巧用化歸“提高”解題能力
——以幾類典型問題為例

江蘇省大豐高級(jí)中學(xué)(224100) 張振敏

在解決問題時(shí)我們常常遇到“新”問題,學(xué)生往往“云里霧里”,沒有思路.但如果能夠“巧”用知識(shí)遷移,轉(zhuǎn)化為已熟悉的問題,不僅找到解決問題的思路,還能化繁為簡,大大減少思考和計(jì)算難度,做到快速準(zhǔn)確的解決問題.

化歸是將面臨的新問題轉(zhuǎn)化為熟悉的規(guī)范問題的中學(xué)數(shù)學(xué)中的常見思想方法[1],它包括化歸對(duì)象、化歸目標(biāo)、化歸途徑三要素.化歸的關(guān)鍵是化歸對(duì)象與化歸目標(biāo)的聯(lián)系,往往需要善于觀察和辨別新問題的特征并尋找其本質(zhì)屬性,進(jìn)而與“舊”知識(shí)本質(zhì)屬性對(duì)應(yīng),常常用到分割圖形,特殊化與一般化、數(shù)形互化、換元、消元、等方法.化歸的一般過程[2]如下圖1：

圖1

一、方程問題

例1解方程

分析這是個(gè)無理方程的問題,一般解法是兩次移項(xiàng),兩次平方,但計(jì)算量很大,也容易出錯(cuò).觀察例1中兩個(gè)無理根式的特征,經(jīng)過變形得即兩個(gè)根式互為倒數(shù),通過換元?jiǎng)t原方程化歸為規(guī)范的一元二次方程.

解原方程可化為

令

說明解無理方程通常是把它化歸為有理方程,平方的過程容易產(chǎn)生增根,因此解分式方程和無理方程式要驗(yàn)根.方程的化歸首先要有豐富的知識(shí)儲(chǔ)備,對(duì)無理方程、分式方程以及換元法熟練掌握;其次要善于觀察問題,必要時(shí)適當(dāng)變形,把原問題的特征凸顯出來,尋求化歸目標(biāo),進(jìn)而建立化歸對(duì)象與化歸目標(biāo)的聯(lián)系.

例2設(shè)的值.

分析這里的問題是已知三個(gè)數(shù)的和以及它們倒數(shù)的和,求三個(gè)數(shù)的平方和,把問題特殊化,容易聯(lián)想到已知

求x2+y2=?的問題,把②變形為平方后即可求解.

解設(shè)令

即nt+mt+mn=0.所以

說明對(duì)于高次方程或多元方程,一般通過特殊化與一般化、整體代換等思想把高次化為低次、多元化為一元或二元.同時(shí)需要要有善于觀察問題的結(jié)構(gòu)特征,即三個(gè)分式的和是1,三個(gè)分式的倒數(shù)和為0,讓求三個(gè)實(shí)數(shù)的平方和,這和兩個(gè)數(shù)的和與它們的倒數(shù)和形式的計(jì)算有很很多特征一樣;二是化歸應(yīng)把原問題化歸為已熟悉的規(guī)范問題,這需要對(duì)方程、求兩個(gè)數(shù)的平方和、配方法熟練的掌握,否則很難建立兩者之間的聯(lián)系化歸很難實(shí)現(xiàn);最后需要多思考,積極嘗試一題多解、一題多變的訓(xùn)練,這樣不僅可以把知識(shí)記憶牢固,還可以提高發(fā)散思維能力.

二、幾何問題

例3如圖2-1,設(shè)ABCD為任意四邊形,E,F將AB分成三等份,G,H將CD分成三等份,求證：

圖2-1

圖2-2

分析(1)顯然需要連接EG,將四邊形EFGH分成兩個(gè)三角形,于是易得進(jìn)而尋找四邊形EBGD與ABCD的關(guān)系,最終可得到結(jié)論.

證明連接EG,將EFGH分成兩個(gè)三角形,連接DE,BG,則

因而

于是

連接DB,將EBGD分割成兩個(gè)三角形,由于

說明解面積、體積的計(jì)算或證明中,經(jīng)常用到分解法和構(gòu)造法.分解法是把考慮問題按需要分解成若干部分使其容易求解,有時(shí)需要把分解后的問題重新組合;構(gòu)造法是通過做輔助線、平移、翻轉(zhuǎn)等過程把隱含條件凸顯出來.如例3,通過連接BD,DE,EH等輔助線把不規(guī)范的四邊形構(gòu)造成規(guī)范的三角形和四邊形,從而達(dá)到化歸的目的.

