近年來高考數(shù)學(xué)文化試題統(tǒng)計(jì)與分析

順德容山中學(xué)(528303) 胡 萍 馬崇元

數(shù)學(xué)文化是人類文明的重要組成部分，數(shù)學(xué)文化的蓬勃發(fā)展與應(yīng)用正符合當(dāng)下社會(huì)的需求.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》在課程性質(zhì)、基本理念、課程目標(biāo)、課程結(jié)構(gòu)、課程內(nèi)容中明確指出“要注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透”[1]，通過數(shù)學(xué)文化不僅可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的文化與精神，同時(shí)也有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念和思想方法的理解，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.在“關(guān)于政協(xié)十二屆全國委員會(huì)第五次會(huì)議第1703號(hào)(教育類164號(hào))提案答復(fù)的函”中提到，2017年高考多渠道落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，全方位弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化.數(shù)學(xué)科試題加強(qiáng)中國古代數(shù)學(xué)文化的滲透，強(qiáng)調(diào)中國古代數(shù)字文化的傳統(tǒng)特色[2].

近幾年，無論是全國卷還是自主命題的地方高考卷，數(shù)學(xué)文化背景下的試題都屢見不鮮，數(shù)學(xué)文化高考試題不但能較好的考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)、閱讀能力和創(chuàng)造能力，又能豐厚學(xué)生的數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3]，能有效地考查學(xué)生在新的情境下對(duì)知識(shí)的理解以及對(duì)題目抽絲剝繭的能力.通過對(duì)近五年高考數(shù)學(xué)文化試題的統(tǒng)計(jì)與分析，不僅有助于教師、學(xué)生高考的備考，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)課程和教學(xué)改革均具有積極的導(dǎo)向和促進(jìn)作用[4].

1.1 高考數(shù)學(xué)文化試題分布高考中的數(shù)學(xué)文化試題牽動(dòng)著無數(shù)人的心，以下是對(duì)近幾年全國卷和湖北省中的數(shù)學(xué)高考題進(jìn)行分析，統(tǒng)計(jì)高考題中數(shù)學(xué)文化試題的分布情況.見下表：

表1 近年全國卷高考數(shù)學(xué)文化試題分布

從上述表格來看，數(shù)學(xué)文化越來越受到重視，2013年到2014年，以數(shù)學(xué)文化為背景命題只在卷I出現(xiàn)，而從2016年到2017年，卷I、卷II、卷III都有出現(xiàn).近5年的全國高考數(shù)學(xué)文化試題中數(shù)學(xué)名著和數(shù)學(xué)應(yīng)用為文化背景的居多，并且大部分分布在選擇題.結(jié)合數(shù)學(xué)文化考查的內(nèi)容也多樣化.這與國家積極弘揚(yáng)我國古代的數(shù)學(xué)文化息息相關(guān)，并且強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與社會(huì)接軌，與生活接軌，做到真正的學(xué)以致用.

這是全國卷的情況，我們?cè)賮砜纯春笔〉母呖紨?shù)學(xué)文化試題的情況.見下表：

表2 2011-2015湖北省的高考數(shù)學(xué)文化試題分布

自2015年以后，湖北省取消了高考自主命題。從2015年往前看近5年的湖北省的高考數(shù)學(xué)文化試題，縱向看，每年滲透數(shù)學(xué)文化的試題，所占的份額不小.可見湖北省對(duì)數(shù)學(xué)文化的重視程度之高，出自的數(shù)學(xué)文化背景較多，有我國古代的，也有國外的.這些題放在填空題居多，考查的知識(shí)點(diǎn)不一.

不管是全國卷還是湖北卷的高考題，數(shù)學(xué)文化試題都是占有一席之地的.隨著數(shù)學(xué)文化的關(guān)注度越來越高，會(huì)有更多的省份加入關(guān)注和重視數(shù)學(xué)文化的隊(duì)伍.期待數(shù)學(xué)文化特別是中國的數(shù)學(xué)文化得到更好傳承和發(fā)展.

2.2 高考數(shù)學(xué)文化試題的背景歸類

高考數(shù)學(xué)文化試題的來源甚廣，背景也不盡相同，本文僅從四個(gè)背景方面論述，分別從源自數(shù)學(xué)名題、源自圖形美、源自數(shù)學(xué)名著、源自數(shù)學(xué)應(yīng)用進(jìn)行論述.對(duì)上述兩個(gè)表格進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，見下表：

表3 歷年高考數(shù)學(xué)文化試題

2.2.1 源自數(shù)學(xué)名題

以數(shù)學(xué)名題為文化背景的高考試題是高考數(shù)學(xué)文化試題中的一大特色.這些名題一般與著名的數(shù)學(xué)家聯(lián)系緊密，或者與著名的數(shù)學(xué)定理、公式、圖形等相關(guān)，或者有相似的經(jīng)典解法.這些數(shù)學(xué)名題經(jīng)過長期的積累和不斷的創(chuàng)新，得到很好地拓展.這也是數(shù)學(xué)名題深受出題者喜愛的原因.

