平面幾何競(jìng)賽題解題思想方法初探

四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(610011) 申 濤 張 紅

一、研究背景

數(shù)學(xué)競(jìng)賽是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)人才的有效手段之一.數(shù)學(xué)競(jìng)賽與體育競(jìng)賽相類(lèi)似,它是青少年的一種智力競(jìng)賽,所以蘇聯(lián)人首創(chuàng)了“數(shù)學(xué)奧林匹克”這個(gè)名詞.在類(lèi)似的以基礎(chǔ)科學(xué)為競(jìng)賽內(nèi)容的智力競(jìng)賽中,數(shù)學(xué)競(jìng)賽歷史最悠久,參賽國(guó)最多,影響也最大.

現(xiàn)代意義上的數(shù)學(xué)競(jìng)賽是1894年從匈牙利開(kāi)始的.除因兩次世界大戰(zhàn)及1966年事件而停止了7屆外,迄今已舉行過(guò)90屆.蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽開(kāi)始于1934年,美國(guó)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽則是1938年開(kāi)始的.這兩個(gè)國(guó)家除第二次世界大戰(zhàn)期間各停止了3年外,均已舉行過(guò)50多屆.其他有長(zhǎng)久數(shù)學(xué)競(jìng)賽歷史的國(guó)家是羅馬尼亞(始于1902年)、保加利亞(始于1949年)和中國(guó)(始于1956年).一些重大數(shù)學(xué)競(jìng)賽的優(yōu)勝者,大多在他們后來(lái)的事業(yè)中卓有建樹(shù).因此,世界發(fā)達(dá)國(guó)家都十分重視數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng).

最近十余年來(lái),我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽活動(dòng)蓬勃發(fā)展,其影響越來(lái)越大,特別是我國(guó)中學(xué)生在影響最大、水平最高的國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽中,多次榮登榜首,成績(jī)令世人矚目,充分顯示了中華民族的聰明才智和數(shù)學(xué)才能.

縱觀(guān)我國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽的題目分類(lèi),以幾何、代數(shù)、數(shù)論、組合四類(lèi)為主.在《2017年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題》中,第一試(A)選擇題的第2題、第4題、第5題,填空題的第2題,第二試(A)的第二大題均是幾何題,合計(jì)53分,約占總分140分的37.9%.若按幾何、代數(shù)、數(shù)論、組合四類(lèi)各占25%來(lái)比較,37.9%遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了25%的平均比例.題型分類(lèi)所占比例每年應(yīng)所差不大,并且在高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中幾何題所占比例也不低,筆者這里就不再選取其他年份加以驗(yàn)證.另外還可以看出,在《2017年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題》中,第一試(A)三道大題幾何題位于第2題,第二試(B)三道大題幾何題位于第3題,可見(jiàn)幾何位于較重要、較難題型位置.

綜上所述,在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,學(xué)生是否能夠很好把握幾何題型的做題思想方法,是取得分?jǐn)?shù)的關(guān)鍵因素之一.故數(shù)學(xué)競(jìng)賽幾何題的解題思想方法也極其值得學(xué)者、教師進(jìn)行深入研究.

二、研究分析

筆者查閱相關(guān)文獻(xiàn)資料并加以歸納總結(jié)后研究發(fā)現(xiàn),在數(shù)學(xué)競(jìng)賽幾何題的解題思想方法可以從大的方向分為以下三類(lèi),即初等幾何思想方法、高等幾何思想方法、代數(shù)思想方法.

1.初等幾何思想方法

筆者認(rèn)為的“初等幾何思想方法”是,在歐幾里得幾何的公理化體系中,運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)解決相應(yīng)問(wèn)題.也就是用中學(xué)課本上我們學(xué)習(xí)的如三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)等,還有一些平面幾何的重要定理,如托勒密定理、定差冪線(xiàn)定理、梅涅勞斯定理、共邊比例定理、分角定理等,來(lái)解決相應(yīng)幾何問(wèn)題.

例題1已知△ABC與△A′B′C′的三邊分別為a,b,c與a′,b′,c′,且∠B=∠B′,∠A+∠A′=180°.求證：aa′=bb′+cc′.

