Shimizu-Morioka系統(tǒng)與Finance系統(tǒng)生成Lorenz混沌的微分幾何策略*

張端 施佳琴 孫瑩 楊旭華 葉蕾

1) (浙江工業(yè)大學(xué)計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 杭州 310023)

2) (浙江理工大學(xué)建筑工程學(xué)院, 杭州 310018)

從一種受控混沌系統(tǒng)生成另一混沌系統(tǒng)可增強(qiáng)保密通信的安全性, 具備潛在應(yīng)用前景.研究了如何通過狀態(tài)變換以及單輸入反饋, 驅(qū)使受控Shimizu-Morioka系統(tǒng)與受控Finance系統(tǒng)生成Lorenz混沌動態(tài).主要方法是運(yùn)用微分幾何理論, 將上述三種系統(tǒng)等價轉(zhuǎn)換為下三角形式, 并盡量簡化和一致化其方程形式, 使得上述三種不同的3階系統(tǒng)的前兩個方程形式相同, 然后對受控Shimizu-Morioka系統(tǒng)與受控Finance系統(tǒng)設(shè)計單輸入反饋控制第三個方程的形式, 以便達(dá)到生成Lorenz混沌的目的.運(yùn)用該方法, 設(shè)計了受控Shimizu-Morioka系統(tǒng)通過狀態(tài)變換和單輸入狀態(tài)反饋, 混沌反控制生成Lorenz混沌的控制策略; 也設(shè)計了受控Finance系統(tǒng)通過狀態(tài)變換和單輸入狀態(tài)反饋, 廣義同步到Lorenz混沌的控制策略.最后, 借助數(shù)值仿真驗(yàn)證了上述混沌反控制和廣義同步的有效性.

1 引 言

近五十年來, 混沌理論研究迅速興起, 并在保密通信、物理、生物醫(yī)學(xué)、化工、經(jīng)濟(jì)金融、圖像、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域出現(xiàn)眾多成功應(yīng)用的案例[1-5].以保密通信為例, 其功能的實(shí)現(xiàn)依賴于通信系統(tǒng)發(fā)送端以及接收端可生成一致的混沌信號, 若能生成可變的混沌信號, 必將提高其保密能力[3].為此, 本文關(guān)注從一種動態(tài)系統(tǒng)精確或者近似生成另一特定混沌動態(tài)的問題.

混沌反控制和廣義同步均屬生成混沌的方法.混沌反控制通常指受控系統(tǒng)經(jīng)狀態(tài)變換和狀態(tài)反饋等價轉(zhuǎn)換為某混沌系統(tǒng)[6-8].廣義同步的一種定義為受控系統(tǒng)從任何初值開始的軌跡, 經(jīng)過狀態(tài)變換以及可調(diào)整的狀態(tài)反饋輸入, 漸進(jìn)跟蹤某混沌系統(tǒng)從任何初值開始的軌跡, 或者該軌跡經(jīng)某狀態(tài)變換后得到的新軌跡[9-13].可見二者在方法上存在頗多共性, 只是廣義同步考慮了初值不匹配的問題,因此我們綜合討論兩種方法的相關(guān)文獻(xiàn).近年來,混沌反控制和廣義同步的研究取得了一系列精彩的成果, 大致上可分為三類.第一類, 為了簡化狀態(tài)變換的構(gòu)建, 通常選取線性變換, 并采用多輸入狀態(tài)反饋以生成給定的混沌動態(tài)[6,14-16].第二類方法的策略是為混沌系統(tǒng)加入合適控制量, 若經(jīng)運(yùn)用非線性控制理論中的反饋線性化方法可以將其轉(zhuǎn)換為線性能控系統(tǒng), 那么采用其逆過程, 線性能控系統(tǒng)通過狀態(tài)變換和狀態(tài)反饋將生成該混沌系統(tǒng),該方法所得狀態(tài)變換一般為非線性的[17-19].第三種方法不考慮狀態(tài)變換, 僅施加適當(dāng)?shù)姆答? 調(diào)節(jié)系統(tǒng)的李亞普諾夫指數(shù), 從而生成混沌動態(tài)[20-22].

