二次函數(shù)最值性質(zhì)的應(yīng)用

浙江省寧波市鄞州藍(lán)青學(xué)校 王科娜

在生產(chǎn)、科研和生活中，我們總想用最少的人力、物力、時(shí)間等來(lái)完成更多的事，收獲最大的效益，管理學(xué)把此稱為生產(chǎn)者利益的最大化和消費(fèi)者效用的最大化，從數(shù)學(xué)的角度看就是最優(yōu)化問(wèn)題，即在特定條件下求解目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值.早在2000多年前，歐幾里得就指出，在周長(zhǎng)相同的一切矩形中，以正方形的面積最大，隨著科技的進(jìn)步與生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)的發(fā)展，最優(yōu)化方法已被廣泛應(yīng)用于社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域，發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用.初中階段學(xué)習(xí)的二次函數(shù)就是解決最優(yōu)化問(wèn)題的一種工具，利用其最值的性質(zhì)可實(shí)現(xiàn)成本的最小化、利潤(rùn)的最大化，求得線段的最小值、面積的最大值等.

一、利用二次函數(shù)最值性質(zhì)確定最大利潤(rùn)

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)有最小值，此時(shí)；當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)有最大值，此時(shí)當(dāng)然求二次函數(shù)的最值也可以將其配成頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（xh）2+k，當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)有最小值y=k，此時(shí)x=h；當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)有最大值y=k，此時(shí)x=h.利用二次函數(shù)最值性質(zhì)確定最大利潤(rùn)，是中考較常見(jiàn)的題型，主要考查學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立二次函數(shù)關(guān)系，然后利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)中“特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)”的要求.

例1（2018·揚(yáng)州改編）漆器是揚(yáng)州的一大特色，揚(yáng)州一網(wǎng)店專門從事一品牌的漆器筆筒銷售，其成本是30元/件，每天銷售的數(shù)量y與銷售的單價(jià)x存在著一次函數(shù)關(guān)系，如圖1所示.

圖1

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）假設(shè)籌劃一天漆器筆筒的銷售量大于或等于240件，當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，其獲取利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖像上兩個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法來(lái)確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)一天漆器筆筒的銷售量不低于240件，可得自變量x的取值范圍，根據(jù)總利潤(rùn)=每件利潤(rùn)×件數(shù)，建立二次函數(shù)關(guān)系式，并將其配成頂點(diǎn)式，結(jié)合自變量的取值范圍求函數(shù)的最大值.

解：（1）根據(jù)題設(shè)可知：解得則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=-10x+700.

（2）由題意得-10x+700≥240，解得x≤46.

設(shè)利潤(rùn)為w=（x-30）·y=（x-30）（-10x+700）=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，則拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線x=50，在對(duì)稱軸的左邊，y隨x的增大而增大，即x＜50時(shí)，w隨x的增大而增大.又x≤46，則當(dāng)x=46時(shí)，w最大=-10（46-50）2+4000=3840.

答：當(dāng)銷售單價(jià)為46元時(shí)，每天獲取的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3840元.

點(diǎn)評(píng)：在實(shí)際問(wèn)題中，二次函數(shù)的最值還受實(shí)際情況的限制，要結(jié)合實(shí)際情況中自變量的取值范圍求最值.二次函數(shù)在自變量m≤x≤n的范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)的圖像是拋物線的一段，最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最小值，根據(jù)自變量的范圍，拋物線上所取的形狀各異，下面是一些常見(jiàn)的情況：

圖2

二、利用二次函數(shù)最值性質(zhì)確定最小面積

二次函數(shù)最值性質(zhì)不僅可以確定銷售問(wèn)題中的最大利潤(rùn)，而且可以確定幾何圖形中最小面積，此時(shí)這個(gè)幾何圖形的面積往往可變，其原因是控制圖形的某些頂點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，故此類問(wèn)題常與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題結(jié)合，其理念符合課程標(biāo)準(zhǔn)“發(fā)展學(xué)生空間觀念”的要求.

圖3

例2如圖3，在△AOB中，∠O=90°，AO=18cm，BO=30cm，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A開(kāi)始出發(fā)，以1cm/s的速度沿著邊AO向其終點(diǎn)O移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)O開(kāi)始出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊OB向終點(diǎn)B移動(dòng)，一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).如果M、N兩點(diǎn)分別從A、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts 時(shí)四邊形ABNM的面積為Scm2.