證明如圖1,作△ABC的外接圓,過(guò)點(diǎn)C作CD//AB,交圓于點(diǎn)D,連結(jié)AD、BD.因?yàn)椤螦+∠A=180°=∠A+∠CDB,∠B′=∠B=∠BCD,所以∠A′=∠CDB,∠B′=∠BCD,所以△A′B′C′相似△DCB,于是即所以在四邊形ACDB中,由托勒密定理得AC·BD+AB·CD=AD·BC,即因?yàn)锳B//CD,易知AD=BC=a.即證即aa′=bb′=cc′.

圖1

例題1所用到的主要知識(shí)點(diǎn)為,托勒密(Ptolemy)定理：圓內(nèi)接四邊形中,兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度之積等于兩雙對(duì)邊乘積之和.注意到例題1所求證等式形式與托勒密定理相似,結(jié)合已知條件考慮構(gòu)造圓、添加輔助線(xiàn),使用托勒密定理.

托勒密定理是初等幾何中圓一部分的重要定理之一,例題1除了用到托勒密定理,同時(shí)用到了平行線(xiàn)內(nèi)錯(cuò)角相等、三角形相似性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形對(duì)角和性質(zhì)等,這都是初等幾何常用的一些重要性質(zhì)與定理.

通過(guò)例題1我們還可以看出,在中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中幾何題是相對(duì)較難的題型,運(yùn)用什么定理,如何添加輔助線(xiàn),這都是做題的關(guān)鍵.托勒密定理本身的內(nèi)容看似很簡(jiǎn)單,但用到做題上,如何用,何時(shí)用,這都需要日積月累的做題實(shí)踐.運(yùn)用“初等幾何思想方法”做競(jìng)賽幾何題時(shí),對(duì)于常用的定理、性質(zhì)一定要牢記于心,并要學(xué)會(huì)遷移類(lèi)比,對(duì)于幾何題的關(guān)鍵“添加輔助線(xiàn)”,要在做題中善于總結(jié)經(jīng)驗(yàn).

2.高等幾何思想方法

筆者認(rèn)為的“高等幾何思想方法”是,運(yùn)用高等幾何的數(shù)學(xué)思想,如仿射幾何、射影幾何,來(lái)解決初等幾何問(wèn)題.即解決問(wèn)題不再是在歐氏幾何體系之下,而是可以如在射影幾何的公理體系之下解決初等幾何的問(wèn)題.這也是當(dāng)下一些知名學(xué)者比較關(guān)心的高觀(guān)點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué).也許可能讓我們更加清晰的看出問(wèn)題的本質(zhì),從“不識(shí)廬山真面目”到“會(huì)當(dāng)凌絕頂,一覽眾山小”的飛躍.

例題2(蝴蝶定理)如圖2,設(shè)PQ是圓的弦,M是弦PQ的中點(diǎn),通過(guò)M任意作兩條弦AB和CD,設(shè)AD,BC交PQ于T,S,求證：TM=MS.

圖2

證明如圖2,連結(jié)C,P;C,Q;A,P;A,Q.對(duì)于以C為中心的線(xiàn)束,被直線(xiàn)PQ所截,得C(CPCD,CBCQ)=(PM,SQ).同樣,以A為中心的線(xiàn)束,被直線(xiàn)PQ所截,得A(APAD,ABAQ)=(PT,MQ).由同弧所對(duì)的圓周角相等,得所以又因?yàn)镸是PQ的中點(diǎn),故PM=MQ.所以把TQ=TM+MQ,PS=PM+MS代入上式,得再由PM=MQ知MS=TM.

例題2中所用到解題知識(shí),如中心投影的線(xiàn)束,交比性質(zhì)等都已不屬于中學(xué)所學(xué)歐氏幾何的范疇了,而是屬于高等幾何分支射影幾何體系的知識(shí).從證明的過(guò)程可以發(fā)現(xiàn),證明簡(jiǎn)潔流暢,條理清晰,如果要用初等幾何本身的知識(shí)去證明會(huì)非常的困難.

