淺談“解析幾何”教學(xué)中空間想象能力的培養(yǎng)

楊立娟

( 綿陽師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，四川綿陽 621000)

“解析幾何”是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課程，是中學(xué)平面解析幾何與立體幾何的繼續(xù)和提高,是“微分幾何”“高等幾何”以及“拓?fù)鋵W(xué)”等課程的基礎(chǔ)，也為物理學(xué)和工程技術(shù)提供必要的數(shù)學(xué)工具.解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何問題，通過向量與坐標(biāo)，建立曲線，曲面方程，研究空間曲線，空間曲面的性質(zhì)特征.對于空間圖形的掌握，學(xué)生的空間想象能力非常重要.因此空間想象能力是解析幾何教學(xué)中需要培養(yǎng)的基本能力之一,通過解析幾何課程的學(xué)習(xí)，需要掌握；

1)基本空間曲線，空間曲面的方程與圖形形狀，并會作圖；

2)根據(jù)條件建立空間曲線，空間曲面的方程；

3)一些簡單曲面所圍成的空間圖形的作圖.

在教學(xué)實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生空間想象能力較差，通過解析幾何的學(xué)習(xí)，并沒有提升相應(yīng)的能力，尤其對空間圖形感到困難.本文主要討論解析幾何課程的圖形教學(xué)，以培養(yǎng)提高學(xué)生的空間想象能力.

1 課堂上的板書教學(xué)

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的特點(diǎn)之一，教師在講解時要大量地在黑板上演算，推理，演示，每一步都是嚴(yán)謹(jǐn)而準(zhǔn)確的，學(xué)生的思維與教師同步進(jìn)行.這種傳統(tǒng)的教學(xué)方式是根本，在這基礎(chǔ)上加入現(xiàn)代教育技術(shù)手段后，教學(xué)方式更加完善，更有效率.解析幾何課程也有大量的計算要板書，除此以外，作為幾何教師，需要有良好的作圖能力，快速，準(zhǔn)確的做出空間圖形.每一節(jié)課的教學(xué)，一些重要的計算，圖形畫法，圖形分析，尤其學(xué)生有困難的地方，教師的板書講解，學(xué)生更容易聽懂理解，印象深刻，從而掌握所學(xué)知識.教學(xué)實(shí)例如：

(1)曲面，空間曲線的認(rèn)識.

(2)典型曲面的畫法.柱面，錐面，橢球面，雙曲面，拋物面等.

柱面，錐面，利用幾何定義，畫母線和準(zhǔn)線構(gòu)成圖形.橢球面，雙曲面，拋物面利用平行截割法，了解用平面截割曲面得到的曲線形狀，只需畫若干橢圓，雙曲線，拋物線就可構(gòu)成圖形.例如雙曲拋物面，可以畫四條拋物線和雙曲線兩支構(gòu)成，拋物線，雙曲線在什么位置，相互之間位置如何，開口大小，教師板書畫圖，同時學(xué)生同步練習(xí)本上畫圖，看起來復(fù)雜的曲面，幾條曲線快速畫出.畫圖的過程能很好的訓(xùn)練學(xué)生的空間想象能力.通過教學(xué)觀察，部分學(xué)生是感到困難的，而這也是學(xué)習(xí)幾何的基本能力.學(xué)生通過觀察，動手去做，及教師指導(dǎo)，提高作圖能力及空間感.

(3)曲面所圍成的空間區(qū)域.

描繪由幾個曲面圍成的空間區(qū)域是解析幾何的一個重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，相比于前面的作圖要復(fù)雜很多.數(shù)學(xué)分析三重積分的計算，經(jīng)常用到曲面所圍成的空間區(qū)域.要能正確畫出曲面所圍成的空間圖形，可以分成幾步進(jìn)行：

(i)判斷每個方程表示的曲面；

(ii)判斷各個曲面的交線以及與坐標(biāo)面的交線；

(iii)準(zhǔn)確畫出各曲面，各交線，關(guān)鍵點(diǎn)得到圖形.

(iii)畫出各曲面，各交線，關(guān)鍵點(diǎn)，得到圖形(略).

學(xué)生能夠正確畫出曲面所圍成的空間區(qū)域，并能想象出空間區(qū)域的形狀，是對基礎(chǔ)知識，基本能力的檢驗(yàn)，將極大的訓(xùn)練和提高空間想象能力.這部分內(nèi)容也有教學(xué)課件，學(xué)生能夠觀察到清晰動感的圖形，曲面相交產(chǎn)生交線過程，但對于這個教學(xué)難點(diǎn)，需要教師步步分析，幫助學(xué)生理解，再輔助教學(xué)課件演示加上學(xué)生動手去做，才能完全掌握.

