借多元表征，悟數學概念

陳綺琳

【摘要】數學概念是反映事物在空間形式與數學關系方面的關鍵屬性或本質屬性的基本單位.數學概念的教學是數學教學中重要的內容之一，對于計算和應用題的解決起著重要的作用.多元表征是符號表征、語言表征、操作表征、情境表征、圖形表征等外在表征形式的綜合，多元表征有利于學生加深對數學知識的理解，有利于學生構建良好的知識結構，增強學生全面審視問題的能力，并且?guī)椭鷮W生形成最優(yōu)化的解題策略，因此運用多元表征理論指導概念教學具有重要的意義.筆者對如何在概念教學中恰當運用多元表征進行實踐研究，以北師大版五年級上“分數的再認識”一課的教學為例，探討如何借多元表征悟數學概念，幫助學生達到正確地理解、運用分數的概念，發(fā)展學生數學理解和應用能力.

【關鍵詞】多元表征;動作表征;表象表征;口語表征;概念教學

表征是指信息在心理活動中的表現和記載的方式[1].數學外在表征（簡稱數學表征）是指用某種形式表達數學概念或關系的行為，也是指形式的本身[2].美國教育心理學家布魯納認為：在人類智慧生長期，有三種表征方式在起作用，它們分別是動作表征、表象表征和符號表征.這三種表征系統(tǒng)的相互作用，是人類認知生長和智慧生長的核心.三種不同表征代表著思維活動的不同程度.學生獲得數學概念往往是以線性方式從動作表征到表象表征，最后通過抽象思維形成符號表征.美國學者萊什從交流、認知的作用出發(fā)，在布魯納的表征系統(tǒng)的基礎上增加了口語和實物情景兩種表征，他認為數學學習中有五種外在表征形式：（1）實物情境;（2）教具模型;（3）圖形或圖表;（4）口語;（5）書寫符號[3].他曾借助圖形來說明數學概念的發(fā)展過程：實物操作只是數學概念發(fā)展的一個方面，其他的表述方式如圖形、書面語言、符號語言、現實情境等同樣也發(fā)揮了十分重要的作用.萊什的論述顯然具有重要的現實意義，即是指我們在教學中不應片面地強調“情境設置”或“動手實踐”.另外，從更為一般的角度分析，這實際上也可以被看成為我們如何更好地去理解數學教育領域中這樣一個普遍的發(fā)展趨勢提供了直接的背景，即是指對于“聯(lián)系”的突出強調（當然，對于這里所說的“聯(lián)系”我們應作廣義的理解，即這不僅是指同一概念不同心理表征之間的聯(lián)系，也是指不同概念乃至不同學科或學科分支之間的聯(lián)系）.例如，美國數學教師全國委員會在2000年頒布的新的數學課程標準就將“聯(lián)系”與“數和運算”“模式、函數和代數”“幾何與空間感”“度量”“數據分析、統(tǒng)計與概率”“問題解決”“推理與證明”“交流”“表述”等一起列為學校數學的“十項標準”.

20世紀80年代以來，隨著現代信息技術在教育領域的應用，多元外在表征的研究成為認知科學、教育技術、教育心理學等領域的熱門話題.多元表征是符號表征、語言表征、操作表征、情境表征、圖形表征等外在表征形式的綜合，多元表征有利于學生加深對數學知識的理解，有利于學生構建良好的知識結構，增強學生全面審視問題的能力，并且?guī)椭鷮W生形成最優(yōu)化的解題策略.因此，運用多元表征理論指導概念教學具有重要的意義.數學學習中多元外在表征的研究主要趨勢是：綜合運用多種理論和多種研究方法，深入探討多元外在表征研究對數學學習的價值與意義，建構數學學習中多元表征研究的基本理論;系統(tǒng)思考各種因素，探討運用多元外在表征的教學設計，提高學習效率.

在數學學習中，數學多元表征是指同一數學學習對象的多種表征形式.南京大學哲學系鄭毓信教授指出，“概念教學的一個主要目標是幫助學生建立概念的多元表征，并能根據需要與情境在表征的不同成分之間做出靈活的轉換”.我們在概念教學中不應片面地強調“情境設置”或“動手實踐”，應當注重不同表征之間的有機融合，幫助學生深刻領悟數學概念的本質[4].現以北師大版五年級上“分數的再認識”一課的教學為例，對概念教學的多元表征進行探討.

