重組學(xué)材精選情境，重視定義貫穿學(xué)程
——以銳角三角函數(shù)單元教學(xué)為例

江蘇省宜興市洋溪中學(xué) 許 琳

三角函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)分支，在初中階段只安排學(xué)習(xí)了很少的一部分，或者說只是開頭，即學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容.不少教材接續(xù)在相似三角形之后學(xué)習(xí)，也是從相似三角形引出直角三角形的邊角關(guān)系，從而定義了正切函數(shù)、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)，而且安排了多個課時才完成了這些新知的教學(xué).從單元教學(xué)的操作角度出發(fā)，我們也可以讓學(xué)生“先見森林，再見樹木”，即先整體呈現(xiàn)新知結(jié)構(gòu)，然后各個深入，系統(tǒng)學(xué)習(xí).本文就是基于單元教學(xué)而展開的銳角三角函數(shù)教學(xué)實(shí)踐，我們先整理該課教學(xué)流程，并給出教學(xué)立意的闡釋，供研討.

一、銳角三角函數(shù)單元教學(xué)課例

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出新知

問題1：在平面直角坐標(biāo)系中畫直線y=x，探討直角三角形中邊與角之間的關(guān)系.

教學(xué)組織：在直線y=x（第一象限的部分）上取一個點(diǎn)A（1，1），觀察點(diǎn)A橫、縱坐標(biāo)的比值；繼續(xù)取一個點(diǎn)B，給定點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為一個任意數(shù)值，計(jì)算出點(diǎn)B的縱坐標(biāo)，分析此時點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)之比.進(jìn)一步推廣到直線y=x（第一象限的部分）上任意一點(diǎn)P，點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)之比都是確定值1.

問題2：在平面直角坐標(biāo)系中畫直線y=2x，用類似的方法求該直線在第一象限上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之比.

教學(xué)組織：學(xué)生研究后發(fā)現(xiàn)該直線在第一象限上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之比值是確定值，而且可進(jìn)一步研究該直線上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之比值也是確定的，為進(jìn)一步引出正弦、余弦的定義做準(zhǔn)備.

問題3：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，過原點(diǎn)O在第一象限內(nèi)引一條射線OM，該射線與x軸的夾角為α，研究該射線上任意一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的比值是否變化.

圖1

教學(xué)組織：在射線OM上取點(diǎn)P、P′，作PN、PN′垂直于x軸，垂足分別為點(diǎn)N、N′，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，可確定點(diǎn)P橫、縱坐標(biāo)的比值是確定的.進(jìn)一步，分析PN∶OP的值也是確定的，從而引出關(guān)于銳角α與上述比值之間的對應(yīng)關(guān)系.

圖2

講授定義：如圖2，在直角三角形ABC中，叫作∠A的正弦，叫作∠A的余弦，叫作∠A的正切.我們把∠A的正弦、余弦、正切統(tǒng)稱∠A的三角函數(shù).

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）理解新知，初步運(yùn)用

例題：（1）如圖3，直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求∠A的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值、正切函數(shù)值.

圖3

圖4

（2）如圖4，在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，c=13，分別寫出∠A和∠B的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值、正切函數(shù)值.

教學(xué)組織：通過兩個特殊直角三角形，讓學(xué)生理解新知、運(yùn)用新知解決問題.同時讓學(xué)生體會一般角度（相對于特殊角度如30°、45°而言）所對應(yīng)的三角函數(shù)值.練習(xí)之間，追問學(xué)生互余的兩個銳角的三角函數(shù)值有什么關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)以下性質(zhì)：

Rt△ABC中，∠C=90°，則sin∠A=cos∠B，cos∠A=sin∠B.并安排學(xué)生進(jìn)行證明.因?yàn)樵赗t△ABC中，∠C=90°，所以，所以sin∠A=cos∠B.可見，證明的過程就是緊扣正弦、余弦的定義去推理，也是加強(qiáng)定義理解、重視定義教學(xué)的有效方法.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）運(yùn)用新知，列表梳理特殊銳角的三角函數(shù)值

根據(jù)直角三角形的邊和角的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，安排學(xué)生自主探究列表梳理30°、45°、60°的三角函數(shù)值（安排算得較快的學(xué)生上臺，板演在黑板上的表1 中）.