真題1(2016年全國卷II數(shù)學(xué)理科第17題)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且an=1，Sn=28，記bn=[lgan]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]=0，[lg99]=1.

(I)求b1,b11,b101;

(II)求數(shù)列{bn}的前1000項(xiàng)和.

本題主要考查數(shù)列的內(nèi)容，它的文化背景是高斯函數(shù)，說起高斯函數(shù)，我們會(huì)自然而然地想起被譽(yù)為數(shù)學(xué)王子的著名數(shù)學(xué)家高斯，高斯有一個(gè)很有名的數(shù)學(xué)故事：從整數(shù)1加到100的故事.高斯函數(shù)又名為取整函數(shù)，[]就是取整符號(hào)，題中[x]就是取整函數(shù).由高斯函數(shù)得到整數(shù)數(shù)列，進(jìn)而求出第n項(xiàng)的數(shù)和前n項(xiàng)和.

真題2(2013年湖北卷數(shù)學(xué)理科第14題)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10，···，第n個(gè)三角形數(shù)為記第n個(gè)k邊形為N(n,k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：

正方形數(shù)N(n,4)=n2，

六邊形數(shù)N(n,6)=2n2-n，

······

可以推測N(n,k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)=____.

本題的數(shù)學(xué)文化背景源自畢達(dá)哥拉斯形數(shù)，本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式.本題對(duì)學(xué)生的歸納能力要求較高，在已給出的幾種形數(shù)中找到規(guī)律，就要學(xué)生大膽地想象、猜測.形數(shù)可以說是數(shù)與形的結(jié)合，讓學(xué)生感受別樣的數(shù)形結(jié)合.

真題3(2012年湖北卷數(shù)學(xué)理科13題)回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀是一樣的正整數(shù).如22,121,3443,94249等.顯然 2位回文數(shù)有9個(gè)：11,22,33，···，99，3位回文數(shù)有90個(gè)：101,111,121，···，191,202，···，999.則

(I)4位回文數(shù)有_____個(gè)；

我們看2位回文數(shù)，第1與第2位是一樣的，實(shí)際上取決于第1位的數(shù)，第1位可取1～9這9個(gè)數(shù)，所以2位回文數(shù)有9個(gè).再看3位回文數(shù)：第1位與第3位的數(shù)是一樣的，實(shí)際上3位回文數(shù)取決于第1,2位，中間第2位可取0～9這10個(gè)數(shù)，第1位可取1～9這9個(gè)數(shù)，然后排列組合得到90個(gè)數(shù).而4位回文數(shù)取決于前2位數(shù)，即：10～99這90個(gè)數(shù).所以有2n位回文數(shù)有即9×10n個(gè)，2n+1位回文數(shù)有即9×10n個(gè).

本題的文化背景源自回文數(shù)，主要考查的是排列組合的內(nèi)容.本題不僅考查了學(xué)生的觀察和推理的能力，還考查了學(xué)生的分類討論和歸納的能力，同時(shí)也讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的神奇之處.

2.2.2 源自圖形美

中國古代圖形源自生產(chǎn)生活，源自遠(yuǎn)古人類對(duì)事物的直觀表象的描述，從而形成簡單的幾何圖形.中國古代人對(duì)圖形的對(duì)稱特別講究，對(duì)圓有著極致的追求，寓意事物都有兩面，而人們不斷地追求其中的平衡點(diǎn)，追求圓滿、完美.古代的八角樓，趙爽弦圖、楊輝三角、太極圖、八卦圖、月在各處的形狀等，這些圖形體現(xiàn)著中國古代人們對(duì)自然細(xì)致觀察的成果，彰顯著古代人的智慧.數(shù)學(xué)中還有另類的圖形，如莖葉圖、幾何圖形化和數(shù)學(xué)文字形化的蝴蝶定理等.這就是數(shù)學(xué)的圖形美，它自身的魅力被人們所折服.

真題4(2017年全國卷I數(shù)學(xué)理科第2題)如圖1，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分，關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是( )

圖1

本題的文化背景取自中國古代的太極圖，主要考查的是幾何概型的內(nèi)容，本題的幾何概型與面積有關(guān)，而太極圖是一個(gè)極致對(duì)稱的圖形，求黑色部分的概率就變得很容易了.用太極圖來考查幾何概型，一方面展示了太極圖的幾何構(gòu)造，另一方面又展示了太極圖的對(duì)稱美，體現(xiàn)了中國古代人對(duì)圓的喜愛和對(duì)圖形對(duì)稱的審美觀.

