一個(gè)關(guān)于Fibonacci多項(xiàng)式及Fibonacci數(shù)的數(shù)列的注記

李小雪，陳國(guó)慧

(1.西安航空學(xué)院 理學(xué)院，西安 710077；2.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海口 571158)

0 引言

對(duì)任意正整數(shù)n≥0，著名的Fibonacci多項(xiàng)式Fn(x)由F0(x)=1，F(xiàn)1(x)=x及二階線(xiàn)性遞推式

Fn+1(x)=xFn(x)+Fn-1(x),n≥2

定義。

如果令x=1，那么Fn(1)=Fn+1是Fibonacci數(shù)，它的初值為F0=0，F(xiàn)1=1，且Fn+1=Fn+Fn-1，n≥1。

由于Fibonacci多項(xiàng)式Fn(x)及Fibonacci數(shù)Fn在數(shù)學(xué)的理論及應(yīng)用方面都具有重要作用，因此，很多專(zhuān)家學(xué)者對(duì)它們的性質(zhì)進(jìn)行了研究，并得到了一系列重要結(jié)果[1-9]。

2018年，馬元魁和張文鵬[10]研究了卷積和

的計(jì)算問(wèn)題，這里的求和是對(duì)滿(mǎn)足a1+a2+…+ah+1=n的h+1維非負(fù)整數(shù)數(shù)組(a1，a2，…，ah+1)求和。他們利用初等及組合的方法給出了關(guān)于Fn(x)的一個(gè)有意義的恒等式，即下面的結(jié)論：

設(shè)h是一個(gè)正整數(shù)，那么對(duì)任意整數(shù)n≥0，有恒等式

這里S(h,j)是由S(h,0)=0，S(h,h)=1 和S(h+1,i+1)=2·(2h-1-i)·S(h,i+1) +S(h,i)定義的二階非線(xiàn)性遞推序列，1≤i≤h-1是正整數(shù)。

本文作為文獻(xiàn)[10]的一個(gè)注記，將對(duì)該文獻(xiàn)中的結(jié)論進(jìn)一步改進(jìn)和完善。

1 主要結(jié)果

為了進(jìn)一步理解S(h,i)的性質(zhì)，本文列出了S(h,i)的一些值，如表1所示。

表1 S(h,i)的值

對(duì)于(2)式的應(yīng)用，馬元魁和張文鵬[10]證明了對(duì)任意素?cái)?shù)p和滿(mǎn)足0≤i≤p-1的整數(shù)i，有同余式

S(p,i)≡0 modp(p-1)。

經(jīng)過(guò)大量的數(shù)據(jù)計(jì)算，可以發(fā)現(xiàn)序列S(h,i)具有簡(jiǎn)潔的精確表達(dá)式，也就是有下面的結(jié)論：

定理設(shè)h是一個(gè)正整數(shù)，對(duì)任意滿(mǎn)足0≤i≤h的整數(shù)i，有恒等式

那么對(duì)h=k+1，當(dāng)i=k時(shí)，由S(h,i)的定義，有S(k+1,k+1)=1，因此定理正確。如果0≤i≤k-1，那么由遞推式

S(h+1,i+1)=2·(2k-1-i)·S(k,i+1)+S(k,i)

及推斷假設(shè)(4)式，有

S(h+1,i+1)=2·(2h-1-i)·S(h,i+1)+S(h,i)

這意味著對(duì)h=k+1，定理成立。這就完成了定理的證明。

結(jié)合(3)式及文獻(xiàn)[10]中的定理1，可推出下列結(jié)論：

推論1 設(shè)h是一個(gè)正整數(shù)，對(duì)滿(mǎn)足0≤i≤h-1的任意整數(shù)i，有同余式

S(h,i)≡0 modh(h-1)。

推論2 對(duì)任意正整數(shù)h≥1，有恒等式

推論3 對(duì)任意正整數(shù)h≥1 ，有恒等式

2 結(jié)論

作為文獻(xiàn)[10]的注記，本文研究了序列S(h,i)的性質(zhì)，并得到了關(guān)于該序列的一個(gè)簡(jiǎn)潔精確的表達(dá)式。該結(jié)果不僅將S(h,i)復(fù)雜的遞推式表達(dá)成簡(jiǎn)單的組合數(shù)從而便于計(jì)算，而且揭示了Fibonacci多項(xiàng)式和Fibonacci數(shù)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。也就是說(shuō)，(2)式的卷積是由Fi(x)和一類(lèi)組合數(shù)構(gòu)成。此外，推論1進(jìn)一步改進(jìn)并推廣了文獻(xiàn)[10]的定理2，這意味著對(duì)于任意的正整數(shù)h，同余式成立且不受素?cái)?shù)p的限制。

顯然，本文結(jié)果可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化文獻(xiàn)[10]的結(jié)論，文中的推論2和推論3就是對(duì)該文獻(xiàn)相關(guān)結(jié)果的簡(jiǎn)化。