1872年,克萊因在《關(guān)于現(xiàn)代幾何學(xué)研究的比較評(píng)論》一文中總結(jié)了射影幾何、仿射幾何以及其他幾何在當(dāng)時(shí)的發(fā)展結(jié)果,明確地表述了構(gòu)成這些幾何的普遍原則,給出了幾何學(xué)的近代定義,即考慮空間的任何一個(gè)變換群G,研究G的一切不變性和不變量就構(gòu)成了一種幾何.根據(jù)這個(gè)觀(guān)點(diǎn),研究在正交群下圖形的不變性和不變量的學(xué)科稱(chēng)為歐式幾何學(xué).類(lèi)似地,仿射群對(duì)應(yīng)的幾何叫仿射幾何,射影群對(duì)應(yīng)的幾何叫射影幾何.從群的包含關(guān)系來(lái)看,仿射幾何是射影幾何的子幾何,而歐氏幾何又是仿射幾何的子幾何.就幾何學(xué)包含的內(nèi)容多少來(lái)看,歐氏幾何內(nèi)容最豐富,仿射幾何次之,射影幾何的內(nèi)容最少.在歐氏幾何里可以討論仿射性質(zhì)和射影性質(zhì),在仿射幾何里可以討論攝影性質(zhì)而不能討論歐式性質(zhì).這讓我們對(duì)于中學(xué)競(jìng)賽里面的幾何題運(yùn)用“高等幾何思想方法”解題提供了理論依據(jù).如例題2中用到的“線(xiàn)束”知識(shí).

3.代數(shù)思想方法

筆者認(rèn)為的“代數(shù)思想方法”是,運(yùn)用代數(shù)學(xué)的方法解決幾何問(wèn)題,如建立直角坐標(biāo)系計(jì)算、向量法等等.這也是數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合重要思想的體現(xiàn).

例題3在銳角△ABC中,BD是AC邊上的高,E是AB邊上的一點(diǎn),滿(mǎn)足∠AEC=45°,BD=2CE,且DE//BC.求證：CE=AC+AD.

證明如圖3,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB,交AB于點(diǎn)F.設(shè)AD=x,CE=a,則在Rt△CEF中,∠CEF=45°,故EF=由于Rt△ACF相似Rt△ABD,從而故因?yàn)镈E//BC,所以從而解得故進(jìn)而AC+AD=a=CE.

例題3顯然是一道幾何證明題,但我們通過(guò)解題過(guò)程可以看出,整個(gè)過(guò)程更像代數(shù)題目的量化計(jì)算,而不是用幾何本身的定理性質(zhì)加以證明,這樣可以避免很多較難的思考,直接通過(guò)長(zhǎng)度之間的和差關(guān)系進(jìn)行證明.并且采取了設(shè)置中間變量x和a,我們并不需要求出x和a的具體數(shù)值,只是為了證明出最后的結(jié)果,這也是一種證明的有效手段方法.

正如華羅庚教授說(shuō)的那樣：“數(shù)缺形時(shí)少直觀(guān),形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬(wàn)事休.”競(jìng)賽幾何題中,運(yùn)用代數(shù)學(xué)的方法,正是數(shù)形結(jié)合思想的完美體現(xiàn),同樣做代數(shù)題的時(shí)也可以考慮用幾何學(xué)的方法解題.

三、研究結(jié)論與啟示

對(duì)于筆者梳理的數(shù)學(xué)競(jìng)賽幾何題的解題思想方法,即初等幾何思想方法、高等幾何思想方法、代數(shù)思想方法.每種方法各有各自的優(yōu)勢(shì),也有各自的缺點(diǎn).

初等幾何思想方法運(yùn)用的歐氏幾何公理體系下的定理性質(zhì)解決問(wèn)題,對(duì)于中學(xué)生來(lái)講,這更為熟悉,但正像數(shù)學(xué)家克萊因提出的歐氏幾何是仿射幾何的子幾何,亦是射影幾何的子幾何,包含內(nèi)容豐富,對(duì)于那么多定理與性質(zhì)如何選擇也是做題的困難之處.

