開展數(shù)學(xué)深度教學(xué) 助力學(xué)生思維進(jìn)階

朱國(guó)軍 彭 亮

在全面深化教育改革的大背景下，數(shù)學(xué)教育目標(biāo)發(fā)生了巨大的變化——從“雙基”到“四基”再到“核心素養(yǎng)”。數(shù)學(xué)教學(xué)理念也因而不斷被刷新升級(jí)，使得“核心素養(yǎng)”“深度學(xué)習(xí)”“深度教學(xué)”“高階思維”成為教育界的熱點(diǎn)話題。筆者嘗試對(duì)數(shù)學(xué)深度教學(xué)和思維進(jìn)階進(jìn)行了一些思考和探索。

一、數(shù)學(xué)深度教學(xué)與思維進(jìn)階

“深度”表示認(rèn)識(shí)觸及事物本質(zhì)的程度。美國(guó)心理學(xué)家布盧姆將認(rèn)知領(lǐng)域的教學(xué)目標(biāo)由簡(jiǎn)到繁分為六個(gè)層次——記憶、理解、應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造?！坝洃洝薄袄斫狻焙汀皯?yīng)用”沒有研究到本質(zhì)問題，屬于淺層學(xué)習(xí)；“分析”“評(píng)價(jià)”與“創(chuàng)造”就有了深度學(xué)習(xí)的味道?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》（以下簡(jiǎn)稱課標(biāo)）也對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程與結(jié)果作了不同水平的劃分，以了解（認(rèn)識(shí)）、理解、掌握等術(shù)語表述學(xué)習(xí)活動(dòng)結(jié)果的不同水平，以經(jīng)歷、體驗(yàn)、探究形容學(xué)習(xí)活動(dòng)過程的不同程度。

深度學(xué)習(xí)是一種深入學(xué)科本質(zhì)和知識(shí)內(nèi)核，由符號(hào)記憶轉(zhuǎn)向邏輯理解和內(nèi)涵認(rèn)知的學(xué)習(xí)。它追求學(xué)生對(duì)知識(shí)的深度認(rèn)知、深度理解、深度體驗(yàn)。學(xué)生深度學(xué)習(xí)的實(shí)現(xiàn)有賴于教師的深度教學(xué)。南京大學(xué)鄭毓信教授對(duì)數(shù)學(xué)深度教學(xué)的具體內(nèi)涵作出如下概括：“數(shù)學(xué)教學(xué)必須超越具體知識(shí)和技能，深入到思維的層面，由具體的數(shù)學(xué)方法和策略過渡到一般性的思維策略與思維品質(zhì)的提升；我們還應(yīng)幫助學(xué)生由在教師（或書本）指導(dǎo)下進(jìn)行學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向更自覺的學(xué)習(xí)，包括善于通過同學(xué)間的合作與互動(dòng)進(jìn)行學(xué)習(xí)，從而真正成為學(xué)習(xí)的主人。”

思維進(jìn)階是針對(duì)思維水平而言的低階思維向高階思維的轉(zhuǎn)變。筆者按照布盧姆的教學(xué)目標(biāo)分類，把學(xué)生的數(shù)學(xué)思維分為六個(gè)層次，“記憶”“理解”與“應(yīng)用”屬于低階思維，“分析”“評(píng)價(jià)”和“創(chuàng)造”屬于高階思維。教師直接告知、學(xué)生記憶結(jié)論、重復(fù)練習(xí)等都屬于低階思維，而學(xué)生自己主動(dòng)去探尋問題、提出問題、創(chuàng)造性地思考問題等都屬于高階思維。低階思維是高階思維發(fā)展的前提，要更好地推動(dòng)學(xué)生發(fā)展高階思維，就要讓學(xué)生在原有低階思維的基礎(chǔ)上展開富有批判性、探索性和創(chuàng)造性的深度學(xué)習(xí)。

深度學(xué)習(xí)與學(xué)生思維進(jìn)階有著相輔相成的關(guān)系，學(xué)生從低階思維進(jìn)階到高階思維需要以深度教學(xué)做媒介，也可以說，深度教學(xué)可以推動(dòng)學(xué)生由低階思維向高階思維進(jìn)階。

