高中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培育的教學(xué)案例分析

吳必元

【摘要】高中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在六大核心要素，這些要素可以使學(xué)生創(chuàng)立正確的數(shù)學(xué)思維模式，養(yǎng)成獨立思考的良好習(xí)慣，并鍛煉學(xué)生分析、解決問題的能力，提升學(xué)生的綜合素質(zhì).本文就六大核心要素中的數(shù)學(xué)建模教學(xué)進行分析討論，以教材“貨船進出港時間問題”一課的三角函數(shù)模型為例，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想，并提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模水平.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模素養(yǎng);教學(xué)案例;三角函數(shù)模型

數(shù)學(xué)建?；顒有枰獙W(xué)生積極配合教師的教學(xué)活動，以小組的形式展開課題討論，并分析課題中的疑難點，在小組成員的共同努力下，合力解決問題，最終將討論內(nèi)容以報告的形式呈現(xiàn)[1].這種教學(xué)方式被列入《普通高中課程標準》課程內(nèi)容中，在普通高中的數(shù)學(xué)教學(xué)中廣泛應(yīng)用，提升學(xué)生的綜合能力.

一、數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容

數(shù)學(xué)建模就是把數(shù)學(xué)當(dāng)中的實際問題抽象化，以數(shù)學(xué)特有的表達方式，靈活運用數(shù)學(xué)思維、知識等構(gòu)建假想模型，進行研究推理，從而達到解決問題的目的.這一過程需要學(xué)生大膽想象，集思廣益，互相碰撞出思維火花，從不同角度、不同出發(fā)點共同解決問題，從而開拓學(xué)生的思維寬度，有效提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的質(zhì)量.

二、研究分析數(shù)學(xué)建模教學(xué)模式

1.方式制定

主要以數(shù)學(xué)建模的方式，將學(xué)生分成多個討論小組，組內(nèi)之間進行協(xié)作研究，通過這種自主學(xué)習(xí)的方式，使學(xué)生從中取長處、補短處，做到自我反思、自我修正，并以小組的形式匯報交流成果，最終做成研究報告.

2.活動探究

（1）教學(xué)活動目標

首先，通過小組的形式進行自主探究，明確問題的解決方式及思路，從而建立正確的三角函數(shù)模型，鍛煉學(xué)生分析數(shù)據(jù)、整合數(shù)據(jù)的能力;其次，依據(jù)建立的三角函數(shù)模型，采用正確的計算方式對實際問題進行計算，并理解問題本身的實際意義，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力;最后，將運算結(jié)果進行交流展示，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達能力.

（2）教學(xué)活動重、難點

本次教學(xué)活動的重點內(nèi)容是提升學(xué)生對三角函數(shù)觀察、分析的能力，對圖像中所隱含的意義進行探知.難點在于如何依據(jù)實際問題建立正確的三角函數(shù)關(guān)系，并對函數(shù)進行求解.教學(xué)目標是引導(dǎo)學(xué)生對創(chuàng)建三角函數(shù)有系統(tǒng)性的概念，提升學(xué)生對抽象圖像的觀察、分析數(shù)據(jù)的能力，開拓學(xué)生的解題思維.

（3）教學(xué)活動內(nèi)容

選取教學(xué)案例—“貨船進出港時間問題”，選題內(nèi)容：日月的引力影響著海水的潮起潮落，早潮晚汐.一般情況下，船駛進航道、靠近碼頭是在漲潮時;卸貨后，返回海洋是在落潮時，以某季節(jié)中某港口一天時間內(nèi)水深的變化情況為例（如表 1所示）.

從實際問題中找出時間與水深變化的函數(shù)關(guān)系，并提出問題：船身與水面的距離維持在4 m的位置，出于安全考慮，船底應(yīng)與洋底保持1.5 m的間隙，那么該船駛?cè)敫劭诘臅r間是幾時？可以停留多長時間？若在2點卸貨，船身與水面的距離以0.3 m/h的速度減少，則必須在什么時間完成卸貨工作并駛向深水區(qū)域？

（4）思考、體驗與表達

①活動要求

以6人為一組劃分學(xué)習(xí)小組共10個，分別對問題做出分析、解決，并要求各組代表匯報最終成果，以此形成論文或是心得體會.

②環(huán)節(jié)一：觀察、分析數(shù)據(jù)，模擬圖像

師：對數(shù)據(jù)進行仔細觀察和分析，對函數(shù)圖像做出材料和模擬.

1組代表：這個函數(shù)可能是存在周期性特點的函數(shù).

