金屬橡膠材料遲滯特性力學(xué)模型研究

鄒龍慶，曹義威，付海龍，王 玥

（東北石油大學(xué) 機械科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江 大慶市163000）

金屬橡膠阻尼性能好，可塑性強，可在惡劣的環(huán)境中保持良好性能，在航天航空、交通運輸及工業(yè)生產(chǎn)等方面有著廣泛的應(yīng)用前景。金屬橡膠材料在加卸載過程中表現(xiàn)出較強的非線性遲滯特性，國內(nèi)外學(xué)者針對該特性進行深入研究，并建立了多種力學(xué)模型，最具代表性的有跡法等效阻尼模型、雙折線恢復(fù)力模型和混合阻尼模型[1-2]等。其中將恢復(fù)力分解為彈性恢復(fù)力、黏性恢復(fù)力和干摩擦恢復(fù)力的模型能夠很好描述系統(tǒng)出現(xiàn)干摩擦?xí)r的情景，該類模型在實際工況中得到廣泛應(yīng)用。在眾多模型中，雙線性恢復(fù)力模型形式簡單，參數(shù)識別精度較高，實際生產(chǎn)中應(yīng)用最為廣泛。該模型將黏性恢復(fù)力和干摩擦恢復(fù)力單獨表示，雖能夠很好地描述恢復(fù)機理，但模型中用線性方程表達黏性恢復(fù)力和干摩擦恢復(fù)力，很多情況下，不能準確體現(xiàn)其非線性特征，特別在材料參數(shù)識別應(yīng)用時，受材料制備參數(shù)影響較大。有記憶型恢復(fù)力模型基于雙折線恢復(fù)力模型，將彈性恢復(fù)力改為5 次非線性方程，由非線性黏性阻尼力和干摩擦阻尼力構(gòu)造而成。有記憶恢復(fù)模型較之雙折線模型在描述高階非線性材料遲滯特性方面獲得較大進步，可用于分析黏性恢復(fù)力和干摩擦恢復(fù)力所占比例及變化規(guī)律[3-4]。

有記憶型恢復(fù)力模型將恢復(fù)力分解為無記憶彈性力部分和有記憶阻尼力部分，考慮了變形對恢復(fù)力的影響，彌補了雙線性的不足。但因其干摩擦恢復(fù)力部分采用微分形式表達，導(dǎo)致該模型表達式復(fù)雜，求解困難。針對此問題本文旨在充分考慮干摩擦恢復(fù)力非線性的基礎(chǔ)上，利用微元結(jié)構(gòu)理論進一步優(yōu)化有記憶型恢復(fù)力模型，并利用諧振動試驗驗證。

1 有記憶型恢復(fù)力力學(xué)模型的優(yōu)化

1.1 金屬橡膠試塊恢復(fù)力分析

金屬橡膠有記憶型恢復(fù)力模型中，與整個變形有關(guān)的阻尼部分有著復(fù)雜的阻尼耗能機理，主要包括兩部分，一是部分金屬絲之間發(fā)生滑移和變形，原有形態(tài)及相對位置發(fā)生改變，并產(chǎn)生永久變形，該部分表現(xiàn)為黏性阻尼；另一部分為金屬絲接觸面在受力時發(fā)生相對滑動，在摩擦力的作用下所引起的阻尼為干摩擦結(jié)構(gòu)阻尼[5]。以上兩種恢復(fù)力有著復(fù)雜的非線性特性，是恢復(fù)力模型中主要研究部分，文中著重對干摩擦恢復(fù)力部分進行優(yōu)化研究。

非線性彈性恢復(fù)力采用5 次高階多項式表示，即

式中：Fk為非線性彈性恢復(fù)力；x為金屬橡膠加載位移；k1、k3、k5為彈性系數(shù)。

對于金屬橡膠非線性恢復(fù)力，傳統(tǒng)上通常采用兩種形式表達，即采用等效阻尼力整體表示金屬橡膠非線性阻尼力，另一種形式是將非線性阻尼力細化，分為黏性阻尼力和干摩擦阻尼力[6]。為進一步研究干摩擦阻尼力產(chǎn)生機理，本文采用后者，用黏性阻尼力和干摩擦阻尼力之和表示非線性阻尼力。金屬橡膠黏性阻尼特性與振幅和振頻相關(guān)，其中一次黏性阻尼項占主要成分，高次速度項可忽略不計。因此黏性阻尼力部分可表示為

