試題再利用，師生共成長

浙江省杭州第十四中學(310006) 樓思遠 申東奎

一次高三試卷講評課后,部分學生對筆者課堂上展示的解法無異議,但對自己思路的錯誤緣由卻百思不得其解,筆者由此重新審視該題,在找到學生的思維盲區(qū)后,及時的對該類題型進行了拓展與訓練,整個過程基于學生的最近發(fā)展區(qū)層層推進,取得了較好的教學效果.以下是具體的過程：

試題如圖1,橢圓,以C的左頂點T為圓心作圓T：(x+2)2+y2=r2(r＞0),設圓T和橢圓C交于點M和點N.

圖1

(2)設點P是橢圓C上異于M和N的任意一點,且直線MP和NP分別與x軸交于點R和S,O為坐標原點,求證為定值.

標準解答(課堂呈現(xiàn))

(1)易知T(-2,0),令M(x1,y1),N(x1,-y1),由M,N都在橢圓上知：

(2)設P(x0,y0),則令y=0得,同理可得,因此,注意到點M,P均在橢圓上,故從而

筆者認為該解答清晰流暢,學生易于接受.然而在接下去的幾天,卻陸續(xù)有學生提出了臨場考試時的困惑,幾位學生的思路如下：

生甲：根據(jù)?＞0,方程恒有兩不同的實數(shù)解,但是根據(jù)題目所給的圖象,應該是兩個相等的實數(shù)解(M與N的橫坐標相同)才對啊?

生丙：我的想法與乙差不多……,然后就算不下去了.(其余幾位同學都小聲附和：為什么圖象與方程對不上呢?).

筆者發(fā)現(xiàn)幾位學生的錯誤原因其實是一樣的,同時意識到這是學生中普遍存在的思維盲點,應及時抓住這個時機發(fā)掘問題本質(zhì),進而提升思維品質(zhì).于是提示學生將函數(shù)圖象與解析幾何圖形放一起,將具體解得的兩個實數(shù)根都標在上面進行比較,并請他們在課堂上分享所思所想;另一方面筆者也精心準備了幾道同類型的題,準備在課堂上加深學生對問題的理解.

教學片段(學生分享所思所想)

生甲：(黑板上畫出解析幾何圖形與二次函數(shù)圖象),由方程組

消去y2得到

但(1)(2)并不等價,因為(1)中涉及兩個封閉圖形的方程,兩個變量x,y相互聯(lián)系相互制約,根據(jù)y2的非負性知：x∈[-2,2],因此應該是

在x∈[-2,2]上有唯一實數(shù)解才對.

師：在由幾何圖形向代數(shù)方程轉(zhuǎn)化的過程中,一定要注意隱含條件的挖掘,轉(zhuǎn)化的過程必須做到等價.接下來我們看看大家是否真的理解了問題的本質(zhì),請看題1：

題1已知橢圓和圓C2：x2+(y+1)2=r2(r＞0),若這兩條曲線沒有公共點,求實數(shù)r的取值范圍.

解將方程聯(lián)立得：5y2-8y+4r2-40=0,由(1)知y∈[-2,2],故原題等價于f(y)=5y2-8y+4r2-40=0在[-2,2]上無實根,結(jié)合圖象分類討論：

1.若?＜0,則此時無解,滿足題意,如圖2;

圖2

3.若?＞0,則結(jié)合二次函數(shù)圖象知：為了滿足y∈[-2,2]時無解,只需f(-2)＜0,解得r＜1,因此0＜r＜1,如圖4.

圖3

圖4

師：注意以下幾點：

(1)此題聯(lián)立方程消去x是為了使計算更簡潔,消去y求解亦可;

(2)有的同學會有疑問：由(1)知y∈[-2,2],由(2)知y∈[-r-1,r-1],是否取二者的交集作為限制條件?其實,由y∈[-2,2]知x2≥0,代入(2)可推得y∈[-r-1,r-1],故取y∈[-2,2]即可.

(3)從圖三可以看出,當二次方程滿足?=0時圖象卻有兩個交點,這是因為同一個y對應兩個x的值,這也是部分解析幾何圖形與函數(shù)圖象的區(qū)別.

總結(jié)對于該類問題,應先列出函數(shù)方程,根據(jù)隱含條件對實根的分布進行分類討論,最后結(jié)合圖形驗證;若先根據(jù)幾何圖形的移動來討論,則會出現(xiàn)漏解的情況.我們再看幾例：

題2若橢圓C1：x2+4(y-a)2=4和拋物線C2：x2=2y有公共點,求實數(shù)a的取值范圍.

解將方程聯(lián)立得：2y2+(1-4a)y+2a2-2=0,由(2)知y∈[0,+∞),原題等價于：f(y)=2y2+(1-4a)y+2a2-2=0在[0,+∞)上有實根,結(jié)合圖象知只需滿足：是較大的實數(shù)根),解得,通過移動圖5可以驗證結(jié)論成立.

圖5

圖6

題3若曲線(a為正常數(shù))和C2：y2=2(x+m)在x軸上方僅有一個公共點P,求實數(shù)m的取值范圍(用a表示).

