深度探究，挖掘內(nèi)涵
——對(duì)2019年杭州市中考數(shù)學(xué)第16題的思考及探究

浙江省杭州錢塘新區(qū)教師教育學(xué)院 童永芳

一、原題呈現(xiàn)

如圖1，把某矩形紙片ABCD沿EF、GH折疊（點(diǎn)E、H在AD邊上，點(diǎn)F、G在BC邊上），使點(diǎn)B和C落在AD邊上同一點(diǎn)P處，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A′，點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D′.若∠FPG=90°，△A′EP的面積為4，△D′PH的面積為1，則矩形ABCD的面積等于______.

圖1

二、試題分析解答

矩形折疊問題主要考查圖形變化中的軸對(duì)稱.了解軸對(duì)稱的概念，探索軸對(duì)稱圖形的基本性質(zhì)：成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分，是教學(xué)中的重點(diǎn).顯然，本題承載了課標(biāo)對(duì)軸對(duì)稱的考查要求.

問題中的條件有：①矩形ABCD沿EF、GH折疊（點(diǎn)E、H在AD邊上，點(diǎn)F、G在BC邊上），點(diǎn)B和C落在AD邊上同一點(diǎn)P處；②∠FPG=90°；③△A′EP的面積為4，△D′PH的面積為1.結(jié)論是求矩形ABCD的面積.

由∠FPG=90°，∠A′=∠A=90°，∠D′=∠D=90°，得PF∥A′E，PG∥D′H，則△A′EP與△D′PH相似.又△A′EP的面積為4，△D′PH的面積為1，則兩三角形的相似比為2∶1.由折疊可得PA′=AB=CD=PD′，從而求出△A′EP的每一條邊和△D′PH的每一條邊，再根據(jù)折疊知道AE=A′E=4，HD=HD′=1.最后由AB=2，AD=，得矩形ABCD的面積為

三、深度探究

解出答案后，我們?nèi)ゼ?xì)細(xì)分析題目中每一個(gè)條件和結(jié)論，意外收獲一些有趣的結(jié)論.

1.針對(duì)條件①點(diǎn)B和C落在AD邊上同一點(diǎn)P處

折疊矩形一次，將矩形紙片ABCD沿EF折疊（點(diǎn)E在AD邊上，點(diǎn)F在BC邊上），使得點(diǎn)B落在AD邊上，這只要AD≥AB即可，日常生活中，我們常常利用圖2的方式從普通的A4紙中折出一個(gè)正方形.但是，此時(shí)按要求將點(diǎn)C也折起，落在同一點(diǎn)P處，顯然做不到.

圖2

利用剛才的結(jié)論，點(diǎn)B落在AD上需要AD≥AB，同樣，點(diǎn)C 落在AD 上需要AD≥CD.顯然，若要點(diǎn)B和C落在AD邊上同一點(diǎn)P處，則AD≥2AB，即BC與AB之比大于或等于2.如圖3所示.

圖3

2.針對(duì)條件②∠FPG=90°

折疊矩形兩次，矩形紙片ABCD沿EF、GH折疊（點(diǎn)E、H在AD邊上，點(diǎn)F、G在BC邊上），點(diǎn)B和C落在AD邊上同一點(diǎn)P處，當(dāng)AD＞2AB時(shí)，我們得到新的研究對(duì)象△PFG，對(duì)于三角形，我們研究邊和角及它們的關(guān)系，常見等腰三角形和直角三角形.我們先來看是否可以是等腰三角形.

（1）△PFG是等腰三角形.

顯然，當(dāng)點(diǎn)P位于AD的中點(diǎn)處時(shí)，PF=FG.

圖4

如圖4，在AD上截取AQ=AB，當(dāng)點(diǎn)P與Q重合時(shí)，△PFG為直角三角形，此時(shí)若FG=FP，△PFG就是以F為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形，此時(shí)GC=PG=FG，BC與AB之比為+2，是最小的.當(dāng)然，在這個(gè)比值下，由對(duì)稱性可得當(dāng)點(diǎn)P在AD的中點(diǎn)右側(cè)時(shí)也存在以點(diǎn)G為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形.

在剛才的探究過程中，如圖3、4，都存在以點(diǎn)F（G）為直角頂點(diǎn)的直角三角形.那∠FPG會(huì)等于90°嗎？

（2）△PFG是直角三角形.

在點(diǎn)P移動(dòng)的過程中，我們發(fā)現(xiàn)∠FPG先變大，再變小，當(dāng)點(diǎn)P位于AD的中點(diǎn)處時(shí)∠FPG最大，而此時(shí)PF=PG，即在這個(gè)時(shí)刻，若∠FPG等于90°會(huì)滿足要求.縮短AB的長(zhǎng)，∠FPG會(huì)變大，成為鈍角，即點(diǎn)P在AD的中點(diǎn)左、右兩個(gè)時(shí)刻會(huì)有直角的情況存在.所以說在PF=PG，∠FPG=90°時(shí)（如圖5），BC與AB的比值最小，其值為+2.而當(dāng)BC與AB的比值大于+2時(shí)，如圖6，∠FPG=90°.同理，根據(jù)對(duì)稱性可知，點(diǎn)P在AD的中點(diǎn)右側(cè)時(shí)也存在∠FPG=90°的情況.