基于保密通信等領(lǐng)域的應(yīng)用前景, 試圖利用受控Shimizu-Morioka混沌系統(tǒng)[23]和受控Finance混沌系統(tǒng)[24]生成Lorenz混沌[25].相較上述第一類和第三類文獻(xiàn), 本文將構(gòu)造非線性狀態(tài)變換和單輸入反饋實(shí)現(xiàn)上述兩系統(tǒng)生成Lorenz混沌, 目前未見類似報道.囿于Lorenz系統(tǒng)的特點(diǎn), 也無法采用第二類文獻(xiàn)中的反饋線性化方法, 故轉(zhuǎn)而尋求轉(zhuǎn)換系統(tǒng)為下三角形式, 并設(shè)計一種新型轉(zhuǎn)換方式以盡可能簡化其下三角形式.主要策略為運(yùn)用微分幾何方法, 對三種系統(tǒng)方程做下三角化, 并盡量簡化和一致化其形式, 最終此三種不同3階系統(tǒng)各具有兩個同形式的方程, 兩受控系統(tǒng)的余下一個方程由單輸入反饋調(diào)整其形式, 從而生成Lorenz系統(tǒng).首先考慮Lorenz系統(tǒng)是否可能轉(zhuǎn)換為下三角形式, 為Lorenz混沌系統(tǒng)配置了一個帶參數(shù)的線性輸入向量場形成受控系統(tǒng), 反復(fù)操作李導(dǎo)數(shù)證明該受控Lorenz系統(tǒng)可等價轉(zhuǎn)換為下三角系統(tǒng), 因此Lorenz混沌系統(tǒng)本身也可轉(zhuǎn)換為下三角形式.其次, 利用多向量場三角化的方法, 避免了求解偏微分方程組, 構(gòu)造非線性狀態(tài)變換, 求得等價于Lorenz混沌系統(tǒng)的下三角系統(tǒng).進(jìn)一步, 通過局部狀態(tài)變換和參數(shù)選擇等方法簡化與Lorenz系統(tǒng)等價的下三角形式.然后, 對受控 Shimizu-Morioka混沌系統(tǒng)以及受控Finance混沌系統(tǒng)做類似的下三角化處理, 結(jié)論是此三個3階動態(tài)系統(tǒng)各自下三角形式的前兩個方程一致, 表明三種不同混沌內(nèi)在具有一定的相似性.最后, 利用上述相似性, 實(shí)現(xiàn)了受控Shimizu-Morioka系統(tǒng)生成Lorenz混沌,以及受控Finance系統(tǒng)與Lorenz混沌的廣義同步.本文討論的異構(gòu)混沌系統(tǒng)生成Lorenz混沌的技術(shù)在保密通信系統(tǒng)中可能會有兩種潛在應(yīng)用.一種在通信系統(tǒng)發(fā)送端應(yīng)用混沌反控制技術(shù), 使其能夠生成兩種甚至多種混沌信號, 提高靈活性.另一種,發(fā)送端利用電路實(shí)現(xiàn)Lorenz系統(tǒng)并調(diào)制信號, 而在接收端則實(shí)現(xiàn)受控Shimizu-Morioka系統(tǒng)或者受控Finance系統(tǒng), 并應(yīng)用廣義同步技術(shù)解調(diào)信號, 由于發(fā)送端和接收端異構(gòu), 當(dāng)其中一端失密時,另一端仍具備一定保密性, 較自同步技術(shù)更為安全, 具體調(diào)制解調(diào)方法可參見文獻(xiàn)[3].

本文余下部分安排如下：第2節(jié)給出本文討論主要問題的數(shù)學(xué)描述; 第3節(jié)在一定范圍內(nèi)討論了Lorenz系統(tǒng)等價轉(zhuǎn)換為下三角形式的各種可能, 并選擇了其中的最簡形式; 第4節(jié)設(shè)計并仿真了單輸入受控Shimizu-Morioka系統(tǒng)通過狀態(tài)變換和反饋混沌反控制生成Lorenz混沌, 以及單輸入受控Finance系統(tǒng)與Lorenz混沌的廣義同步;第5節(jié)總結(jié)全文.