解將方程聯(lián)立得：x2+2a2x+2ma2-a2=0,由題意知x∈(-a,a),原題等價于：f(x)=x2+2a2x+2ma2-a2=0在(-a,a)上有唯一實數(shù)根,結(jié)合圖象分類討論：

2.f(a)·f(-a)＜0,此時m∈(-a,a),a＞0;

3.f(-a)=0,此時m=a,而方程得另外一個解為x=a-2a2,令-a＜a-2a2＜a得a∈(0,1);

4.f(a)=0,同(3)討論知無解.

綜上,當a∈(0,1)時或者m∈(-a,a];當a∈[1,+∞)時：m∈(-a,a).通過移動圖6可驗證結(jié)論成立.

通過課堂練習,學生對于問題的本質(zhì)有了更深刻的理解.筆者也意識到：在解析幾何的復習教學中,一定要去認真了解學生的解題思路,能夠從學生的思考角度出發(fā)對教學策略作出適當調(diào)整,并對解題方法進行模型提煉,進而讓他們意識到直觀想象與邏輯推理兩者的相輔相成與辯證統(tǒng)一性,體會到數(shù)形結(jié)合思想的豐富內(nèi)涵,提高復習的效率.

古語有云：學貴有疑,于不疑處生疑,方是進矣.第一問解決后,筆者仍覺意猶未盡,對第二問也產(chǎn)生了興趣,翻閱資料后發(fā)現(xiàn)2015年陜西省數(shù)學競賽考了如下問題：

題4如圖7,已知圓O：x2+y2=4與x軸的正半軸交于點A,以A為圓心的圓A(x-2)2+y2=r2(r＞0)與圓O交于點B和點C.

圖7

(2)設點P是圓O上異于B和C的任意一點,且直線PB和PC分別與x軸交于點M和N,求S△POM·S△PON的最大值.

(1)-2;(2)同試題思路知xM·xN=4,故S△POM·因為-2≤yp≤2,所以當yp=±2時,S△POM·SΔPON取最大值4.

圖8

圖9

對比試題與題4可以發(fā)現(xiàn)：xM·xN=4=R2,xR·xS=4=a2,這里R與a恰好是圓O和橢圓C與x軸正半軸的交點橫坐標,這是巧合還是必然?經(jīng)過認真的思考與探索,筆者利用高等幾何中極點與極線的觀點得到如下證法(以試題第(2)問為例)：

(2)如圖8,連結(jié)MN,連結(jié)RN交橢圓于點G,連結(jié)MG,PG,由對稱性可知直線MG經(jīng)過S點,G和P兩點關(guān)于x軸對稱.從圖象中看出點R的極線lR經(jīng)過點S.令點R(t,0),則即,從而于是xR·xS=4,即.

由該解法可知結(jié)論是必然的,且對于一般的圓錐曲線都有類似的結(jié)論,下再舉一例：

證明如圖9,連結(jié)MN,連結(jié)RN交雙曲線C1于點G,連結(jié)MG,PG,由對稱性知MG經(jīng)過S點,G和P兩點關(guān)于x軸對稱.從圖象中看出點R的極線lR經(jīng)過點S,令點R(t,0),則,從而于是xR·xS=a2,即.其余情況都可類似證明之,不再贅述.

一點思考

一方面,在高三的復習教學中,教師若要擺脫題海戰(zhàn)術(shù)的桎梏,提高復習效率,僅僅滿足于講清楚標準答案是遠遠不夠的,很多時候?qū)W生對同一個問題有著截然不同的思考與看法,若是教師不注意這點,就無法和學生產(chǎn)生共情,課堂教學也隨之變成了教師的獨角戲,若要減少這類情況出現(xiàn),筆者認為可從以下兩點入手：對于正確而巧妙的思路,應及時通過師生的辯證與分析,在課堂上內(nèi)化為學生自身的經(jīng)驗;對于較典型的錯誤,則應耐心細致的去了解學生的思考過程,幫助他們找到思維盲區(qū)后深入挖掘嚴謹剖析,讓他們在課堂上分享自己的所思所得,從而使學生之間產(chǎn)生共鳴,進而起到正強化的作用.

另一方面,學生的困惑也促成了筆者對于試題的二次思考與開發(fā),在翻閱高等幾何相關(guān)書籍后,筆者從極點與極線這一高觀點出發(fā),經(jīng)過探索得到了第二問的一般性結(jié)論,在這個過程中筆者的專業(yè)水平得到了很大提高.正所謂教學相長也!

在數(shù)學教學中,遇到一些看似平凡的內(nèi)容,能夠透過本質(zhì)豐富內(nèi)涵,這是舉輕若重;遇到一些看似疑難的問題,能夠透過本質(zhì)輕松化解,這是舉重若輕.上述對我們教師提出了更高的要求：若要給學生一杯水,教師須有一桶水,只有充分認清數(shù)學本質(zhì)、深刻理解數(shù)學思想、靈活掌握數(shù)學方法,才能做到高屋建瓴,胸有成竹.