（1）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出t的取值范圍；

（2）判斷S有最大值還是有最小值，并求出這個(gè)值.

分析：（1）首先用含t的代數(shù)式表示OM、ON，然后根據(jù)“四邊形ABNM的面積”=△AOB的面積-△MON的面積”，可建立S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)線段OA、OB的長(zhǎng)與點(diǎn)M、點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度，可得自變量的取值范圍；（2）可利用配方法把一般式化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)最值性質(zhì)解答.

解：（1）由題意得AM=t，ON=2t，則OM=OA-AM=18-t.

由四邊形ABNM的面積=△AOB的面積-△MON的面積，得

由題意得點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)O需要18s，點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)B需要15s.

因?yàn)镸、N兩點(diǎn)分別從A、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，所以t的取值范圍是0＜t＜15.

（2）S=t2-18t+270=t2-18t+81-81+270=（t-9）2+189.

由a=1＞0，得S有最小值，這個(gè)值是189.

點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)取最值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值，恰好在t允許的范圍內(nèi)，所以二次函數(shù)y=a（x-h）2+k中最值k就是符合題意的最值，此種情況符合圖2中的第三個(gè)圖像.另外，對(duì)于幾何圖形中線段長(zhǎng)、圖形面積的和差關(guān)系，需要通過(guò)觀察圖形得到，解答時(shí)要結(jié)合圖形.

三、利用二次函數(shù)最值性質(zhì)確定線段最大值

中考?jí)狠S題常為二次函數(shù)搭臺(tái)，幾何圖形唱戲，所涉及的問(wèn)題類型較多，其中求線段長(zhǎng)、三角形周長(zhǎng)、三角形面積等問(wèn)題，都可歸結(jié)為求線段長(zhǎng)的最值問(wèn)題，解決這類問(wèn)題需要設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)，建立二次函數(shù)關(guān)系式求線段長(zhǎng)的最值，需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想去觀察和思考問(wèn)題.

例2如圖4，對(duì)稱軸為直線x=-1的拋物線y=x2+bx+c，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0）.

圖4

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo).

（2）點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長(zhǎng)度的最大值.

分析：（1）由對(duì)稱軸的方程與點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）首先利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得直線AC的解析式，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，表示點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用QD的長(zhǎng)就是它們縱坐標(biāo)的差，建立二次函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出最值.

解：（1）由點(diǎn)A（-3，0）與點(diǎn)B關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）.

（2）由拋物線過(guò)點(diǎn)（-3，0），且對(duì)稱軸為直線x=-1，得解得則拋物線的解析式為y=x2+2x-3，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3）.

圖5

如圖5，由于點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，所以可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，-x-3），且-3≤x≤0.

由QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，得點(diǎn)D與點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相同，點(diǎn)D的坐標(biāo)滿足拋物線y=x2+2x-3，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，x2+2x-3）.

由點(diǎn)Q在點(diǎn)D的上方，得QD=-x-3-（x2+2x-3）=-x2-

點(diǎn)評(píng)：如果點(diǎn)A在直線y=kx+b上，那么可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，kx+b），如果點(diǎn)B在拋物線y=ax2+bx+c上，那么可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，ax2+bx+c），這種設(shè)坐標(biāo)的方法可以將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)用代數(shù)式表示出來(lái)，便于用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長(zhǎng).同時(shí)與y軸平行的豎直線段的長(zhǎng)，就用上面點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去下面點(diǎn)的縱坐標(biāo)，與x軸平行的水平線段的長(zhǎng)，就用右邊點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去左邊點(diǎn)的橫坐標(biāo).

函數(shù)最值問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用，具有物理、幾何、經(jīng)濟(jì)學(xué)等方面的研究?jī)r(jià)值，通過(guò)判定最大值或最小值的變化情況，可為日常生活帶來(lái)優(yōu)化經(jīng)濟(jì)效益、減少成本等實(shí)際作用，讓函數(shù)最值問(wèn)題運(yùn)用到實(shí)際生產(chǎn)、生活中，以實(shí)現(xiàn)其實(shí)際意義，這是函數(shù)最值推廣的根本出發(fā)點(diǎn).