高等幾何思想方法運(yùn)用更為一般的幾何學(xué)知識(shí)解題,如用射影幾何知識(shí)解題,一道看似很難的題,有可能幾步就被解決了,但對(duì)于中學(xué)生來(lái)講,高等幾何并不是中學(xué)的知識(shí),如果想要用高等幾何知識(shí)解題,那就必須要付出更多的時(shí)間進(jìn)行學(xué)習(xí),同時(shí),高等幾何富含知識(shí)越來(lái)越少,定理性質(zhì)越來(lái)越一般,解題時(shí)也可能忽略題目的細(xì)節(jié)所在.

代數(shù)思想方法有可能避免了添加輔助線(xiàn),減輕了題目的難度,但也要因題而異,有的題目本身用初等幾何的定理性質(zhì)就可以很快解決,用代數(shù)運(yùn)算反而會(huì)增加做題時(shí)間,顯得更加繁瑣.

總之,對(duì)于競(jìng)賽幾何題：“沒(méi)有最好的方法,只有最適合的方法.”用自己最熟悉的知識(shí)體系,在最快的時(shí)間內(nèi),做對(duì)題目,即達(dá)到目的.

由于筆者學(xué)術(shù)水平有限,對(duì)于競(jìng)賽幾何題的解題思想方法僅進(jìn)行了簡(jiǎn)單的梳理總結(jié)和分析,希望能起到一個(gè)拋磚引玉的作用,能給競(jìng)賽教師和學(xué)生一些經(jīng)驗(yàn)啟示,并在附錄作了一份《競(jìng)賽幾何題解題思想方法》教學(xué)設(shè)計(jì),僅供參考.

四、附錄：教學(xué)設(shè)計(jì)

《競(jìng)賽幾何題解題思想方法》教學(xué)設(shè)計(jì)

1.教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能目標(biāo)

(1)掌握競(jìng)賽幾何題的三種解題思想方法;

(2)對(duì)于一道競(jìng)賽幾何題嘗試用兩種或三種方法分別解題.

2.過(guò)程與方法目標(biāo)

從一道競(jìng)賽幾何題出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生從不同方向進(jìn)行思考解題,加深學(xué)生對(duì)競(jìng)賽幾何題解題思想方法的認(rèn)識(shí).

3.情感與態(tài)度目標(biāo)

從學(xué)生熟悉的競(jìng)賽題目出發(fā),讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)過(guò)程,又體現(xiàn)知識(shí)的應(yīng)用過(guò)程,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,鍛煉邏輯思維,處理問(wèn)題的能力,有利于學(xué)生理性處理身邊的事物,培養(yǎng)一種社會(huì)責(zé)任感.

2.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

(1)重點(diǎn)：競(jìng)賽幾何題的三種解題思想方法.

(2)難點(diǎn)：高等幾何思想方法解決競(jìng)賽幾何問(wèn)題.

3.教學(xué)方法和手段

基于本節(jié)課的內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)習(xí)競(jìng)賽學(xué)生的心理及思維發(fā)展特征,在教學(xué)中選擇講授法、討論法和總結(jié)法相結(jié)合.與學(xué)生建立平等融洽的互動(dòng)關(guān)系,營(yíng)造合作交流的學(xué)習(xí)氛圍.

4.教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)一例題1分析講解,運(yùn)用“初幾”和“高幾”兩種方法

問(wèn)題1：在初等幾何上我們學(xué)習(xí)了很多定理,哪位同學(xué)還知道賽瓦定理得內(nèi)容是什么?

問(wèn)題2：對(duì)于“完全四邊形”、“調(diào)和四邊形”、“調(diào)和點(diǎn)列”這些概念大家有了解嗎?

設(shè)計(jì)意圖所選擇的典型例題1運(yùn)用“初等幾何思想方法”需要用到賽瓦定理,故先復(fù)習(xí)定理本身內(nèi)容;另外運(yùn)用“高等幾何思想方法”要先講解基礎(chǔ)知識(shí),提出一些學(xué)生從未聽(tīng)過(guò)的概念名詞,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

所涉及知識(shí)點(diǎn)

1.賽瓦定理：在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O,延長(zhǎng)AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F,則.(如圖4)

圖4

2.調(diào)和點(diǎn)列：對(duì)于線(xiàn)段AB的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D滿(mǎn)足則稱(chēng)點(diǎn)列A、B、C、D是調(diào)和點(diǎn)列.