2 問題描述

Lorenz系統(tǒng)是經(jīng)典混沌系統(tǒng), 具體形式為[25]

其中x=(x1,x2,x3)T是狀態(tài)變量;a,b和c是已知的正實(shí)參數(shù), 選取適當(dāng)參數(shù)時系統(tǒng)具有混沌特性,本文要求 2a-b=0 .為該系統(tǒng)增加線性控制向量場成為單輸入受控Lorenz系統(tǒng)

其中v為標(biāo)量輸入;k1,k2和k3均為實(shí)數(shù)并且不全為0.由于系統(tǒng)(2)無法在全局等價轉(zhuǎn)換為線性能控系統(tǒng)(第3節(jié)說明原因), 將考察其能否等價轉(zhuǎn)換為下三角形式的非線性仿射系統(tǒng)[26]

其中z=(z1,z2,z3)T是狀態(tài)變量;v0為標(biāo)量輸入;f1,f2,f3和g3均為光滑函數(shù).轉(zhuǎn)換系統(tǒng) (2), 使其符合下三角形式(3)的一種直接的方法是取z1=x1,z2=x2,z3=x3,k1=k2=0 和k3=0 ,但無益于簡化系統(tǒng)(2)也無明顯實(shí)用性.設(shè)置參數(shù)k1,k2和k3的主要目的是搜尋一種形式簡單, 并且等價于系統(tǒng)(2)的下三角系統(tǒng).尤其考慮系統(tǒng)(2)是否可能等價轉(zhuǎn)換為如下特殊的下三角形式, 也是一種特殊的部分線性化形式[26,27]

這里ρ為實(shí)數(shù),v0為標(biāo)量輸入, 因?yàn)閮煞N重要的受控混沌系統(tǒng), 受控Shimizu-Morioka系統(tǒng)和受控Finance系統(tǒng), 均可經(jīng)簡單處理(下文給出)等價轉(zhuǎn)換為此形式.如果系統(tǒng)(2)也可等價轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)(4), 意味著此二受控系統(tǒng)可生成Lorenz混沌, 實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換.

所謂系統(tǒng)(2)等價轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)(3)或系統(tǒng)(4),是指系統(tǒng) (2) 選取合適參數(shù)k1,k2和k3, 再經(jīng)光滑狀態(tài)變換

以及單輸入狀態(tài)反饋

其中α(z) 和β(z) 為光滑函數(shù), 轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)(3)或系統(tǒng)(4).上述定義表明等價轉(zhuǎn)換具有對稱性, 因此若系統(tǒng)(2)能等價轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)(4), 則系統(tǒng)(4)也可等價轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)(2), 進(jìn)而取v為0得到系統(tǒng), 即生成了Lorenz混沌.

3 等價轉(zhuǎn)換

本節(jié)工作按如下兩步驟進(jìn)行：第一, 討論系統(tǒng)(2)等價轉(zhuǎn)換為下三角系統(tǒng)(3)的可行性; 第二, 構(gòu)造狀態(tài)變換和反饋實(shí)現(xiàn)等價轉(zhuǎn)換, 并在此過程中調(diào)整參數(shù), 最終轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)(4).

3.1 等價轉(zhuǎn)換的可行性

記系統(tǒng)(2)的漂移向量場為

以及輸入向量場為

設(shè)X和Y為光滑向量場, a dXY=[X,Y] 為此二向量場的李導(dǎo)數(shù)[28].令X0=G,X1=adX0F,X2=adX1F, 系統(tǒng)(2)能等價轉(zhuǎn)換為下三角系統(tǒng)(3)的充要條件是此三向量場張成的分布span{X0,X1,X2}在原點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)幾乎處處(除一個零測度集外)滿秩并且 s pan{X0,X1} 在原點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)幾乎處處 (除一個零測度集外)對合[26].如果span{X0,X1}在原點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)正則對合, 則可以轉(zhuǎn)換為部分線性化形式[26,27], 但是否可等價轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)(4), 仍需在轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)過程中進(jìn)一步考察.本小節(jié)依據(jù)上述條件檢驗(yàn)受控Lorenz系統(tǒng)(2)并做參數(shù)分析.

