構(gòu)建模型，讓邊角關(guān)系深度呈現(xiàn)*
——2019年南通中考第17題的解法探究與思考

江蘇省海門(mén)市東洲國(guó)際學(xué)校 張浩杰

縱觀南通中考近三年的填空題，都有一道涉及反比例函數(shù)圖像與幾何圖形完美結(jié)合的中檔題，意在挖掘邊和角之間的一種內(nèi)在聯(lián)系，重在考查學(xué)生從形的角度突破，從數(shù)的角度解決的基本技能、基本路徑，旨在教師的教學(xué)過(guò)程中，深層次理解圖形的“邊角關(guān)系”.

一、原題呈現(xiàn)

（2019年南通中考）如圖1，過(guò)點(diǎn)C（3，4）的直線y=2x+b交x軸于點(diǎn)A，∠ABC=90°，AB=CB，曲線y=（x＞0）過(guò)點(diǎn)B，將點(diǎn)A沿y軸的正方向平移a個(gè)單位長(zhǎng)度恰好落在該曲線上，則a的值為_(kāi)_____.

圖1

圖2

二、方法思考

從已知條件中可以發(fā)現(xiàn)△ABC是等腰直角三角形，可知特殊角、邊的關(guān)系、邊角關(guān)系及延伸而出的其他相關(guān)性質(zhì).結(jié)合問(wèn)題，解決的關(guān)鍵點(diǎn)在于求出k的值，可以從數(shù)或形的角度攻克.

1.構(gòu)造“K”型（全等三角形）

（1）如圖2，以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)構(gòu)造等腰直角三角形ACD，分別過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線，過(guò)A、D兩點(diǎn)作y軸的平行線，交于N、M兩點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)由已知可求得直線AC∶y=2x-2、點(diǎn)A（1，0），則CM=AN=4，DM=CN=2，則點(diǎn)D（7，2）.由CB⊥AD，得B是AD的中點(diǎn)，則點(diǎn)B（4，1），則拋物線為，可求得a=4.

（2）如圖3，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，則D為AC的中點(diǎn)，則點(diǎn)D（2，2）.同（1）構(gòu)造“K”型，則AN=DM=2，DN=BM=1，則點(diǎn)B（4，1），則拋物線為y=，可求得a=4.

圖3

圖4

2.構(gòu)造一線三等角模型

如圖5，分別過(guò)點(diǎn)C、B作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)P、M，分別以PC、BM為直角邊在PC左側(cè)、BM右側(cè)作等腰直角△PCD、△BMN.則.又AD=2，CD=，則BM=MN=1，AN=4，則點(diǎn)B（4，1），則拋物線為，可求得a=4.

圖5

圖6

3.構(gòu)造兩角和為45°模型

如圖6，構(gòu)造矩形ANMD.由∠CAB=45°，得∠NAC+∠BAD=45°.可求得tan∠NAC=.若能求出tan∠BAD，則同樣可求出點(diǎn)B的坐標(biāo).如何求tan∠BAD？可以通過(guò)以下探究過(guò)程實(shí)現(xiàn).

如圖7，矩形ABCD中，∠EAF=45°，且滿足△AEF是等腰直角三角形，則，可求得.根據(jù)以上方法在圖6中可求得，則點(diǎn)B（4，1），則拋物線為y=，可求得a=4.

三、解后再思

1.45°角的聯(lián)想

（1）抓住45°角，構(gòu)造“K”型或一線三等角，利用“邊角”關(guān)系，形成全等三角形或相似三角形，為形向數(shù)轉(zhuǎn)化打下基礎(chǔ).在“K”型構(gòu)造上，需找直角，可利用現(xiàn)有的，如方法1（3）；可以借助已知點(diǎn)作為直角頂點(diǎn)，如方法1（1）；也可利用圖形的性質(zhì)去構(gòu)造，如方法1（2）.對(duì)于一線三等角而言，主要還是相似模型的構(gòu)建，真正讓邊角關(guān)系無(wú)處不在.

（2）從一個(gè)角為45°轉(zhuǎn)化為兩角和為45°，通過(guò)構(gòu)造矩形，可推導(dǎo)出“45°+”的正切公式，其本質(zhì)涉及高中知識(shí)：兩角和的正切公式tan（α+β）=對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，可以引導(dǎo)他們進(jìn)一步探究推導(dǎo)其他一些性質(zhì)：如當(dāng)α=β時(shí)；如α+β=45°，且知其中一角的正切值，則可求另一角的正切值（三者可知二求一）.利用這些探究，可將較為復(fù)雜的邊角之間的比例關(guān)系輕松破解.

圖7

圖8

2.三角形邊角關(guān)系之間的變化，形成變式

路徑（1），直角三角形中銳角的度數(shù)發(fā)生變化，如：把“∠ABC=90°，AB=CB”改為“直角△ABC中，∠CAB=30°或60°”，其他不變，以上解決問(wèn)題的方法同樣適用，變化的是構(gòu)造“K”型中，由全等三角形轉(zhuǎn)為相似三角形.

路徑（2），三角形形狀的改變，“∠ABC=90°，AB=CB”改為“等邊△ABC”，改編如下：

如圖8，過(guò)點(diǎn)C（3，4）的直線y=2x+b交x軸于點(diǎn)A，△ABC是等邊三角形，曲線y=（x＞0）過(guò)點(diǎn)B，將點(diǎn)A沿y軸的正方向平移a個(gè)單位長(zhǎng)度恰好落在該曲線上，則a的值為_(kāi)_____.

路徑（3），邊之間的數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化，如：“∠ABC=90°，AB=CB”改為“Rt△ABC，且”，即：

如圖1，過(guò)點(diǎn)C（3，4）的直線y=2x+b交x軸于點(diǎn)A，△ABC是直角三角形，且，曲線y=（x＞0）過(guò)點(diǎn)B，將點(diǎn)A沿y軸的正方向平移a個(gè)單位長(zhǎng)度恰好落在該曲線上，則a的值為_(kāi)_____.

3.解題教學(xué)走向深度

我們知道，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程與數(shù)學(xué)解題緊密相關(guān)，學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提升在于解題的質(zhì)量而非數(shù)量，解題質(zhì)量的提升路在何方？教會(huì)學(xué)生有想法，教會(huì)學(xué)生有對(duì)比，教會(huì)學(xué)生有反思，則是重中之重.本題的研究看似用好45°角，其本質(zhì)可以延伸于角的存在性問(wèn)題的思考策略，舉一反三，從而達(dá)到殊途同歸的目的.解決本題的思路有多種，從基本思路到思路優(yōu)化再到高位思考，在這樣的過(guò)程中讓學(xué)生體驗(yàn)到方法的融會(huì)貫通，達(dá)到觸類旁通的功效，尤其是推導(dǎo)“45°+”正切公式的歷程，激發(fā)學(xué)生對(duì)于高中知識(shí)探究的欲望，能夠有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，因此解題教學(xué)的著力點(diǎn)要落在學(xué)法指導(dǎo)上.當(dāng)然，解題教學(xué)的發(fā)展點(diǎn)要落在問(wèn)題演變上，從一題走向一類，從而讓學(xué)生從變化中發(fā)現(xiàn)不變的結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生的有效提煉，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生從學(xué)解題達(dá)到會(huì)解題，使解題教學(xué)走向深度教學(xué).