建立平面直角坐標(biāo)系，定量分析中考幾何壓軸題

黃寶玉

【摘要】近年來(lái)，各地不少中考幾何壓軸題，用傳統(tǒng)方法進(jìn)行定性分析，在有限時(shí)間內(nèi)完成的難度很大，如果能有意識(shí)地通過建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行分析、解答，往往更加簡(jiǎn)捷、巧妙.本文以2017年廣州中考的一道幾何壓軸題為例，進(jìn)行對(duì)比說(shuō)明.

【關(guān)鍵詞】平面直角坐標(biāo)系;幾何壓軸題;定量分析

一直以來(lái)，圍繞相似三角形、圓等內(nèi)容命制的純幾何證明題，不斷出現(xiàn)在各地的中考?jí)狠S題中.由于其常需添加輔助線、涉及的數(shù)學(xué)思想方法眾多、覆蓋的知識(shí)面廣，因此，學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)，用傳統(tǒng)幾何方法定性分析，完成的難度很大.縱觀歷年中考試題，不少幾何壓軸題如能有意識(shí)地建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行定量分析，往往能收到意想不到的效果，筆者現(xiàn)以廣州市2017年中考數(shù)學(xué)第25題為例，簡(jiǎn)述該題的幾何解題思路，并呈現(xiàn)建立坐標(biāo)系定量運(yùn)算的解題思路，凸顯用建立坐標(biāo)系法解決某些幾何壓軸題的優(yōu)勢(shì).

一、基本公式

為了順利運(yùn)用建立坐標(biāo)系法解幾何壓軸題，需提前補(bǔ)充如下公式：

兩點(diǎn)間距離公式 若平面內(nèi)兩個(gè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），則A，B兩點(diǎn)間的距離為|AE|=（x1-x2）2+（y1-y2）2.

點(diǎn)到直線距離 設(shè)直線l的方程為Ax+By+C=0，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0，y0），則點(diǎn)P到直線l的距離為|Ax0+By0+C|A2+B2.

兩直線垂直斜率關(guān)系 若兩直線都存在斜率y1=k1x+b1，y2=k2x+b，則k1·k2=-1.

中點(diǎn)公式 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)，則中點(diǎn)公式為x1+x22，y1+y22.

二、原題呈現(xiàn)及思路簡(jiǎn)述

（2017年廣州數(shù)學(xué)中考第25題）如圖1所示，AB是圓O的直徑，AC=BC，AB=2，連接AC.

（1）求證：∠CAB=45°.

（2）若直線l為⊙O的切線，C是切點(diǎn)，在直線上取一點(diǎn)D，使BD=AB，BD所在的直線與AC所在的直線相交于點(diǎn)E，連接AD.

① 試探究AE與AD之間的是數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

② EBCD是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

思路簡(jiǎn)述：

（1）如圖2所示，連接BC，因?yàn)锳B是直徑，所以∠ACB=90°，因?yàn)锳C=BC，所以∠ACB=∠BCA=45°.

（2）分∠ABD為銳角和鈍角兩種情況：

① 當(dāng)∠ABD為銳角時(shí)，如圖3所示，作BF⊥l于點(diǎn)F，證四邊形OBFC是矩形可得AB=2OC=2BF，結(jié)合BD=AB知∠BDF=30°，再求出∠BDA和∠DEA度數(shù)可得;

② 當(dāng)∠ABD為鈍角時(shí)，如圖4所示，同理可得BF=12BD，即可以知道∠BDC=30°，分別求出∠BEC，∠ADB即可得.

（3）分D在C左側(cè)（圖3）和點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)（圖4）兩種情況，作EI⊥AB，證△CAD∽△BAE，得ACBA=CDAE=12，即AE=2CD，結(jié)合EI=12BE，可得BE=2EI=2×22AE=2AE=2×2CD=2CD，從而得出結(jié)論.

評(píng)析：此題將相似、平行、圓、等腰直角三角形、含30度角的直角三角形等內(nèi)容相結(jié)合，考查了分類討論、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)核心思想方法.不僅要想到添加數(shù)條輔助線，還要能想到∠DBF=30°這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，但即使是學(xué)優(yōu)生，要想在有限時(shí)間內(nèi)找到這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，也有很大困難.

三、建立坐標(biāo)系法解題思路詳細(xì)分析

評(píng)析：這樣求解，我們發(fā)現(xiàn)問題的關(guān)鍵在于求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，則可求出AE，AD，EB，CD的長(zhǎng)度，EBCD的值也易求出，而E點(diǎn)的坐標(biāo)可看作是直線AC與直線BD的交點(diǎn)，只要建立方程組即可求出，這樣求解，思路清晰、簡(jiǎn)潔.

四、教學(xué)思考

比較以上兩種解法，可以發(fā)現(xiàn)用建立坐標(biāo)系法解此類幾何壓軸題避免了添加輔助線之苦，解題思路更簡(jiǎn)捷、巧妙.當(dāng)我們面對(duì)一道幾何壓軸題，感到“山重水復(fù)疑無(wú)路”時(shí)，可以嘗試用建立坐標(biāo)系法去應(yīng)對(duì)，興許你會(huì)感受到“柳暗花明又一村”之解題妙境.

“數(shù)缺形時(shí)少直覺、形少數(shù)時(shí)難入微”，著名數(shù)學(xué)家華羅庚的這句話深刻揭示了數(shù)形結(jié)合思想的重要性.溝通“數(shù)”與“形”的橋梁之一——平面直角坐標(biāo)系，則是數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的典范.

如何巧妙建立坐標(biāo)系，才能達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的呢？筆者認(rèn)為，可以考慮以下幾點(diǎn)：

第一，若圖形具有對(duì)稱性，可以利用其對(duì)稱性來(lái)建立平面直角坐標(biāo)系，例如，可以選擇對(duì)稱中心為原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸;第二，可以利用圖形中2條互相垂直的直線作為平面直角坐標(biāo)系的對(duì)稱軸，此外，充分挖掘平面圖形的特征，結(jié)合平面幾何的性質(zhì)或幾何意義來(lái)減少坐標(biāo)參數(shù)，也能簡(jiǎn)化解題過程.

無(wú)疑，用建立坐標(biāo)系法解幾何壓軸題，思路清晰簡(jiǎn)潔、易于上手.而幾何解法思考線路眾多，邏輯性強(qiáng)，需要較高的解題技巧.但任何事物都是一分為二的，一味運(yùn)用建立坐標(biāo)系法.有時(shí)會(huì)由于計(jì)算量大、數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，使得思維受阻，有時(shí)還會(huì)將簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化，如上例第（1）小問，運(yùn)用坐標(biāo)系法反而顯煩瑣.因此，應(yīng)注意將兩者有機(jī)結(jié)合、靈活選用，才能化繁為簡(jiǎn)、大大提高學(xué)生解幾何壓軸題的能力.

【參考文獻(xiàn)】

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