關(guān)于異向思維在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用的探討

張文鋼 張秋穎 李春桃

【摘要】異向思維在科學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明過程中有其重要的地位，它是培養(yǎng)創(chuàng)造型人才的途徑之一，本文從高等數(shù)學(xué)解題教學(xué)出發(fā)，闡述了如何培養(yǎng)學(xué)生異向思維能力的方法.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);異向思維;培養(yǎng)

培養(yǎng)學(xué)生獨立思考，提高學(xué)生解題能力是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一項非常重要的任務(wù).異向思維與其他智力因素有著密切的聯(lián)系，它在科學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明過程中，也有其舉足輕重的地位.因而，在高等數(shù)學(xué)解題的教學(xué)中，教師要注意培養(yǎng)學(xué)生的異向思維能力.這對啟迪學(xué)生的思維，發(fā)展智力有著不可低估的積極意義，是培養(yǎng)創(chuàng)造型人才的途徑之一.所謂異向思維，就是一種不循常理，善于變換，從不同角度來探求問題的解決辦法的思維方式.是創(chuàng)造性思維中一種極為重要的思維形式，它的特點是：富于創(chuàng)造性，思路不落俗套，善于標(biāo)新立異，獨辟蹊徑;富于多向性，思路寬闊輻射，善于多方求索，不拘一格;富于靈活性，思路活潑多變，善于聯(lián)想推導(dǎo)，隨機應(yīng)變.千方百計去完成所研究的中心課題，并在探索過程中尋求最佳方案.如何在高數(shù)解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的異向思維能力呢？結(jié)合多年的教學(xué)實踐，談?wù)劰P者自己的幾點看法和認(rèn)識.

一、提倡綜合分析，激發(fā)異向思維

傳統(tǒng)的解題教學(xué)的弊病主要表現(xiàn)在：課堂上講授的例題過多或片面地強調(diào)程式化和模式化，不僅達(dá)不到使學(xué)生鞏固、理解和運用所學(xué)知識的目的，而且在很大程度上阻礙和抑制了學(xué)生的思維活動.不可否認(rèn)，學(xué)生在解題時思維僵化、刻板、呆滯等不良因素是大量存在的，這與教師的陳舊教學(xué)方式有著直接關(guān)系.因此，解題教學(xué)時，教師要盡量去克服“就題論題”的教學(xué)模式，不能忽視對學(xué)生的思維方法、方式的培養(yǎng)和訓(xùn)練.不僅要發(fā)揮教師在課堂教學(xué)中的主導(dǎo)作用，更要發(fā)揮學(xué)生在課堂教學(xué)中的主體作用，把學(xué)生的解題活動變?yōu)樗季S活動，讓學(xué)生在問題的求解過程中從多個角度、多個層次去展開思維，使學(xué)生在解題過程中得到思維方式方法的訓(xùn)練，啟迪并引導(dǎo)學(xué)生從觀察過渡到聯(lián)想，從有所發(fā)現(xiàn)到有所創(chuàng)造.

例如，證明x≠0時，ex>x+1.這是一道靈活性較強的題目，按照常規(guī)思維，學(xué)生將會按教材的內(nèi)容，利用拉格朗日中值定理來證明：先做一函數(shù)，記為f（x）=ex-x-1，則f（0）=0，由拉格朗日中值定理知f（x）-f（0）=f′（ξ）（x-0），即f（x）=（eξ-1）x（其中ξ在0與x之間）.當(dāng)x>0時，ξ>0，因此，（eξ-1）x>0，即f（x）>0;當(dāng)x<0時，ξ<0，因此，（eξ-1）x>0，即f（x）>0;所以對x≠0時，總有f（x）=ex-x-1>0，即ex>x+1.證畢.

另有一部分學(xué)生則按教材的另一內(nèi)容，利用函數(shù)的單調(diào)性來證明上述習(xí)題.證明如下：

記f（x）=ex-x-1，由于f′（x）=ex-1，當(dāng)x<0時，f′（x）=ex-1<0，f（x）單調(diào)減少，則有f（x）>f（0）=0;當(dāng)x>0時，f′（x）=ex-1>0，f（x）單調(diào)增加，則有f（x）>f（0）=0.故對x≠0時，總有f（x）=ex-x-1>0，即ex>x+1.證畢.