其中：C為黏性阻尼系數(shù)，A為振動幅值。

1.2 干摩擦阻尼力

金屬橡膠試塊是金屬絲螺旋卷經(jīng)過拉伸、纏繞、沖壓而成型。在加卸載過程中，隨著運動空間的減少，金屬絲螺旋卷相互接觸并發(fā)生相對滑動，產(chǎn)生干摩擦阻尼力。在加卸載過程中，金屬絲螺旋卷接觸狀態(tài)不斷變化，通過對不同接觸狀態(tài)金屬絲螺旋卷進行力學(xué)分析，研究干摩擦阻尼力產(chǎn)生機理[7]。結(jié)合不同接觸狀態(tài)螺旋卷隨位移變化的規(guī)律，推導(dǎo)宏觀下金屬橡膠構(gòu)件的干摩擦阻尼力。

金屬橡膠基本結(jié)構(gòu)單元為金屬絲螺旋卷，如圖1所示。圖中LJ為螺旋卷螺距；DJ為螺旋卷直徑；ds為金屬絲直徑；α為螺旋升角。

圖1 螺旋卷結(jié)構(gòu)圖

在加卸載過程中，微元體相互擠壓并產(chǎn)生相對滑動，引起內(nèi)摩擦耗能，是產(chǎn)生干摩擦阻尼力的主要形式。為此干摩擦阻尼力問題可轉(zhuǎn)化為螺旋卷滑移問題。由力學(xué)分析可知，在加載過程中，載荷首先克服微元體剛度下移，隨著微元體變形不斷增大，接觸點切向力增大，當(dāng)切向力大于臨界摩擦力時，螺旋卷產(chǎn)生相對滑動；卸載過程中，隨著載荷減小，在結(jié)構(gòu)剛度的作用下，微元體恢復(fù)原有形狀。

如圖2所示，支撐力FN由下部橫向螺旋卷結(jié)構(gòu)剛度KT提供，KT根據(jù)材料和圓柱螺旋壓縮彈簧基本理論[8]來確定。

圖2 滑移接觸加載過程示意圖

E為金屬絲材料的彈性模量；υ為金屬絲材料的泊松比。

加載過程中，隨著金屬橡膠試塊體積不斷減小，金屬絲螺旋卷接觸狀態(tài)也隨之從未接觸狀態(tài)到滑移狀態(tài)轉(zhuǎn)化，隨體積進一步減小，滑移狀態(tài)微元體轉(zhuǎn)化為擠壓狀態(tài)。微元體狀態(tài)數(shù)目比例與金屬橡膠試塊相對密度有著復(fù)雜的對應(yīng)關(guān)系，假設(shè)二者成二次非線性關(guān)系，得到如圖3所示的變化趨勢。

圖3 不同接觸狀態(tài)微元體數(shù)目比例圖

橫坐標為金屬橡膠試塊相對密度，縱坐標n為不同接觸狀態(tài)微元體數(shù)目比例。

圖中為隨位移加載量不斷變化的金屬橡膠試塊相對密度。其中曲線1為未接觸狀態(tài)微元體數(shù)目和擠壓狀態(tài)微元體數(shù)目比例，在之前為未接觸狀態(tài)微元體比例之后為擠壓狀態(tài)微元體比例。曲線2為隨加載位移而不斷變化的滑移狀態(tài)微元體數(shù)目的比例。兩曲線在相同相對密度下比例系數(shù)和為1。其中為采用拉伸編織工藝后及毛坯狀態(tài)的相對密度，毛坯狀態(tài)的微元體的接觸狀態(tài)為未接觸。根據(jù)毛坯結(jié)構(gòu)可得毛坯狀態(tài)密度

為金屬橡膠構(gòu)件在彈性范圍內(nèi)能達到的最大相對密度，通常情況下其值在0.3～0.4 變化。金屬橡膠構(gòu)件微元體總數(shù)目N可根據(jù)其成型參數(shù)確定

式中：Ls為金屬絲長度；ρ為金屬橡膠試塊密度；V為金屬橡膠試塊體積；ρs為金屬絲密度。

根據(jù)相對密度變化確定3種接觸狀態(tài)微元體數(shù)目，由于干摩擦耗能只與滑移狀態(tài)微元體貢獻數(shù)目相關(guān)［9］，得滑移狀態(tài)的微軟體數(shù)目比例ns