二、以數(shù)學(xué)深度教學(xué)推動(dòng)學(xué)生思維進(jìn)階的策略

淺層學(xué)習(xí)體現(xiàn)出不可變通、不成結(jié)構(gòu)、缺少批判性和創(chuàng)新性等低階思維的特征，而深度學(xué)習(xí)體現(xiàn)出靈活性、深刻性、敏捷性、創(chuàng)造性、批判性和結(jié)構(gòu)性等高階思維的特征。筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思維多處于低階思維水平的現(xiàn)象比較明顯，如認(rèn)知膚淺，缺少思維支點(diǎn)；知識(shí)碎片化，思維不成體系；啟發(fā)泛濫，缺乏思維空間；思考無序，思維能力有待提高。長(zhǎng)此以往，學(xué)生將會(huì)出現(xiàn)“高分低能”“高分低品”等問題。因此，教師應(yīng)潛心研究教學(xué)，更新教學(xué)理念，改進(jìn)教學(xué)方法，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)深度教學(xué)，從而提高學(xué)生的思維力、學(xué)習(xí)力，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維。

1.追本溯源，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由表及里。

美國(guó)數(shù)學(xué)家赫斯說：“問題不在于教學(xué)的最好方式是什么，而在于數(shù)學(xué)到底是什么，如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，便永遠(yuǎn)解決不了教學(xué)的爭(zhēng)議?！苯處熢诮虒W(xué)中應(yīng)注重深度挖掘教材，引導(dǎo)學(xué)生追溯知識(shí)的本質(zhì)和內(nèi)核，促進(jìn)他們的數(shù)學(xué)思維由表及里不斷深入。

例如，“3 的倍數(shù)的特征”的學(xué)習(xí)是以原有探究“2、5 的倍數(shù)的特征”為基礎(chǔ)的。常規(guī)教學(xué)是先引導(dǎo)學(xué)生在給定的數(shù)中找出3 的倍數(shù)，再讓他們觀察、猜測(cè)這些數(shù)的特征，然后舉例驗(yàn)證自己的發(fā)現(xiàn)是否正確，最終總結(jié)出3 的倍數(shù)的特征。教師不妨在學(xué)生探索出3 的倍數(shù)的特征后追問：為什么探究“3 的倍數(shù)的特征”要關(guān)注各個(gè)數(shù)位上的數(shù)？并借助“小棒圖”引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)的組成，從而使他們發(fā)現(xiàn)隱藏在知識(shí)背后的道理。當(dāng)教師試探性地問學(xué)生：你知道3 的倍數(shù)的特征嗎？這屬于淺層教學(xué)，會(huì)使學(xué)生的認(rèn)知處于“記憶”和“理解”水平，從而使他們的數(shù)學(xué)思維處于低階層面。教師應(yīng)在淺層教學(xué)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察數(shù)的組成和擺小棒等發(fā)現(xiàn)3 的倍數(shù)的特征的本質(zhì)問題，使他們“知其然，知其所以然”。這才是數(shù)學(xué)深度教學(xué)，能推動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由低階上升到高階。

2.前后串聯(lián)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由點(diǎn)到面。

美國(guó)教育家杜威認(rèn)為：一次完整的思維包含著兩種運(yùn)動(dòng)，一種是用于發(fā)現(xiàn)的歸納性運(yùn)動(dòng)，一種是用于檢驗(yàn)的演繹性運(yùn)動(dòng)，歸納與演繹的雙向互動(dòng)實(shí)現(xiàn)了學(xué)生思維“點(diǎn)—線—面”的輻射式發(fā)展。瑞士?jī)和睦韺W(xué)家皮亞杰認(rèn)為：隨著學(xué)習(xí)者學(xué)的知識(shí)越來越多，就應(yīng)該讓他們認(rèn)清所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，主動(dòng)構(gòu)建認(rèn)知圖式。教師要認(rèn)真研究教材，把握編者的設(shè)計(jì)意圖，關(guān)注前后知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，并引導(dǎo)學(xué)生去比較、去分析、去歸納。