4組代表：你們怎么獲得這一結(jié)論的？

2組代表：將時間、水深分別看成橫、縱坐標，在直角坐標系中繪制散點圖.

師：其他小組有沒有別的想法？

生：沒有.

師：結(jié)合散點圖，同學(xué)們試試看，對函數(shù)圖像進行觀察和猜想，同時繪制出具體的函數(shù)圖像.

6組代表：函數(shù)圖像屬于復(fù)合型三角函數(shù)圖像.

師：說一說具體的理由.

6組代表：用平滑曲線對散點進行連接，了解到初相和振幅產(chǎn)生位置變化.

師：推理有依有據(jù)，不過應(yīng)求出具體的函數(shù)解析式.

③環(huán)節(jié)二：驗證猜想、推理論證、建立模型

師：三角函數(shù)模型的圖像繪制完后，同學(xué)們可以回憶之前學(xué)習(xí)的三角函數(shù)模型y=Asin（ωx+φ）+h.借助數(shù)據(jù)和圖像，各組可對這道題的函數(shù)模型進行思考與計算.

各組思考探討之后，得出推導(dǎo)過程如下：

由數(shù)據(jù)和函數(shù)圖像可知A=2.5，h=5，T=5，φ=0.

由T=2πω=12，得ω=π6，因此，水深、時間的關(guān)系便可以用如下函數(shù)解析式表達：y=2.5sin π6x+5.

師：同學(xué)們能否解釋A，h，T，φ，ω是如何獲得的？表述出具體理由.

生1：觀察圖像，平衡位置變?yōu)閥=5，所以A代表離開平衡位置的最大距離，A=7.5-5=52;周期T則可直接從圖像中獲得;ω則利用T=2πω獲得;h是平衡位置變化形成的差值;φ可將某點代入解析式進行計算獲得.

師：其他同學(xué)是否存在別的想法？

生2：A同樣可利用最高點和最低點之間的差值計算，再除以2，A=7.5-2.52.

生3：h可利用h=7.5+2.52=5.

師：不錯，同學(xué)們對上述推理可以嘗試分析一下，計算結(jié)果是正確的，不過解析式方面還存在不足，φ，ω應(yīng)該是多個值，所以，解析式中應(yīng)該做出限定，可以限定- π2<φ<π2，或φ>0.

生：原來如此，這樣解析式便可以保證唯一.

構(gòu)建函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵，對數(shù)據(jù)加以正確、合理的運用，對函數(shù)圖像進行模擬，能夠使學(xué)生做出更加充分的思考與猜想，利用合作探討的方式對函數(shù)模型做出推導(dǎo)、計算以及驗證.利用數(shù)形結(jié)合思想，充分展示出數(shù)學(xué)的邏輯性與抽象化的過程.

④環(huán)節(jié)三：數(shù)學(xué)運算，模型求解和驗證

師：基于函數(shù)模型y=2.5sinπ6x+5，求出整點時刻水深的近似值.

通過小組思考探討，獲得整點時刻水深的近似值.

師：結(jié)合題目中的問題，各小組進行思考探討，并進行計算解答.

1組代表：計算安全水深是4+1.5=5.5（m），y≥5.5 m情況下可駛?cè)敫劭冢?.5sin π6x+5=5.5，sinπ6x=0.2，結(jié)合題目，作直線y=5、函數(shù)y=2.5sin π6x+5的圖像如下圖.

結(jié)合題意x∈（0，12），兩函數(shù)圖像之間存在交點M，N，因此，可知π6x≈0.2或π-π6x≈0.2，可以求出：

xM≈0.38，xN≈5.62xP≈12+0.38=12.38xQ≈12+5.62=17.62

生4：基于以上結(jié)果，貨船可于0：30，5：30分別駛?cè)?、駛出港?或是12：30，17：30分別駛?cè)?、駛出港口，貨船停留時間為5小時.

師：這是通過哪種方法計算求解的？

生5：結(jié)合數(shù)據(jù)繪制圖像，通過特殊值進行解方程.

師：非常好，同學(xué)們可以運用數(shù)形結(jié)合思想，這是非常關(guān)鍵的思想方法，有沒有不同的解法？

生6：可通過量函數(shù)建立方程組，利用方程思想進行解答，即代數(shù)法.

師：不錯，不同方法，不同思想.

⑤環(huán)節(jié)四：模型總結(jié)、反思和檢驗

師：同學(xué)們可以結(jié)合上述模型，各組設(shè)計問題，并進行計算，檢驗答案有無差異.