2 多媒體輔助教學(xué)

“解析幾何”中大量的圖形教學(xué)，教師手繪圖形板書是必要的，但是在現(xiàn)代課堂教學(xué)中，僅依靠教師手繪是不夠的，效率低，一部分空間想象能力不強(qiáng)的學(xué)生感到困難，因此數(shù)學(xué)軟件的使用和教學(xué)課件的制作必不可少.使用教學(xué)課件，能增加課堂教學(xué)的信息量,展示空間圖形的結(jié)構(gòu)、形成過程，學(xué)生觀察的更加清楚.例如解析幾何第四章中：柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面等曲面圖形及形成過程；橢球面、雙曲面、拋物面等用平行截割法觀察曲面的結(jié)構(gòu)；若干曲面所圍成的空間區(qū)域，及直紋曲面，都利用了課件教學(xué).學(xué)生可以驗(yàn)證自己的想象力，訓(xùn)練識圖能力，提高學(xué)習(xí)興趣和積極性.數(shù)學(xué)軟件有強(qiáng)大的繪圖功能,能夠精確畫出各種曲線，曲面，可以隨時變換方程，變換參數(shù)，可以從不同角度觀察，加上使用各種繪圖命令，可以達(dá)到不同效果要求，相比于教學(xué)課件更準(zhǔn)確、快速.教學(xué)課件和數(shù)學(xué)軟件的使用，提高了課堂效率,提高了教學(xué)效果,有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.

另外,“解析幾何”作為高等師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課程,它的學(xué)習(xí)對學(xué)生今后從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有指導(dǎo)作用.教學(xué)課件的制作和數(shù)學(xué)軟件的運(yùn)用是必不可少的現(xiàn)代教育技術(shù)基本技能,教師在教學(xué)過程中，會有良好的示范作用.教師會講解課件的制作方法、數(shù)學(xué)軟件的安裝和使用方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)解析幾何過程中不僅學(xué)習(xí)了“解析幾何”的課程內(nèi)容，培養(yǎng)了幾何能力，同時也學(xué)習(xí)了幾何課程的教學(xué)方法，這對于他們將來成為數(shù)學(xué)教師具有重要意義.

例1 利用Mathematica畫雙曲拋物面，單葉雙曲面的直母線.(雙曲拋物面，單葉雙曲面都是直紋曲面，曲面上有兩族直母線，利用曲面的參數(shù)方程，Mathematica軟件，畫圖，觀察不同的參數(shù)，直線的運(yùn)動形成曲面.)

圖1

例2 利用幾何畫板制作內(nèi)擺線.(大圓不動，小圓在大圓內(nèi)無滑動的滾動，動圓周上某點(diǎn)的軌跡叫做內(nèi)擺線.學(xué)生觀察小圓的運(yùn)動，想象點(diǎn)的軌跡，訓(xùn)練想象能力.同時學(xué)習(xí)使用幾何畫板.)

圖2

3 作圖訓(xùn)練

教師在課堂上手繪圖形，或者利用教學(xué)課件，數(shù)學(xué)軟件演示圖形的制作，空間圖形的形狀，空間圖形的形成，學(xué)生觀察的清楚，也能正確理解.但要真正掌握這些內(nèi)容，必須親自動手.解析幾何課時少，很多內(nèi)容不能在課上完成.無論是手工畫圖，還是利用數(shù)學(xué)軟件，畫空間圖形都是難點(diǎn)，而這也正是學(xué)習(xí)空間幾何需要提高的地方，需要學(xué)生課下反復(fù)的練習(xí)與實(shí)驗(yàn)，不斷的探索，教師可利用網(wǎng)絡(luò)交流平臺給予指導(dǎo).為此教師布置手工繪圖和軟件作圖作業(yè)，學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，交出合格的作業(yè).

練習(xí)1 利用幾何畫板畫外擺線.(圖3)

練習(xí)2利用Mathematica畫單頁雙曲面，雙曲拋物面.(圖4)

練習(xí)3畫空間曲面圍成的立體圖形(解析幾何課本175頁第4題).略.

圖3

圖4

圖形教學(xué)貫穿解析幾何的始終，空間想象能力的形成是一個長期訓(xùn)練與培養(yǎng)的過程，板書教學(xué)與教學(xué)課件，數(shù)學(xué)軟件恰當(dāng)結(jié)合，準(zhǔn)確把握教學(xué)的各個環(huán)節(jié)，有效調(diào)動學(xué)生認(rèn)真思考與學(xué)習(xí)，才能取得較好的效果.