例如，教學(xué)“梯形的面積”，當(dāng)學(xué)生通過割補(bǔ)探究出梯形的面積計(jì)算公式后，教師追問：我們已經(jīng)學(xué)過哪些平面圖形呢？它們的面積計(jì)算公式是什么？這些平面圖形的面積計(jì)算公式之間有什么聯(lián)系呢？接著引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形可以看成上底與下底相等的梯形，長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式可以根據(jù)梯形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)出來。學(xué)生隨即聯(lián)想到正方形、平行四邊形、三角形的面積計(jì)算公式都可以借助梯形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)出來。教師接著提問：圓的面積計(jì)算公式是否也可以借助梯形的面積計(jì)算公式推導(dǎo)出來呢？把知識(shí)延伸到未知的領(lǐng)域，給予學(xué)生遐想的空間。然后，教師拋出直追知識(shí)本質(zhì)的問題：為什么梯形的面積計(jì)算公式可以與其他幾個(gè)平面圖形通用呢？并借助幾何畫板動(dòng)態(tài)演示梯形的變化，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來這些平面圖形之間都是有聯(lián)系的。最后追問：既然梯形的面積計(jì)算公式是通用的，為什么其他圖形的面積不都用這個(gè)公式來計(jì)算呢？引導(dǎo)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)的共性與個(gè)性、復(fù)雜性與簡(jiǎn)捷性。上例中，讓學(xué)生探究梯形的面積計(jì)算公式并且靈活運(yùn)用只是淺層的學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)的是思維的“點(diǎn)”狀提升；接著要求學(xué)生研究各個(gè)平面圖形的面積計(jì)算公式之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)梯形的面積計(jì)算公式與其他幾個(gè)平面圖形通用，使他們的學(xué)習(xí)逐步走向深入，達(dá)到了思維的“線”上串通；最后延伸到圓的面積計(jì)算公式，并追問梯形的面積計(jì)算公式為什么可以通用，這是思維的“面”上延展。整個(gè)過程從基礎(chǔ)知識(shí)的“點(diǎn)”走向基于知識(shí)脈絡(luò)的“線”和“面”，學(xué)生從“理解”“運(yùn)用”到“分析”“評(píng)價(jià)”，經(jīng)歷了深度學(xué)習(xí)，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)思維的深刻性，他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也呈現(xiàn)出生長(zhǎng)態(tài)勢(shì)。

3.質(zhì)疑問難，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由淺入深。

亞里士多德曾說過：“思維是從疑問和驚奇開始的?！痹诮虒W(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)情境中的數(shù)學(xué)信息進(jìn)行充分的觀察、提取、概括，并聯(lián)系已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行聯(lián)想、加工，從而使他們產(chǎn)生疑惑，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)和提出問題。質(zhì)疑問難可以是生生互相質(zhì)疑，也可以是師生互相質(zhì)疑。

例如，教學(xué)“小數(shù)的近似數(shù)”，在學(xué)生匯報(bào)預(yù)習(xí)所得環(huán)節(jié)，教師發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生只是機(jī)械地把整數(shù)求近似數(shù)的原理遷移到小數(shù)中來，從而只能淺層次地匯報(bào)求小數(shù)近似數(shù)的方法，對(duì)于近似數(shù)知識(shí)中的道理則表現(xiàn)出一臉茫然。此時(shí)，教師鼓勵(lì)學(xué)生拋出自己還不明白的問題，有學(xué)生提出他在學(xué)習(xí)整數(shù)近似數(shù)時(shí)就搞不清楚為什么要與“5”比，現(xiàn)在精確到十分位，就更不明白為什么要與十分位的“5”比了。于是，教師借助數(shù)軸讓學(xué)生明晰了為什么要精確到十分位以及怎么來精確到十分位，并讓他們探究怎么精確到百分位。學(xué)生的問題接踵而來：1.50 和1.5 相等，1.50 的0 可以去掉嗎？為什么一個(gè)精確到十分位，一個(gè)精確到百分位，它們的數(shù)值卻一樣呢？教師繼續(xù)讓學(xué)生借助數(shù)軸自己去解決。學(xué)生從數(shù)軸上發(fā)現(xiàn)：近似數(shù)1.50 和近似數(shù)1.5 的取值范圍不同，也就是說它們的精確度不同。學(xué)生在上述不斷發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的過程中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷走向深入，數(shù)學(xué)思維也逐漸走向深刻。

4.求異創(chuàng)新，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由窄變寬。

創(chuàng)新是我國(guó)人才培養(yǎng)的重要標(biāo)準(zhǔn)。課標(biāo)提到的十個(gè)核心概念中就有“創(chuàng)新意識(shí)”。布盧姆將“創(chuàng)造”作為人認(rèn)知的最高水平。小學(xué)階段是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的重要時(shí)期。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用多種方法解決問題。