通過思考探討，提出問題：對題目最后一問的條件做出改編，如果某船吃水深度保持在3 m，剩余條件相同，那么在什么時間完成卸貨工作并駛向深水區(qū)域？

各組之間對問題進行計算解答.

獲得最終結(jié)果，第3，5組計算存在相應(yīng)的誤差，要求學(xué)生返回模型，重新代入數(shù)據(jù)計算，分析問題并做出修訂.

⑥成果展示

由各組做出總結(jié)、反思與思考探討，對修訂成果以論文形式進行分享.

⑦環(huán)節(jié)五：交流體驗、反思評價

課后訪談，部分學(xué)生認為：

生7：數(shù)據(jù)分析處理非常關(guān)鍵，運算同樣要有正確、合理的方法.

生8：對數(shù)據(jù)模擬圖像的充分利用是解題的重點.

生9：這節(jié)課讓我認識到獨立思考問題非常關(guān)鍵，也要學(xué)會溝通交流，對自身觀點做出充分表達.

生10：利用合作學(xué)習(xí)的方式，掌握了撰寫學(xué)習(xí)報告，使我認識到數(shù)學(xué)建模所具有的含義，感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

通過案例得知，函數(shù)模型的選擇應(yīng)對問題數(shù)據(jù)做出充分仔細的分析，模擬散點圖以及函數(shù)模型的正確選擇，均屬于解決問題的重要環(huán)節(jié)，這也成為實際問題數(shù)學(xué)化中應(yīng)當(dāng)重點培養(yǎng)的數(shù)學(xué)綜合能力.學(xué)生對各不同函數(shù)模型的選擇，不但需教師引導(dǎo)學(xué)生做出探討交流，指導(dǎo)學(xué)生返回問題本身，構(gòu)建合適的模型.

此題能夠利用計算的部分較多，如散點圖、函數(shù)圖像等方面.教學(xué)階段，教師需指導(dǎo)通過信息技術(shù)完成作圖與函數(shù)值求解，并對函數(shù)變化規(guī)律形象直觀地演示，對函數(shù)變化規(guī)律做出仔細觀察與思考分析，使學(xué)生可以對問題本質(zhì)形成更加深入的透徹理解.

三、教學(xué)活動的啟示

1.選取數(shù)學(xué)典型案例

通過選取數(shù)學(xué)典型案例，采用靈活的處理方式，提升學(xué)生的綜合素質(zhì).數(shù)學(xué)建模思維形成的“數(shù)學(xué)化”與“再創(chuàng)造”過程，是培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成因素，基于此，選取數(shù)學(xué)典型案例的做法，可以活躍學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，凸顯數(shù)學(xué)的趣味.

2.教學(xué)方式多元化

數(shù)學(xué)建模的教學(xué)活動與其他數(shù)學(xué)知識的教學(xué)活動存在一定的差異，其具備獨特的教學(xué)風(fēng)格，在解題過程中，往往需要學(xué)生主動參與，對問題進行知識探究，從而確定解題思路、運算方法、結(jié)果驗證等步驟，是學(xué)生提升數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的過程[2].教師在此期間應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生閱讀、自學(xué)、自主探究，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的表達能力.

3.建立科學(xué)的評價體系

數(shù)學(xué)建模的目的是通過建模使學(xué)生建立正確的數(shù)學(xué)解題思路.根據(jù)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)在《標準》條例下的發(fā)展水平，需要進行具有科學(xué)依據(jù)的整體評價.首先，對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程、結(jié)果、語言表達進行全方位的評價;其次，學(xué)生自身進行自我總結(jié)，并進行學(xué)生之間的互評、師生互評;最后，圍繞建模教學(xué)的最終成果進行總結(jié).

四、結(jié)束語

總而言之，數(shù)學(xué)建模在數(shù)學(xué)教學(xué)的開發(fā)上起到了至關(guān)重要的作用，不僅解決了數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生理解知識晦澀的難題，同時也使學(xué)生建模抽象化的分析能力得到了飛躍提升，提升了學(xué)生分析數(shù)據(jù)、語言表達、思維轉(zhuǎn)換等多種能力.

【參考文獻】

[1]彭乃霞，謝輝，徐大剛.高中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培育的教學(xué)案例分析——以人教版（A）數(shù)學(xué)必修4三角函數(shù)模型之“貨船進出港時間問題”為例[J].興義民族師范學(xué)院學(xué)報，2019（02）：74-81.

[2]吳倩.學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表述數(shù)學(xué)問題[J].全球教育展望，2007（36）：76.