一題多解，殊途同歸

江蘇省如皋市江安鎮(zhèn)江安實(shí)驗(yàn)學(xué)校 高 飛

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的興趣，通過(guò)問(wèn)題的牽引，促使學(xué)生思考，使每個(gè)學(xué)生都能得個(gè)性化發(fā)展.一題多解面向全體學(xué)生，對(duì)學(xué)生個(gè)性化發(fā)展具有重要作用，特別是幾何問(wèn)題，有相當(dāng)一部分學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，就在于幾何圖形的變換無(wú)窮.對(duì)多解的追求，使他們津津樂(lè)道，激發(fā)了他們思維的靈活性，下面，讓我們一起見(jiàn)證一題多解給我們帶來(lái)的快樂(lè).

問(wèn)題1：如圖1，在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，∠D=90°，且已知BC=2，CD=3，試求AB、AD的長(zhǎng)度.

圖1

圖2

類(lèi)型1：構(gòu)造特殊直角三角形

解法1：如圖2，延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E.

因?yàn)椤螧=90°，∠A=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，得∠E=30°.

因?yàn)椤螦DC=∠CDE=90°，CD=3，根據(jù)在直角三角形中，30°的銳角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，得Rt△CED中，CE=2CD=6，根據(jù)勾股定理，得

BE=BC+CE=8.

在Rt△AEB中，根據(jù)直角三角形中，30°的銳角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，得AE=2AB.根據(jù)勾股定理，得AB2+BE2=AE2，即AB2+64=（2AB）2，則3AB2=64，解得.所以AE=2AB=，所以AD=AE-DE=

解法2：如圖3，延長(zhǎng)AB、CD交于點(diǎn)E.

∠A=60°，∠ABC=90°，∠D=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，得∠E=30°，∠CBE=90°.

在Rt△BCE中，BC=2，根據(jù)直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得CE=4.

所以DE=3+4=7.

根據(jù)直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得AE=2AD=

圖3

圖4

類(lèi)型2：將圖形分割為矩形與直角三角形

解法3：如圖4，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，垂足分別是點(diǎn)E、F.

因?yàn)镈E⊥AB，CF⊥DE，∠B=90°，所以四邊形BCFE是矩形，所以EF=BC=2，BE=FC.

在Rt△AED中，∠A=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠ADE=30°.根據(jù)直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得AE=

∠CDF=90°-30°=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠DCF=30°.

在Rt△DCF中，DC=3，根據(jù)直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得根據(jù)勾股定理，得，所以

類(lèi)型3：構(gòu)造直角三角形和等邊三角形

解法4：如圖5，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，作∠BCD的平分線(xiàn)CE交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)D與CE相交于點(diǎn)O.

因?yàn)椤螦=60°，∠B=90°，∠ADC=90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°，得∠BCD=120°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠ADF=30°，所以∠FDC=60°.

因?yàn)椤螧CD的平分線(xiàn)CE交AB于點(diǎn)E，所以∠OCD=∠ECB=60°，所以三角形OCD是等邊三角形.又因?yàn)镃D=3，所以O(shè)D=OC=CD=3.

在Rt△BCE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠BEC=30°，根據(jù)直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得EC=2BC=4，所以EO=4-3=1，根據(jù)勾股定理，得

在Rt△OEF中，∠BEC=30°，根據(jù)直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得根據(jù)勾股定理，得

圖5

圖6

問(wèn)題2：如圖6，平行四邊形ABCD中，AD=2AB，點(diǎn)F、B、A、E在同一直線(xiàn)上，已知FB=AE=AB，試說(shuō)明DF⊥CE.

類(lèi)型1：利用等腰三角形的性質(zhì)與判定

解法1：如圖6，四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等，得CB=AD，CD=AB，且CB∥AD，CD∥EF.

因?yàn)锳D=2AB，F(xiàn)B=AE=AB，所以AD=AF，BC=BE，所以三角形AFD、三角形CBE都是等腰三角形.

根據(jù)等邊對(duì)等角，得∠1=∠F，∠2=∠E.

根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得∠3=∠F，∠4=∠E，所以∠1=∠3，∠2=∠4.

根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，得∠1+∠2+∠3+∠4=180°，所以2∠3+2∠4=180°，所以∠3+∠4=90°.

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠COD=90°，所以DF⊥CE.

類(lèi)型2：利用平行四邊形的性質(zhì)與判定

解法2：如圖7，連接MN、CF、BD、AC、DE.

四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等，得CB=AD，CD=AB，且CB∥AD，CD∥EF.

因?yàn)锳D=2AB，F(xiàn)B=AE=AB，所以CD=FB，CD=AE.

根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得四邊形CDBF是平行四邊形，四邊形CDEA是平行四邊形.

根據(jù)平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分，得CN=BN，DM=AM.

因?yàn)锳D=2AB，所以CN=CD=DM.

根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得四邊形CNMD是平行四邊形.

根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，得平行四邊形CNMD是菱形.

根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，得DF⊥CE.

圖7

圖8

類(lèi)型3：利用三角形中位線(xiàn)定理

解法3：如圖8，連接BM、AN.

四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等，得CB=AD，CD=AB，且CB∥AD，CD∥EF.

根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得∠CDN=∠BFN，∠NBF=∠NCD.

因?yàn)锳D=2AB，F(xiàn)B=AE=AB，所以CN=NB=AB=FB，則點(diǎn)A、F、N在以AF為直徑的同一個(gè)圓上，所以∠ANF=90°.

因?yàn)锳B=AE，所以AN是△BCE的中位線(xiàn).根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的一半，得AN∥CE，所以DF⊥CE.

類(lèi)型4：利用直角三角形的判定

解法4：如圖9，過(guò)點(diǎn)D作DG∥CE交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G.

圖9

四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等，得CB=AD，CD=AB，且CB∥AD，CD∥EF.

根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，得四邊形CDGE是平行四邊形，所以CD=EG.

因?yàn)锳D=2AB，F(xiàn)B=AE=AB，所以AD=AF=AG，所以點(diǎn)F、G、D在以FG為直徑的同一個(gè)圓上，所以∠FDG=90°.又因?yàn)镈G∥CE，所以DF⊥CE.

總之，教師的教學(xué)應(yīng)該建立在學(xué)生自身經(jīng)驗(yàn)、興趣與動(dòng)機(jī)的基礎(chǔ)上，教師一味地講，學(xué)生只是被動(dòng)接受，學(xué)生學(xué)到的是死知識(shí).教師應(yīng)讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并有效探索問(wèn)題，而一題多解為學(xué)生提供了一個(gè)交流互動(dòng)的平臺(tái)，讓學(xué)生在做中學(xué)，在學(xué)中做，讓學(xué)生真正體會(huì)到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣.F