表1

教學(xué)組織：列表之后，組織學(xué)生交流如何求這些特殊角的三角函數(shù)值，重視回到定義去解題的思路.在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生觀察表格發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律或性質(zhì)，如猜想：sinα=cos（90°-α），cosα=sin（90°-α），sin2α+cos2α=1，讓學(xué)生從特殊走向一般進(jìn)行證明，證明的過程也體現(xiàn)了“回到定義”的教學(xué)追求.

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）課堂小結(jié)，布置作業(yè)

引導(dǎo)學(xué)生回顧本課所學(xué)內(nèi)容，建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生理解新知從何而來，將來去向何處，讓學(xué)生知道銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)才開個頭，后續(xù)還有很多要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，如銳角三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用（如參與解直角三角形）等.布置作業(yè)略.

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.對比研習(xí)初、高中教學(xué)要求，精心創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入

三角函數(shù)是一門重要的數(shù)學(xué)分支，三角學(xué)更是博大精深、聯(lián)系甚廣，初中、高中階段對三角函數(shù)的要求并不一樣，初中只是略微開端，只研究銳角三角函數(shù)，而且并不涉及函數(shù)圖像和更多的函數(shù)性質(zhì)，所以很多初中教材多是附著在相似三角形或坡度問題上引入銳角三角函數(shù)的概念，與高中階段借助“單位圓”的引入方式并不相同.而且把正切函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)分開介紹給學(xué)生，使得知識呈現(xiàn)碎片化，不利于學(xué)生整體認(rèn)識這幾個新的概念.基于以上認(rèn)識，我們從學(xué)生熟悉的正比例函數(shù)圖像出發(fā)，把目光聚焦在第一象限，研究這些射線上點(diǎn)的坐標(biāo)之比，借助八年級函數(shù)的概念（兩個變量、單值對應(yīng)）引出銳角三角函數(shù)的定義，學(xué)生也容易理解.

2.引導(dǎo)“回到定義”獲取思路，預(yù)設(shè)追問重視定義

在銳角三角函數(shù)單元教學(xué)起始課中，在幾個新的函數(shù)定義之后，及時跟進(jìn)了幾個練習(xí)進(jìn)行訓(xùn)練，而這些訓(xùn)練題的求解都要通過講評時的追問暴露學(xué)生的思維，讓學(xué)生“回到定義”講解思路，既是鞏固新知的需要，更是重視定義的教學(xué)追求.到了后續(xù)推證一些命題或等式時，也需要讓學(xué)生在回答時反復(fù)提到是如何回到定義來思考、來證明的，這也是重視回歸定義的教學(xué)價(jià)值.順便提及，單元起始課教學(xué)，重在概念教學(xué)、定義教學(xué)，而不是大量習(xí)題驅(qū)動下的解題教學(xué)，這是當(dāng)前有些新授課教學(xué)方式走偏的不當(dāng)選擇，誤以為通過大量練習(xí)來鞏固和理解定義，擠壓了新概念、定義生成的教學(xué)，是得不償失的、不可取的.

3.滲透“特殊與一般”研究方法，加強(qiáng)習(xí)題變式教學(xué)

本課教學(xué)的各個不同環(huán)節(jié)都充分體現(xiàn)了從特殊到一般的研究方法，比如，開課情境創(chuàng)設(shè)時，變換不同的正比例函數(shù)，從特殊的正比例函數(shù)y=x或y=2x，到過原點(diǎn)在第一象限作任意一條射線，并研究這些射線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之比，體現(xiàn)了從特殊到一般、從簡單到復(fù)雜的研究方法.在例、習(xí)題訓(xùn)練時，從重要勾股數(shù)組如“3，4，5”“5，12，13”過渡到特殊銳角如30°、45°等的研究，也是從特殊到一般的思路.在特殊銳角三角函數(shù)值的表格整理之后，安排學(xué)生分析表格中函數(shù)的一些性質(zhì)，并走向一般進(jìn)行證明，也體現(xiàn)了特殊與一般的研究路徑.

三、在寫后面

最近一段時間，由于各級教研賽課提出了單元教學(xué)的要求，使得單元教學(xué)得到了較高的關(guān)注，這種課型需要整合教材，重組教材，對教師備課及課堂駕馭提出較高的要求，真正體現(xiàn)了教師的專業(yè)地位，對教師創(chuàng)造性思維也提出較高要求.上面通過一節(jié)銳角三角函數(shù)的課例展示我們對單元教學(xué)的實(shí)踐和理解，不一定準(zhǔn)確，期待更多單元教學(xué)的課例展示，豐富我們的理解和認(rèn)識.