結(jié)合以上公式可得到隨位移不斷變化的干摩擦力Ff

其中：μ為干摩擦系數(shù)。

結(jié)合式（1）、式（2）和式（7）得到金屬橡膠構(gòu)件的本構(gòu)關(guān)系

上文干摩擦阻尼力分析中只考慮了一組螺旋卷的相互作用，實際狀態(tài)下周圍螺旋卷對該組螺旋卷產(chǎn)生擠壓、摩擦等影響，隨著振幅的增大，影響程度隨之增加。因此在干摩擦阻尼力部分引入與振動幅值A(chǔ)相關(guān)的修正系數(shù)B，得到以下數(shù)學(xué)模型

式中干摩擦阻尼修正系數(shù)B可由試驗獲得。

2 金屬橡膠準靜態(tài)試驗研究

金屬橡膠恢復(fù)力在宏觀上表現(xiàn)為具有記憶特性的遲滯回線[10]。圖4中1為加載曲線，2為卸載曲線。加載時，黏性阻尼力和干摩擦阻尼力阻止內(nèi)部金屬絲的變形，表現(xiàn)為金屬橡膠塊剛度變大；卸載時，黏性阻尼力和干摩擦阻尼力方向改變，阻止變形恢復(fù)，變?yōu)榻饘傧鹉z實際剛度減小。

圖4 金屬橡膠遲滯回線

加載曲線和卸載曲線所圍面積代表黏性阻尼力和干摩擦阻尼力在單個振動周期內(nèi)耗能，體現(xiàn)金屬橡膠減振能力。金屬橡膠遲滯曲線可由加卸載時力-位移曲線得到。

金屬橡膠試塊結(jié)構(gòu)參數(shù)中，相對密度對金屬橡膠遲滯特性有較大影響，為驗證優(yōu)化后有記憶型恢復(fù)力模型準確性及適用性，通過試驗研究不同相對密度金屬橡膠試塊的遲滯回線。

2.1 金屬橡膠試塊的制備

采用直徑為0.2 mm、密度為7.93 kg/cm3的奧氏體不銹鋼303 金屬絲為原材料，利用金屬橡膠卷簧機床機制備金屬絲螺旋卷，并經(jīng)等距拉伸至恒定螺距2 mm，通過模具繞制與沖壓成型，制備得到高為20 mm、內(nèi)外徑分別為16 mm和36 mm的柱型構(gòu)件，如圖5所示。

圖5 金屬橡膠試塊

保持形狀因子β為0.32，制備出2種不同相對密度的試塊，詳細參數(shù)如表1所示。

表1 試塊基本參數(shù)

2.2 理論與試驗對比分析

為驗證理論模型可靠性和在靜態(tài)激勵下的適用性，采用準靜態(tài)試驗對模型進行驗證。試驗采用CMT5105型全數(shù)字化金屬材料電子萬能試驗機，通過可編程控制器實施加載和卸載，如圖6所示。

圖6 試驗裝置及金屬橡膠試塊安裝

分別對2組金屬橡膠試塊進行準靜態(tài)加卸載試驗，為保證初始載荷與位移的準確性，試驗開始前，對試塊預(yù)加2 mm的壓縮位移，試驗中控制加卸載速率為5 mm/min，最大加載位移為6 mm。對試驗數(shù)據(jù)進行處理得到如圖7所示結(jié)果。

為驗證數(shù)學(xué)模型的可靠性，利用試驗所得數(shù)據(jù)對式（9）進行參數(shù)識別。優(yōu)化后的模型無復(fù)雜的微分形式，結(jié)構(gòu)較簡單，可采用普通的非線性最小二乘法對式中參數(shù)進行一次性識別[11]。

圖7 不同相對密度試塊加卸載試驗

利用相對密度為0.2 和相對密度為0.25 的試塊進行理論驗證，得到的試驗值和理論值如圖8所示。

可以看出在不同的相對密度下，該理論模型與試驗值都能很好擬合，尤其當(dāng)相對密度較大時擬合精度更高。雖有誤差，但模型一定程度上可以準確描述金屬橡膠試塊遲滯恢復(fù)力特性。誤差產(chǎn)生的原因為在用理論模型進行微元體結(jié)構(gòu)力學(xué)分析時，根據(jù)材料和結(jié)構(gòu)性形式加載剛度設(shè)定為定剛度，而在實際的金屬橡膠試塊內(nèi)部，螺旋卷剛度不僅隨結(jié)構(gòu)變形而改變，并且受周圍微元體的影響，剛度表現(xiàn)為較強的非線性。

