空間第二型曲線積分的計(jì)算方法

王紅喜，楊 青

(1.陜西職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)課部，西安 710100；2.西安航空學(xué)院 理學(xué)院，西安 710077)

0 引言

1 常用的計(jì)算方法

對于空間曲線積分的計(jì)算可分為直接計(jì)算法和間接計(jì)算法，其中直接計(jì)算是指根據(jù)曲線L的方程將其化成定積分來計(jì)算。間接計(jì)算法是指根據(jù)曲線積分與路徑無關(guān)和斯托克斯公式來計(jì)算。因此可將空間第二型曲線積分的計(jì)算分為以下情形。

1.1 直接計(jì)算

這種方法可概括為“選參代入”。

第一步(選參)：常見的空間曲線L的方程類型有參數(shù)方程和一般方程[2]。當(dāng)空間曲線的方程是一般方程時(shí)，往往要將一般方程轉(zhuǎn)化成參數(shù)方程，這樣就選擇了參數(shù)。

第二步(代入)：把L的方程代入曲線積分中，積分的路徑變成了區(qū)間，也就是將曲線積分化成定積分。注意這里定積分的下限是曲線L起點(diǎn)處的參數(shù)值，上限是曲線終點(diǎn)處的參數(shù)值。

一般地，這種方法適用于第二型曲線積分的積分路徑規(guī)則，易于“選參”，并且代入后定積分容易計(jì)算。否則，我們可以考慮使用下面的計(jì)算方法。

1.2 應(yīng)用空間曲線積分與路徑無關(guān)定理

用直接法計(jì)算，將曲線的一般方程寫成參數(shù)方程時(shí)，不是一件容易的事情，即使能寫出參數(shù)方程，如果被積函數(shù)形式復(fù)雜，這時(shí)將其化成定積分時(shí)也難以計(jì)算。若空間曲線積分與路徑無關(guān)，就可以選擇恰當(dāng)?shù)穆窂絹碛?jì)算積分。

1.3 應(yīng)用斯托克斯公式

斯托克斯公式將空間閉曲線積分和閉曲線張成的曲面上的曲面積分聯(lián)系在一起[3]，因此可以應(yīng)用斯托克斯公式來簡化某些第二型曲線積分的計(jì)算。

從x軸正向向負(fù)向看去取順時(shí)針方向。

(cosα，cosβ，cosγ)是指與∑同方向的單位法向量。

根據(jù)L的方向，∑取平面y-xtanα=0，方向指向∑的后側(cè)，故

應(yīng)用斯托克斯公式計(jì)算第二型曲線積分時(shí)，通常是將曲線積分化成第一型曲面積分來計(jì)算，這時(shí)一定要注意閉曲線和它所張成的曲面的方向需符合右手規(guī)則。

雖然斯托克斯公式可以將空間曲線積分化成第一型曲面積分來計(jì)算，但是如果第一型曲面積分的被積函數(shù)比較復(fù)雜，那么采取這種方法達(dá)不到計(jì)算的目的。

2 常見的解題技巧

在計(jì)算空間第二型曲線積分時(shí)，適當(dāng)?shù)膽?yīng)用曲線積分的性質(zhì)會使計(jì)算變得簡便。

2.1 利用曲線積分的牛頓-萊布尼茨公式

由空間曲線積分與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題知[4]，如果存在一個(gè)三元函數(shù)u(x,y,z)，使得在Ω內(nèi)每一點(diǎn)都有du=Pdx+Qdy+Rdz，這時(shí)空間第二型曲線積分就可以用終點(diǎn)和起點(diǎn)的函數(shù)值的差來計(jì)算。只要能求出原函數(shù)，就能利用曲線積分的牛頓—萊布尼茨公式計(jì)算曲線積分。

2.2 利用性質(zhì)化成平面曲線積分

根據(jù)第二型曲線積分的性質(zhì)[5]，如果空間第二型曲線積分的積分曲線的方程中出現(xiàn)z=c(y=c或z=c)(這里c是常數(shù))，這時(shí)可將z=c(y=c或z=c)先代入空間曲線積分中去，化成平面第二型曲線積分來計(jì)算。當(dāng)然，在適當(dāng)?shù)臈l件下，可以用格林公式計(jì)算平面第二型曲線積分。

2.3 利用關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性

命題1 設(shè)被積函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，L=L1∪L2，L1，L2關(guān)于xoy坐標(biāo)面對稱，以xoy坐標(biāo)面區(qū)分，L1，L2的走向相反。則

3 結(jié)語

圖1 積分曲線示意圖

本文主要?dú)w納總結(jié)了空間第二型曲線積分的計(jì)算方法。首先從直接計(jì)算(選參代入)方法入手，然后采用曲線積分與路徑無關(guān)的條件以及斯托克斯公式來求解空間第二型曲線積分，這樣大大增強(qiáng)了計(jì)算空間第二型曲線積分的靈活性。最后又歸納總結(jié)了空間第二型曲線積分的一些解題技巧。