(shù)學知識轉(zhuǎn)化成推導容易的高等數(shù)學知識，這樣可以使自己對學科內(nèi)容的理解更加深入，從而保證數(shù)學教學的嚴謹性.高中數(shù)學教師在高等數(shù)學觀點下審視和研究自己在教學實踐中遇到的疑難問題，能夠激發(fā)自己的教學熱情，勇于探索，不斷進步，對教師的專業(yè)發(fā)展無疑是十分有利的.

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