3 數(shù)學(xué)模型物理意義辨析

數(shù)學(xué)模型中參數(shù)有明確的物理意義，對于指導(dǎo)工程應(yīng)用有著重要的作用。為辨析本文建立的金屬橡膠遲滯特性本構(gòu)模型中參數(shù)物理意義，選取相對密度為0.2金屬橡膠試塊進行試驗，參數(shù)識別中采用加載速度為5 mm/min、加載幅值分別為2 mm、4 mm、6 mm 和8 mm 的試驗值。識別結(jié)果如表2所示。

表2 加載幅值為2 mm至8 mm的參數(shù)識別結(jié)果

從表2中識別結(jié)果可以看出，非線性彈性恢復(fù)力系數(shù)隨振幅改變呈現(xiàn)出明顯規(guī)律性，其中低階剛度系數(shù)相對較大，表明在彈性恢復(fù)力中低階剛度系數(shù)占主要成分。系數(shù)隨振幅的增大而減小，表明彈性恢復(fù)力在整個恢復(fù)力中貢獻比例隨振幅增大而變小。

該模型中，非線性阻尼力系數(shù)也具有明顯的物理意義。從識別結(jié)果中看出黏性阻尼力系數(shù)隨著振幅增加而變大，表明黏性阻尼耗能能力隨振幅增加而變大，減振特性也會越明顯。從表2參數(shù)識別結(jié)果中可以看出干摩擦阻尼力修正系數(shù)B與振幅正相關(guān)。如圖9所示。

圖8 理論值與試驗值結(jié)果對比

圖9 干摩擦阻尼修正系數(shù)B和黏性阻尼系數(shù)C隨加載位移變化曲線

圖9中對比黏性阻尼系數(shù)C和干摩擦阻尼力修正系數(shù)B隨振幅變化速率，可看出干摩擦修正系數(shù)變化速率較快，表明隨著振幅的增加，干摩擦阻尼力貢獻比例也在不斷增加。

4 結(jié)語

（1）從微觀角度研究金屬橡膠遲滯恢復(fù)力特性，通過對金屬橡膠螺旋卷結(jié)構(gòu)力學(xué)分析及滑移狀態(tài)微元體數(shù)目的變化得出干摩擦阻尼力產(chǎn)生機理：隨著位移的增加，金屬橡膠螺旋卷接觸并發(fā)生滑移產(chǎn)生干摩擦，同時滑移接觸微元體數(shù)目也隨位移的增加而增多，增大了干摩擦阻尼力在非線性力中的比重。

（2）提出一種金屬橡膠遲滯恢復(fù)力模型，該模型考慮了干摩擦阻尼力對遲滯特性的影響，代替原有模型中微分表達形式。優(yōu)化后的模型中干摩擦阻尼力隨位移變化特性清晰且表達形式簡練，具有求解簡單、適用范圍廣的優(yōu)點，彌補了原有微分模型表達式復(fù)雜、物理意義不清晰和參數(shù)識別過程中求解困難的不足。

（3）提出的金屬橡膠遲滯恢復(fù)力模型將非線性阻尼力進一步用黏性阻尼力和干摩擦阻尼力準確表示。從參數(shù)識別結(jié)果可知，非線性彈性力部分1 階剛度占主要成分，且隨著位移的增大剛度減小，說明進入到軟特性階段；非線性阻尼力中，振幅對黏性阻尼力和干摩擦阻尼力都有較大影響，其中干摩擦阻尼力隨振幅增加貢獻系數(shù)不斷增大。

本文雖優(yōu)化了模型表達式，但在描述干摩擦阻尼力時將滑移支撐剛度假設(shè)為定剛度，與金屬橡膠中復(fù)雜的非線性剛度存在差異，與原有微分模型相比降低了計算精度。因此在后續(xù)工作中亟待對干摩擦阻尼力分量中的剛度做進一步研究，以提高模型精度。