數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“破”與“立”
——蘇教版四下《認(rèn)識三角形》教學(xué)實(shí)錄與思考

左 雷

學(xué)習(xí)蘇教版四下《認(rèn)識三角形》之前，學(xué)生在生活中都接觸過一些表面呈三角形的物體，大多數(shù)學(xué)生都知道三角形有三個頂點(diǎn)、三條邊、三個角，知道三角形有高矮，能畫出三角形。因此，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，是利用學(xué)生的原有認(rèn)知，把學(xué)生對三角形外形的感性認(rèn)識抽象成理性概念；引導(dǎo)學(xué)生理性認(rèn)識三角形的高，并將三角形的高從生活中高矮的概念里剝離出來，感受生活物體的高矮與三角形的高的異同點(diǎn)；引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會畫高。更重要的是，通過觀察、操作、比較等具體的活動，培養(yǎng)學(xué)生初步的分析、抽象、概括等能力，為今后繼續(xù)學(xué)習(xí)和探索多邊形的相關(guān)知識打下良好的基礎(chǔ)?；谏鲜稣J(rèn)識，筆者以移動的磁點(diǎn)為載體，以磁點(diǎn)的位置變化為主線，以“先破后立”為立足點(diǎn)，引出數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，促進(jìn)他們開展深度學(xué)習(xí)。

一、認(rèn)識三角形

1.基于經(jīng)驗(yàn)，畫三角形。

師（用三個磁點(diǎn)在黑板上擺出三角形）：看著這三個點(diǎn)，你能想象出什么平面圖形？（三角形）試著在空中比劃一下你看到的三角形。今天這節(jié)課，我們就來認(rèn)識三角形。（板書課題）

師：給你這樣三個點(diǎn)，你能畫出一個三角形嗎？（學(xué)生在學(xué)習(xí)單上嘗試畫三角形）

引導(dǎo)學(xué)生從抽象的三個點(diǎn)想象三角形入手，再現(xiàn)已經(jīng)形成的三角形表象，然后讓他們動手畫出具象的三角形，將頭腦中三角形的表象外顯出來，為下面認(rèn)識三角形的特征做鋪墊。

2.基于活動，認(rèn)識三角形的特征。

師（展示學(xué)生畫的兩幅三角形作品）：觀察這兩幅作品，結(jié)合剛才畫三角形的經(jīng)驗(yàn)，想一想，畫三角形時要注意什么？

生1：要畫直的。（板書：直的）

生2：要把這三個點(diǎn)連起來。（板書：連起來）

生3：畫的時候不能超過那個點(diǎn)。

師：你的意思是不能“過了”（用手比劃），對嗎？（板書：不能過了）如果請你介紹這個三角形，你準(zhǔn)備怎么介紹？

生3：三角形有三個頂點(diǎn)、三個角、三條邊。

引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、操作、比較進(jìn)一步認(rèn)識三角形的基本特征，積累認(rèn)識圖形的經(jīng)驗(yàn)，為接下來抽象三角形的概念做準(zhǔn)備。

3.基于積累，建構(gòu)三角形的概念。

師：說到三角形的三條邊，老師突然想到一個問題。（動畫演示將三角形三條邊分開）你們看，三角形的每條邊各有兩個端點(diǎn)，三條邊就有六個端點(diǎn)，為什么三角形只有三個頂點(diǎn)呢？請把你的想法記在學(xué)習(xí)單上，記好后再跟同桌交流。

教師巡視，收集作品，然后多媒體展示學(xué)生作品。有的寫道：有頂點(diǎn)重合了，所以只能看到三個；有的寫道：因?yàn)橛幸恍╉旤c(diǎn)重復(fù)了；有的寫道：有三個端點(diǎn)重疊了。

師：幾位同學(xué)表述不同，有相通的地方嗎？

生：“重合”“重復(fù)”“重疊”意思差不多。

師：“重合”是什么意思？誰跟誰重合了？

生：重合就是兩個點(diǎn)合在一起了，這條線段的一個端點(diǎn)和另一條線段的一個端點(diǎn)重合了。

師：如果咱們把端點(diǎn)排排序，（做手勢）從這開始到這結(jié)束，另一條又從這開始往這結(jié)束，開始的這個點(diǎn)叫“首”的話，那結(jié)束的這個點(diǎn)就叫？（尾）這樣的情況就叫？（首尾相接）（板書：由三條線段首尾相接圍成的圖形叫三角形）

師：回顧剛才大家畫三角形時提出的注意點(diǎn)，概念中有沒有指出三角形的邊是“直的”？

生：有，“線段”就是直的。

師：有沒有強(qiáng)調(diào)“連起來”呢？（首尾相接）哪個詞說的是不能“過了”？（圍成）

通過將三角形拆解成三條線段，由線段端點(diǎn)數(shù)量與三角形頂點(diǎn)數(shù)量不一致引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，從而激發(fā)他們自主建構(gòu)“首尾相接”的概念。同時，通過與之前畫三角形時總結(jié)的注意點(diǎn)相比較，使學(xué)生深刻理解概念的內(nèi)涵，達(dá)到“破”感性、“立”理性的教學(xué)目標(biāo)。