圖5

圖6

繼續(xù)研究∠FPG=90°的情況.

圖6中，連接BE、BP、CH、CP，易得四邊形EBFP、PGCH為菱形，根據(jù)菱形對(duì)角線平分一組對(duì)角，易得∠BPC等于135°.換一個(gè)角度思考問題，如圖7，固定BC，若∠BPC 等 于135°，則點(diǎn)P在圓心角為90°的四分之一圓弧上，經(jīng)過點(diǎn)P作出矩形ABCD都滿足∠FPG=90°.

圖7

如圖8，當(dāng)點(diǎn)P位于弧BC的中點(diǎn)處時(shí)，AB最大，連接OP交BC于點(diǎn)I.設(shè)PI=AB=1，OB=r，根據(jù)，得與之前計(jì)算的結(jié)果吻合.

3.針對(duì)條件③△A′EP的面積為4，△D′PH的面積為1

另外，在圖1中若連接A′D′，則由△A′EP的面積為4，△D′PH的面積為1，可得△PA′D′的面積為2，則很快求得PA′=PD′=2.其原理如圖9，在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，DE∥AC，DF∥AB，因?yàn)?，所以，所?/p>

圖9

圖10

四、大膽猜想

1.有關(guān)∠FPG的度數(shù)

在探究中，我們發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，∠FPG先變大，再變小，當(dāng)點(diǎn)P位于AD的中點(diǎn)處時(shí)∠FPG最大.既然∠FPG的度數(shù)隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)而改變，這符合函數(shù)的概念，如果設(shè)AE的長(zhǎng)為自變量x，∠FPG的大小為因變量y，那么y關(guān)于x是怎樣的函數(shù)？是我們熟系的函數(shù)類型嗎？

2.有關(guān)△PFG

對(duì)△PFG的形狀進(jìn)行探究，主要研究△PFG的邊和角的大小及關(guān)系，關(guān)于△PFG的周長(zhǎng)，其值即為邊BC的長(zhǎng)，是問題的前提條件BC與AB的比值中的信息，那么△PFG的面積的值關(guān)于線段AE的長(zhǎng)會(huì)是什么函數(shù)關(guān)系？同樣，我們以BC=5、AB=1（BC與AB之比大于+2）為例，作出圖像，觀察圖像（如圖11），是二次函數(shù)嗎？無法判斷.

事實(shí)上，我們?cè)O(shè)AE的長(zhǎng)為自變量x，△FPG的面積為因變量y，求出y 關(guān)于x 的函數(shù)，其表達(dá)式為y=，作出圖像，如圖12中的虛線，顯然不是二次函數(shù).

圖11

圖12

五、相關(guān)結(jié)論

探究把某矩形紙片ABCD沿EF、GH折疊（點(diǎn)E、H在AD邊上，點(diǎn)F、G在BC邊上）問題，我們得到一些有趣的結(jié)論：

①若要點(diǎn)B和C落在AD邊上同一點(diǎn)P處，則BC與AB之比大于或等于2.

②當(dāng)點(diǎn)P位于AD的中點(diǎn)處時(shí)，△PFG是以點(diǎn)P為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形；當(dāng)BC與AB之比大于或等于時(shí)，△PFG可以是以點(diǎn)F（G）為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形.

③當(dāng)點(diǎn)P在距離點(diǎn)A或點(diǎn)D一個(gè)AB的長(zhǎng)度時(shí)，△PFG是以點(diǎn)F（G）為直角頂點(diǎn)的直角三角形；若要∠FPG=90°，則BC與AB之比大于或等于

我們猜想：①∠FPG的度數(shù)關(guān)于AE的長(zhǎng)可能是二次函數(shù)（有待讀者驗(yàn)證）；

②△PFG的面積關(guān)于AE的長(zhǎng)也可能是二次函數(shù)（結(jié)果不是）.

六、結(jié)語

中考試題凝聚了命題者的心血，其內(nèi)涵豐富.在解題或解題教學(xué)中若僅僅解出答案就停止腳步，猶如入寶山而空返，十分可惜.日常教學(xué)中，教師若能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)優(yōu)秀的中考試題進(jìn)行深度探究，并對(duì)問題提出新的猜想，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)學(xué)生熱愛探究的精神，培養(yǎng)學(xué)生勇于創(chuàng)新的意識(shí)，最大程度發(fā)揮中考試題的教育教學(xué)功能.