解題的任務(wù)是完成了，然而學(xué)生的創(chuàng)造性思維沒有得到很好的訓(xùn)練與發(fā)揮，教師在這時應(yīng)進(jìn)一步給學(xué)生以鼓勵和巧妙的引導(dǎo)，讓他們通過自己的思考和努力來尋求解答上述習(xí)題的最快捷途徑.教師及時引導(dǎo)學(xué)生觀察ex在x=0的泰勒公式：ex=1+x+R1（x）=1+x+12eξx2（ξ在0與x之間），所以ex=1+x+12eξx2，當(dāng)x=2時，12eξx2>0，故x≠0時，ex>x+1.證畢.

這樣更能拓展學(xué)生的思維，使其充分認(rèn)識到“學(xué)海無涯”.

二、提倡一題多解，訓(xùn)練異向思維

在教學(xué)實踐中我們深深地體會到，學(xué)生的異向思維能力主要靠有目的訓(xùn)練和培養(yǎng)來提高，應(yīng)當(dāng)選好含有一題多解的典型習(xí)題，然后精心設(shè)計，啟發(fā)點撥，分析思路，這對培養(yǎng)學(xué)生的不屈不撓的創(chuàng)造精神將起著積極作用，我們不妨來看下題：

證明數(shù)列：x1=2，x2=2+2，…，xn=2+xn-1，…（根號取算術(shù)根）的極限存在并求出這個極限.

按照常規(guī)思維，學(xué)生將按“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”這個定理來做，先證{xn}單調(diào)增加，因x2=2+x1>2=x1，不妨設(shè)xn>xn-1，則xn+1=2+xn>2+xn-1=xn，由數(shù)學(xué)歸納法可知{xn}單調(diào)增加.再證{xn}有上界，xn<2，由于x1<2，設(shè)xn<2，從而有xn+1=2+xn<2+2=2，即{xn}有上界，故數(shù)列{xn}極限存在.設(shè) limn→∞xn=a，由等式xn+1=2+xn，兩邊取極限得a=2+a，解得a=2或a=-1（舍去），故 limn→∞xn=2.通過異向思維，教師向?qū)W生指出上題可以利用中學(xué)知識很簡潔地予以解決.由于x1=2=2cosπ22，

運用之妙，存于一心.當(dāng)學(xué)生獲得正確的思維方向后，教師要明智地退到“二線”當(dāng)“顧問”附之點撥，把學(xué)生的思路引往深處、高處.學(xué)生創(chuàng)造的智慧的火花，就會隨之迸發(fā)出來.

三、采用變式教學(xué)，培養(yǎng)異向思維

變式教學(xué)就是在教學(xué)中，變化地引用教材的內(nèi)容和形式，從不同的角度，用不同的方法進(jìn)行教學(xué)，在變式教學(xué)中，必然迫使學(xué)生不斷更換應(yīng)用知識的方位和方式，加快學(xué)生的思維節(jié)奏，使學(xué)生的大腦處于高速運轉(zhuǎn)的狀態(tài)，在變中求異、求新.有助于發(fā)展學(xué)生的思維靈活性與廣闊性，以收到增強應(yīng)變能力的良好效果.

如對一個重要極限，在學(xué)期末的復(fù)習(xí)時我們除了清楚教材中的傳統(tǒng)幾何證法之外，教師還可以用洛必達(dá)法則與麥克勞林公式來印證前面的結(jié)果.

四、展開課堂討論，發(fā)展異向思維

課堂教學(xué)中的討論，可以使學(xué)生從多種渠道認(rèn)識問題、分析問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，達(dá)到有所創(chuàng)新，課堂教學(xué)離不開教師的講，更不能說講就是“灌”，問就是啟發(fā)，我們要明白，“講”是為“學(xué)”服務(wù)的，要以“講”導(dǎo)“學(xué)”.只有在教師的生動精辟的講解下，再加上學(xué)生通過熱烈的課堂討論，才能更好地提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，才能真正地做到印象深刻.例如，就函數(shù)展開為關(guān)于x的冪函數(shù)，讓學(xué)生展開討論，最后成功地解決了這道習(xí)題，下面我們就來看一看學(xué)生的創(chuàng)造性思維的全過程.

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