4.基于練習(xí)，強(qiáng)化概念。讓學(xué)生在正例與反例辨析的過程中進(jìn)一步明晰三角形概念的內(nèi)涵與外延，掌握三角形的基本特征。

5.基于操作，理解頂點(diǎn)間的位置關(guān)系。

師：繼續(xù)觀察這三個磁點(diǎn)，如果把這個點(diǎn)擺在這兒（向上或向下移動最上面的頂點(diǎn)，保證三點(diǎn)不在一條直線上），現(xiàn)在還能看出這是三角形嗎？（能）現(xiàn)在呢？（可以）擺在這兒呢？（可以）

師：看來這個點(diǎn)很自由。像這樣移動下去，可以擺出多少個不同的三角形呢？

生（思考后）：無數(shù)個。

師：那擺在這兒行嗎？（移動磁點(diǎn)，讓三個點(diǎn)在一條直線上）（不行）擺在這兒呢？（也不行）

師：這個點(diǎn)好像也沒那么自由，它到底放哪兒行，放哪兒不行呢？

生：三個點(diǎn)不能擺在一條直線上。

師：為什么三個點(diǎn)不能擺在一條直線上呢？

生1：三角形得有三個角，這樣擺就沒有三個角了。

生2：如果三個頂點(diǎn)擺在一條直線上，連接三個點(diǎn)就沒有高度了，只能畫出一條直線。

教師繼續(xù)運(yùn)用可移動的磁點(diǎn)來代替三角形的三個頂點(diǎn)，并引導(dǎo)學(xué)生在移動磁點(diǎn)的過程中感受三角形三個頂點(diǎn)的“自由”和“約束”，體會“無限”和“受限”，從而“破”表象、“立”本質(zhì)。

二、認(rèn)識三角形的高

1.感知三角形的高矮。

師（指著三個磁點(diǎn)）：回到剛才這個三角形，記住它的樣子。（不斷向上移動上面的磁點(diǎn)）這個三角形跟剛才比，有什么變化？（變高了）現(xiàn)在呢？（又變高了，繼而向下移動這個磁點(diǎn)）現(xiàn)在呢？（變矮了）看來三角形也是有高矮的。

2.研究三角形的高。

（1）比高矮。課件出示下頁圖1。

（圖1）

師：你覺得這兩個三角形，哪個高？

生：第二個三角形高。

師：怎么證明？兩個三角形究竟有多高？

學(xué)生自主畫高，教師巡視，然后展示如圖2所示的作品1～3。

（圖2）

師：你們覺得哪個作品表達(dá)得更準(zhǔn)確？

生1：首先可以排除作品1，因?yàn)閷?shí)線就表示將這個三角形分成兩部分了，這里用虛線更合適，虛線表示這條線是后畫的。

生2：作品3 更準(zhǔn)確，他畫的是虛線，而且標(biāo)了直角標(biāo)記，說明畫的是垂線。

師：都是虛線，為什么畫垂線更準(zhǔn)確呢？

…………

師：是的，三角形的高就是從頂點(diǎn)到對邊的垂直線段。

（2）教學(xué)畫高。教師演示畫高，強(qiáng)調(diào)注意點(diǎn)。

（3）練習(xí)畫高。學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)，教師找生成并有序展示如圖3 所示的作品1～3。

師：觀察這三個作品，大家有什么想說的？

生1：作品1 第三個三角形的高畫錯了，應(yīng)該從頂點(diǎn)向?qū)叜嫶怪本€段。

（圖3）

生2：作品2 第二個高的垂直標(biāo)記標(biāo)錯了，應(yīng)該標(biāo)在底上，因?yàn)檫@是表示與底垂直的線段。

生3：作品2 第三個三角形的高畫錯了。他畫的是斜邊上的高。

師：看來三角形的高和底是有講究的，它們是“對應(yīng)”的。作品3 第三個圖形中畫的是高嗎？

生：不是，這條線段不是從頂點(diǎn)到對邊的垂直線段。

師：這條線段與高有什么關(guān)系呢？

生：因?yàn)槠叫芯€間的垂直線段的長度都相等，所以這條線段的長度和三角形的高相等。

師：三角形的高與生活中的高矮一樣嗎？

生：不一樣，高矮只是指長度，三角形的高是頂點(diǎn)到對邊的垂直線段。

師：聽明白了嗎？看來，三角形的高不只包含長度。大家對三角形高的感覺越來越好了！

借助學(xué)生“比高矮”的生活經(jīng)驗(yàn)，幫助他們初步建立三角形高的概念；接著，讓學(xué)生在對比中感知生活中的高矮與三角形的高的差異；進(jìn)而將三角形的高從生活中高矮的概念中剝離出來，達(dá)到“破”經(jīng)驗(yàn)認(rèn)知、“立”概念實(shí)質(zhì)的目的。

很多時候，學(xué)習(xí)就是學(xué)生不斷打破原有認(rèn)知，逐步重建新的認(rèn)知的過程。