一、在動作表征中初悟概念

所謂動作表征，是指通過動作反應對知識進行表征，有些數學概念的定義就是通過動作的描述來表征的.小學生的思維以直觀、形象思維為主.教學概念時，教師應選擇動態(tài)的直觀材料，通過操作演示，引導學生觀察、感知隱藏在動作或實物中的數學概念，幫助學生形成概念的直觀表象.

課程開始，教師先請兩名學生代表上臺分別取出兩個相同盒子里糖果的1[]2，其中一名學生代表取出了一個糖果.接著，教師讓臺下的同學猜一猜另一名學生可能會取出多少個糖果.學生在猜想的同時思考自己猜想的理由.當第二名學生取出3個糖果時，教師疑惑地請教臺下的學生：“同樣是盒子里糖果的1[]2，為什么取出來的糖果數量不一樣呢？”隨著學生的思考與解答，教師把兩個盒子里的糖果總數同時展示給學生觀察，并把取的過程再重新演示一遍，幫助學生感知動作表征與分數概念原型之間的內在聯(lián)系，促進他們主動形成同一個分數表示多少的相對性直觀表象，初步感悟整體.然后教師進行追問：“拿出來的數量不一樣，為什么還都是1[]2？”學生在互動中初步感悟不管整體的數量是多少，只要把整體平均分成兩份，取其中的一份，這一份就占這個整體的二分之一，從而構建了分數的概念，為接下來對分數概念的歸納概括打下基礎.

二、在表象表征中領悟概念

所謂表象表征，是指用心理表象來表征知識.兒童對實物直覺和知覺后在記憶中會留下它的形象、肖像或圖片等，通過表象可以獲得知識.認知心理學研究表明，許多兒童在具體的活動經驗與數學的形式之間的聯(lián)結會有許多的困難，這其中的主要原因是缺乏表象操作（半具體、語言、抽象的數學符號）的中間層次，這就需要教師關注表象操作的層次[5].學生對分數概念的再認識，既不能僅僅停留在具體實物上，也不能一蹴而就地從實物原型直接抽象出分數概念.學生從動作表征中獲得概念的初步表象后，教師應用表象操作，即半具體、語言、抽象的數學符號來揭示概念的本質屬性.

教學時，教師應把教學的重點放在對3[]4的表象表征上.因為對分數概念的理解過程是不應該由教材或教師替代學生進行的，所以必須讓學生自己經歷，自己體驗和感悟.只有這樣，學生才會構建屬于自己對分數概念的理解.信息加工理論的學者認為：有了正確的表征，問題就已經解決了一半.布魯納更是直接說：“學習的重點不在于記憶，而在于編碼.”表征（編碼）的重要性在“分數的再認識”的教學中表現得尤為突出.當學生樂于并有能力表征3[]4這個分數時，學生對分數的再認識已是水到渠成的事了.而學生獲得用自己的方式表征的數學概念，才是對其后續(xù)學習最有價值的東西.

北師大版教材直接用三組不同的圖畫呈現對3[]4的表示，而教師進行了改編，鼓勵學生用自己喜歡的方式表示3[]4.在這個環(huán)節(jié)里，教師為學生提供充足的探索時間，學生在獨立探索、嘗試表征的過程中在自己的腦海里對分數概念進行了回憶、提取、分析、構建與創(chuàng)編，聯(lián)系第一個環(huán)節(jié)取糖果的動作表征學習，部分學生必然對分數有更多的、新的想法，這樣的一個對分數的表象表征過程有利于學生對分數概念的深入領悟，同時，畫一畫、圈一圈、寫一寫使得學生的思維看得見.這時，教師可以走到學生中了解學生的真實思維，并選擇有代表性的作品進行展示.教師在展示學生的作品時先展示多幅把一個物體看作一個整體的作品，再展示多幅把多個物體看作一個整體的作品，最后展示多幅把多組物體看作一個整體的作品.教師要充分尊重學生，鼓勵學生結合自己的圖形嘗試用自己的語言多元表征對3[]4的理解.對于把多組物體看作一個整體的作品，鼓勵學生大膽質疑，這是本課的一個難點.學生要嘗試把多個物體分成多組物體，對分數構成中分母表示平均分成了幾份，分子表示取這樣的幾份有一個非常清晰的概念，根據腦海中分數的概念才能用圖形表征出來.當這些學生把自己對于3[]4的理解的作品介紹給同學們聽時，其他同學隨時提問，在生生互動、師生互動中幫助學生拓展分數概念的外延，對分數的本質屬性的理解也由淺至深，使學生產生真問題、真思考，培養(yǎng)學生思維的靈活性.學生把新舊知識進行聯(lián)系學習，將原來對分數的認知遷移到新知，進行深度學習，突破了教學的重難點.