真題5(2014全國卷II數(shù)學(xué)文科第19題)某市為了考核甲、乙兩個(gè)部門的工作情況，隨機(jī)訪問了50位市民，根據(jù)這50位市民

圖2 記錄甲、乙部門工作情況的莖葉圖

(I)分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙部門評(píng)分的中位數(shù)

(II)分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙部門的評(píng)分高于90的概率

(III)根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對(duì)甲、乙部門的評(píng)價(jià)

本題的文化背景來自莖葉圖，主要考查的是中位數(shù)和概率。莖葉圖也稱枝葉圖，是著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家約翰托奇設(shè)計(jì)出來的.莖葉圖能保持?jǐn)?shù)據(jù)的原始性、全面性；并且數(shù)據(jù)可隨時(shí)添加、記錄，這就體現(xiàn)了莖葉圖的便利性，實(shí)用性.這是莖葉圖的兩大優(yōu)點(diǎn).用莖葉圖來記錄市民對(duì)甲、乙部門的評(píng)分，能很真實(shí)地反映甲、乙兩個(gè)部門的工作情況.數(shù)學(xué)的美是無處不在的，數(shù)學(xué)的美也是千奇萬化的，莖葉圖就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的奇異美.

2.2.3 源自數(shù)學(xué)名著

我國古代的數(shù)學(xué)名著有《數(shù)書九章》、《算法統(tǒng)宗》、《九章算術(shù)》、《算數(shù)書》等，主要是收集或記錄生活中的一些數(shù)學(xué)問題和解決方法.在高考數(shù)學(xué)試題中以此為文化背景命題的試題，所占的比重較大，特別是全國卷.2013年—2017年的全國卷中，每年都有涉及.

真題6(2017年全國卷II數(shù)學(xué)理科第3題)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層的燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈( )

A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞

本題以數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》為文化背景，主要考查的是等比數(shù)列的知識(shí)點(diǎn)，由題目可以知道這個(gè)等比數(shù)列的公比，又知道了前7項(xiàng)和，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式，不難求出塔頂層的燈的盞數(shù).本題由《算法統(tǒng)宗》引出等比數(shù)列，也就是說在我國古代就已經(jīng)有人意識(shí)到等比數(shù)列的應(yīng)用，可見古代人們的智慧非同一般.

真題7(2014年湖北卷數(shù)學(xué)理科第2題)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧有人送來米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為( )

A.134石 B.136石 C.338石 D.1365石

本題的數(shù)學(xué)背景來自《九章算術(shù)》中的“米谷粒分”，主要考查比例計(jì)算.古代人舂米技術(shù)還很粗糙，米中夾谷的現(xiàn)象比較常見，古代人對(duì)于推測米中夾谷多少，就意識(shí)到可以用抽樣調(diào)查的方法，然后用比例計(jì)算推測出糧食的質(zhì)量，可見古代人的智慧.

真題8(2014年湖北卷數(shù)學(xué)理科第8題，文科第10題)《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其同，令相承也，又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了有圓錐的底面周長L與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取3，那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似值取為( )

本題的數(shù)學(xué)文化背景是《算數(shù)書》，主要考查圓錐體積計(jì)算.《算數(shù)書》是一部數(shù)學(xué)問題集，全書的內(nèi)容分為兩類：一類是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算法則，另一類是跟當(dāng)時(shí)的生產(chǎn)生活實(shí)際密切相關(guān)的各種應(yīng)用題及解法.本題由《算數(shù)書》引出圓錐的體積計(jì)算本題的體積近似公式又有L=2πr，實(shí)際上就是求π的近似值，則的近似值就求出來.而本題中“囷蓋”很貼切生活，在農(nóng)村就較為常見，讓學(xué)生感受到生活處處有數(shù)學(xué).

2.2.4 源自數(shù)學(xué)應(yīng)用

也有一部分高考試題是以數(shù)學(xué)應(yīng)用為背景的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用性。

真題9(2017年全國卷I數(shù)學(xué)理科第12題)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件，為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)，這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，···，其中第一項(xiàng)是20，接下來兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是20，21，22，以此類推求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N＞100且該數(shù)列的前n項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，那該款軟件的激活碼是( )

A.440 B.330 C.220 D.110

本題以大學(xué)生創(chuàng)業(yè)為文化背景，主要考查數(shù)列的內(nèi)容。大學(xué)生創(chuàng)業(yè)是當(dāng)下熱門的一個(gè)話題，身處大四的學(xué)生就深有感觸了，國家也在積極鼓勵(lì)大學(xué)生創(chuàng)業(yè)，并且有一定的扶持力度.

綜上所述，高考數(shù)學(xué)文化試題的出現(xiàn)，豐富高考試題的樣式，為高考注入新的活力，同時(shí)也因?yàn)檫@些試題，讓數(shù)學(xué)文化得以傳播和關(guān)注.數(shù)學(xué)教師一方面，挖掘教材中許多專題的獨(dú)特文化背景，利用問題、方法的背景或者產(chǎn)生的曲折歷程，創(chuàng)設(shè)充滿濃郁數(shù)學(xué)文化的教學(xué)問題情景．另一方面，借助數(shù)學(xué)文化突破教學(xué)難點(diǎn).通過合理使用豐富多彩的數(shù)學(xué)文化課堂教學(xué)模式從而能引起學(xué)生的興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展和終身學(xué)學(xué)習(xí)打下基石的基礎(chǔ)。