例如，教學(xué)“奇妙的割補(bǔ)”（蘇教版五上“你知道嗎？”中的以盈補(bǔ)虛相關(guān)內(nèi)容）時(shí)，教師首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)平行四邊形的面積計(jì)算方法及其推導(dǎo)過程，并鼓勵(lì)學(xué)生說說是否還有其他方法。學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以把平行四邊形分割成直角梯形再組合成長(zhǎng)方形；還可以沿著平行四邊形左右兩邊的中點(diǎn)畫垂直線段，然后沿著這個(gè)垂直線段剪下來旋轉(zhuǎn)一下拼成長(zhǎng)方形。接著，教師打破常規(guī)，讓學(xué)生用同樣的割補(bǔ)方法來研究三角形的面積計(jì)算方法，學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以把三角形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形或平行四邊形。最后，教師鼓勵(lì)學(xué)生大膽想象：梯形要怎樣轉(zhuǎn)化呢？此時(shí)，平行四邊形、三角形的多種轉(zhuǎn)化方法為學(xué)生提供了廣闊的思維空間，使他們找到了多種割補(bǔ)方法來求梯形的面積?！皠?chuàng)新來源于求異，創(chuàng)造來源于想象”。我們可以看到，在上述教學(xué)中，學(xué)生一開始研究平行四邊形和三角形的面積計(jì)算方法時(shí)思維比較緩慢，找到的三角形的割補(bǔ)方法也只局限于兩三種；研究到梯形時(shí)，他們的思路全部打開了，找到了更多種不一樣的割補(bǔ)方法。教師不僅讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)了方法的多樣化，還使他們順利實(shí)現(xiàn)了從思維多樣化向本質(zhì)統(tǒng)一性的過渡。

5.理性分析，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由低升高。

批判性思維是高階思維之一。發(fā)展學(xué)生的批判性思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維品質(zhì)，是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的手段和目的。教師要精心設(shè)計(jì)教學(xué)，根據(jù)學(xué)生生成的問題進(jìn)行有深度的提問和課堂推進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行多角度的思考，鼓勵(lì)他們發(fā)出真實(shí)的聲音，做出理性的判斷。

例如，教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”，課前教師調(diào)查發(fā)現(xiàn)，幾乎所有學(xué)生都知道三角形的內(nèi)角和是180°。于是，課始，教師直接要求學(xué)生想辦法驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和是不是180°。學(xué)生首選“量”的方法，當(dāng)學(xué)生量出三個(gè)角的度數(shù)并把它們相加之后發(fā)現(xiàn)不是180°時(shí)，有部分學(xué)生迅速涂改數(shù)據(jù)，還有的學(xué)生一臉茫然。教師拋出問題：難道三角形的內(nèi)角和不是180°？進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)測(cè)量都會(huì)有誤差，并引導(dǎo)學(xué)生想出更多驗(yàn)證方法，如撕拼、折拼等，但學(xué)生嘗試后發(fā)現(xiàn)它們都有誤差，教師繼而告訴學(xué)生：動(dòng)手操作都會(huì)有誤差。最后，有學(xué)生想到可以通過推理來驗(yàn)證——利用兩個(gè)一模一樣的直角三角形拼成長(zhǎng)方形，因?yàn)殚L(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角，內(nèi)角和是360°，所以這個(gè)三角形的內(nèi)角和是360°的一半，90°×4÷2=180°；還有學(xué)生想出把三角形分割成兩個(gè)直角三角形，180°×2-90°×2=180°。其實(shí)，每次教學(xué)這個(gè)內(nèi)容，都會(huì)有學(xué)生為了湊成180°而涂改測(cè)量所得的數(shù)據(jù)。上例，教師沒有漠視學(xué)生測(cè)量的數(shù)據(jù)，而是引導(dǎo)學(xué)生理性分析，進(jìn)而從量拼引出撕拼、折拼，當(dāng)學(xué)生學(xué)會(huì)了理性分析，直接指出撕拼、折拼也有誤差時(shí)，教師抓住時(shí)機(jī)點(diǎn)撥，水到渠成地過渡到計(jì)算推理，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生了解初中要學(xué)的知識(shí)——邏輯推理。研究一步步走向深入，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維也得到了很好的進(jìn)階。

綜上所述，“數(shù)學(xué)是思維的體操”，數(shù)學(xué)深度教學(xué)呼應(yīng)發(fā)展學(xué)生高階思維的訴求，高階思維又是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要標(biāo)識(shí)。教師要找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，探尋學(xué)生數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng)點(diǎn)，引領(lǐng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在深度學(xué)習(xí)中由表及里、由點(diǎn)到面、由淺入深、由窄變寬、由低升高，從而有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。