3.完全四邊形：兩兩相交,且沒(méi)有三線(xiàn)共點(diǎn)的四條直線(xiàn)及它們的六個(gè)交點(diǎn)所構(gòu)成的圖形叫完全四邊形.

例題1在△AEF中,B、D分別為邊AE、AF的中點(diǎn),連結(jié)BF、DE交于點(diǎn)C,連結(jié)AC延長(zhǎng)交EF于M.求證：M為EF中點(diǎn).

法一初等幾何思想方法

圖5

法二高等幾何思想方法

如圖5,在完全四邊形ABCD中,E、M、F、W∞成調(diào)和點(diǎn)列,所以即ME=MF,則M為EF的中點(diǎn).

講解分析通過(guò)一道競(jìng)賽幾何題用“初等幾何思想方法”和“高等幾何思想方法”兩種方法講解,讓學(xué)生一目了然的理解兩種方法各自的優(yōu)勢(shì)與特點(diǎn).

例題1兩種證明方法思路都比較簡(jiǎn)明,法一需要很好的掌握賽瓦定理,法二需要學(xué)生打破歐氏幾何公理體系的范疇,在歐式幾何中兩條平行線(xiàn)是沒(méi)有交點(diǎn)的,而在射影幾何公理體系下,兩條平行線(xiàn)是交于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的,這樣就能很快證明出結(jié)果.

環(huán)節(jié)二例題2分析講解,運(yùn)用“初幾”和“代數(shù)”兩種方法

問(wèn)題1：在初等幾何上最重要的圖形之一就是三角形,三角形的五心分別是?五心分別有哪些重要性質(zhì)呢?

問(wèn)題2：平面向量基本定理的內(nèi)容是什么呢?

設(shè)計(jì)意圖所選擇的典型例題2運(yùn)用“初等幾何思想方法”需要用三角形五心知識(shí),故先復(fù)習(xí)相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容;另外本題“代數(shù)思想方法”主要用到平面向量知識(shí),故先復(fù)習(xí)回憶最重要的知識(shí)點(diǎn)平面向量基本定理.這兩種方法所用到的知識(shí)都是學(xué)生非常熟悉的,故不需要用很長(zhǎng)時(shí)間進(jìn)行復(fù)習(xí).

例題2設(shè)O為△ABC的外心,AB=AC,D是AB的中點(diǎn),G是△ACD的重心.求證：OG⊥CD.

圖6

法一初等幾何思想方法(利用垂心性質(zhì)：兩⊥?第三⊥)如圖6,F、D分別為AB、BC的中點(diǎn),有E為△ABC的重心.所以CE：ED=2：1.又G為△ACD的重心,所以CG：GH=2：1,所以EG//DH.因?yàn)镺D⊥DH,所以O(shè)D⊥EG(1),因?yàn)镚為△ACD的重心,所以M為AC中點(diǎn),所以DM為中位線(xiàn),又因?yàn)锳F⊥BC,所以AF⊥DG,即AE⊥DG(2),由(1)和(2)可得,O為△DEG的垂心,所以O(shè)G⊥CD.

法二代數(shù)思想方法(結(jié)合向量法計(jì)算證明)

講解分析通過(guò)一道競(jìng)賽幾何題用“初等幾何思想方法”和“代數(shù)思想方法”兩種方法講解,同樣可以像例題1那樣讓學(xué)生一目了然的理解兩種方法各自的優(yōu)勢(shì)與特點(diǎn).

例題2兩種證明方法可以看出法二的代數(shù)法利用向量進(jìn)行機(jī)械計(jì)算即可,思考的過(guò)程相對(duì)法一少了許多,但這也要求學(xué)生對(duì)平面向量基本定理能有深刻的理解.

環(huán)節(jié)三總結(jié)反思,作業(yè)布置

通過(guò)兩道競(jìng)賽幾何例題讓學(xué)生體會(huì)三種思想方法,課后可讓學(xué)生在以前做過(guò)的競(jìng)賽幾何題運(yùn)用不同方法再進(jìn)行求解求證,鼓勵(lì)他們下節(jié)課展示給全班,這樣也可以讓他們對(duì)競(jìng)賽幾何題有更多的求知欲與學(xué)習(xí)興趣.