例4求的最大值.

分析題目中含有根式,并且根式里面為兩個(gè)完全平方式的和,這樣的問題比較棘手,但仔細(xì)觀察每個(gè)根號(hào)里平方差中都有x和x2,若能聯(lián)想到兩點(diǎn)間距離公式,即到A(3,2)與B(0,1)的距離之差的最大值,利用數(shù)形結(jié)合與及三角形邊的的性質(zhì),問題就迎刃而解.

圖3

解由題意知,如圖3所示,上述問題可看成即到A(0,1)與B(3,2)的距離之差的最大值,而C是二次函數(shù)y=x2上的點(diǎn),由圖像知,CB-CA的最大值為線段AB..

說明代數(shù)問題幾何化以及幾何問題代數(shù)化是中學(xué)中常見的化歸技巧,巧用化歸不僅使復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為規(guī)范的幾何問題,而且使復(fù)雜的幾何證明直觀化、代數(shù)化,避免復(fù)雜的幾何證明.例4中的問題看似代數(shù)問題,但仔細(xì)推敲,發(fā)現(xiàn)它與距離的差有相似的之處,因此聯(lián)想到數(shù)形結(jié)合的思想,畫出圖像后發(fā)現(xiàn)這是二次函數(shù)上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離之差的最大值,這需要很強(qiáng)的發(fā)散思維.

三、不等式問題

例5求證.

分析觀察不等式左邊和右邊,左邊第n項(xiàng)的分母為分子為1的n項(xiàng)的和;右邊為可以變形為

通過相鄰兩項(xiàng)分子有理化得到

然后經(jīng)過放縮即可得到結(jié)論.

證明由

可得

說明在不等式計(jì)算或證明中,人們常用分析與綜合法,通過觀察條件和結(jié)論的特征,從熟悉的一方入手,通過適當(dāng)?shù)牡攘孔兓_(dá)到證明的目的;也可同時(shí)從條件與結(jié)論入手,尋找連接兩者之間的橋梁.有時(shí)需用到放縮法舍去一些與問題無關(guān)的項(xiàng),從而快速的解決問題的目的,如本題需要熟練掌握

作為橋梁,否則問題是不好解決.

四、解析幾何問題

圖4

例6如圖4直線l經(jīng)過P(1,3)與x軸的正半軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,且三角形OAB內(nèi)切的圓半徑為1,求直線l的解析式.

分析顯然可設(shè)出A和B的坐標(biāo),利用切線的性質(zhì)很容易把△OAB的周長和面積求出,由等面積法得到ab=2a+2b-2,接著由△OAB～△DAP,進(jìn)而得到.化歸為解二元一次方程組問題,進(jìn)而求出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo),接著用待定系數(shù)法解出直線l的方程.

解設(shè)A(a,0),B(0,b),則

由

得ab=2a+2b-2.由△OAB～△DAP,從而

即ab=3a+b.聯(lián)立方程

解之得

解之得

說明這個(gè)題目的關(guān)鍵是通過設(shè)未知量的方法把已知條件“不足”的問題化歸有充足條件的問題,通過數(shù)學(xué)推理和計(jì)算進(jìn)而建立二元一次方程組,把設(shè)出的未知量解出.觀察本題也可以E點(diǎn)為突破口,通過三角形相似解出E的坐標(biāo),進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出直線的方程.

總結(jié)化歸的核心思想是“變”,這種“變”往往就是解題的一個(gè)思維過程,即在解決問題時(shí)經(jīng)過的思索.化歸的過程是對(duì)問題認(rèn)識(shí)和歸類活動(dòng)的過程;是對(duì)問題不斷分析綜合的過程;是思維定式與突變統(tǒng)一的過程.化歸的目的是將未知化為已知,復(fù)雜化簡單的過程,但并不是所有的問題可以化歸,因此在化歸時(shí)應(yīng)積累大量經(jīng)驗(yàn).否則造成引入歧途,有礙問題的解決.總之化歸無論在初中教學(xué)和解決問題還是在知識(shí)梳理中都扮演者重要的角色,它不僅是教師教學(xué)中必備的方法,巧妙利用化歸加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解,達(dá)到理想的教學(xué)目的,而且是學(xué)生解決問題常用到的方法,巧妙的化歸往往達(dá)到事半功倍的效果.