三、在口語表征中頓悟概念

所謂口語表征，就是運用日?？谡Z、數學特殊語言和專用名詞表征知識.語言是思維的外殼，口語表征有助于概念的提煉.概念的外顯特征易于識別，結構中隱含的本質屬性則需要強化，否則，學生學習概念時極易出現只記表象而不知內涵的現象.因此，教師不僅要引導學生識別概念的外在特征，還要引導學生經歷概念形成語言表征的過程.

教學時，教師先讓學生獨立思考后小組討論：為什么同樣都表示3[]4，所表示的數量卻不一樣？學生在討論中理解到整體不一樣，它們的3[]4就不一樣.這個整體可以是以前學過的1個圖形，還可以擴展為多個圖形、多組圖形.教師接著再追問：“整體不同，為什么都可以用3[]4表示？”學生在交流中梳理出3[]4的意義，體會變與不變的數學思想.有了前面的鋪墊，教師再鼓勵學生用自己的語言嘗試概括出分數的意義.學生通過口語表征完善構建分數概念的完整意義——把一個整體平均分成若干份，其中的一份或幾份可以用分數表示.這個環(huán)節(jié)需要注意讓每個學生都有思考與口語表征的時間與空間，切忌過早用嚴格唯一的分數概念定義去束縛學生的思維.

四、在多元表征中徹悟概念

學生在前面已經學習了分數的初步認識，經歷了分數概念的符號表征，現在經過動作表征、表象表征和口語表征后，學生已經能較完整地理解分數的概念了.如果教師再提供一些變式練習，將有助于學生對概念多元表征之間的互相轉換，達到徹悟分數概念的目的.

鞏固環(huán)節(jié)，教師設計了由易到難的變式練習：先看圖找分數，由部分找整體，由部分找部分，實現符號表征到圖形表征的轉化.接著是說一說生活中分數的意義，重點引導學生關注分數對應的整體，讓學生感受分數與生活的密切聯(lián)系，利用情境表征幫助部分學習困難的學生更好地徹悟分數概念.緊接著是實踐題：巴黎圣母院中圓形玻璃塊數的1[]4需要修復，方形玻璃塊數的3[]4需要修復，需要修復的圓形玻璃和方形玻璃哪個塊數多呢？學生用自己喜歡的方式獨立解決問題.在解決問題的過程中，有的學生是用圖形表征，有的學生是用數學符號表征，有的學生是用口語表征，有的學生是用數學語言表征，有的學生甚至能用多種方法表征，并且能在不同的表征方法之間進行靈活的轉化，他們都實現了對分數概念的深度學習，對分數大小的相對性有了深刻的認識，再次認識到整體的重要性，并學會用假設的數學方法來驗證自己的方法是否正確.最后，布置課后多元表征作業(yè)：對分數的再認識做一張手抄報.

總之，遵循學生的認知規(guī)律與起點，引導他們經歷多元表征過程，溝通聯(lián)系各種表征，能夠使他們從多維度徹悟概念.

【參考文獻】

[1]荊其誠.簡明心理學百科全書[M].長沙：湖南教育出版社，1992.

[2]鞏子坤.程序性知識教與學研究[M].南寧：廣西教育出版社，2009.

[3]唐劍嵐.數學多元表征學習及教學[M].南京：南京師范大學出版社，2009.

[4]鄭毓信.多元表征理論與概念教學[J].小學數學教學參考，2011（05）：2-4.

[5]顧泠沅等.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.