計算如下向量場李導(dǎo)數(shù)

考察X0與X1的對合特性,

對合條件要求

其中a0(x) 和a1(x) 為光滑函數(shù).注意到僅當(dāng)如下等式滿足時(11)式才在全局成立,

如此限制了k1,k2和k3的選擇, 只有兩種可能：一種可能為

另一種可能為

第一種可能中排除了k1=0 并且k2=0 的情況, 否則當(dāng)x1=0時 sp an{X0,X1} 秩為1, 說明在原點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)不可能實(shí)現(xiàn)部分反饋線性化[27,28], 更不可能反饋等價轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)(4).

考察第一種可能, 此時

依據(jù)反饋線性化的要求, 進(jìn)一步計算李導(dǎo)數(shù)

由X0,X1和X2構(gòu)成的如下行列式

可知x狀態(tài)空間中存在曲面滿足Det(X0,X1,X2)=0, 這是由于向量場X2存在奇異性, 造成無法實(shí)現(xiàn)全局范圍的狀態(tài)反饋線性化.

由于 sp an{X0,X1} 滿秩并對合,span{X0,X1,X2}幾乎處處(除零測度集即曲面Det(X0,X1,X2)=0以外)滿秩, 確保了系統(tǒng)(2)可等價轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)(3).

對于(14)式表示的第二種可能, 做類似分析計算(過程略), 在原點(diǎn)的任何鄰域中都無法等價轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)(4)的形式, 故不做進(jìn)一步討論.

3.2 等價轉(zhuǎn)換的實(shí)現(xiàn)

至此, 仍需討論系統(tǒng)(2)如何轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)(3),以及是否可轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)(4).在已計算X0,X1和X2的前提下, 為獲取狀態(tài)變換h(x)=(h1(x),h2(x),h3(x))以實(shí)現(xiàn)等價轉(zhuǎn)換, 通常是需要解偏微分方程組0 以及偏微分方程組0[26,27], 以選取h1(x) 和h2(x) , 并另選任一與此二者獨(dú)立的函數(shù)h3(x) 組成完整的狀態(tài)變換, dh1(x) ,dh2(x)和 dh3(x) 均為光滑的正則 1-形式[28], 盡管Frobenius定理保證了方程組的可解性[28], 但是較為遺憾的是求解頗為不易, 采用Maple 18和Mathematica 11兩種符號計算工具求解上述偏微分方程組均沒有成功.因此, 就本系統(tǒng)而言, 上述方法理論上可行, 實(shí)際較難達(dá)成.本小節(jié)將利用微分幾何技巧, 交替推進(jìn)狀態(tài)變換和正交化, 避免了求解偏微分方程組, 實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)下三角化.

在該變換ψ誘導(dǎo)的切映射ψ?作用下[28],

按如下方式定義一組向量場

在該變換φ誘導(dǎo)的切映射φ?作用下,

根據(jù) (19), (20)和 (22)式,

其中第三個式子表示左邊幾乎處處等于右邊, 只有一個零測度集除外, 因?yàn)樽筮叺姆植疾皇翘幪幷齽t的.(23)式表明利用坐標(biāo)y寫出的系統(tǒng)必有下三角形式[26],

該坐標(biāo)下的系統(tǒng)方程為

此形式的第一和第三個方程仍相當(dāng)繁復(fù), 引入標(biāo)量輸入v為

同時選取k3=0 , 系統(tǒng) (26) 簡化為

為符合系統(tǒng)(4)的形式要求, 再取狀態(tài)變換z=(z1,z2,z3)T=ω(y),

系統(tǒng)成為

滿足了系統(tǒng)(4)的形式.可驗(yàn)證至此所作的狀態(tài)變換均為微分同胚變換, 綜合上述變換以及k3=0 ,由原始狀態(tài)x表示的狀態(tài)變換z=T(x) 如下：

逆變換x=T-1(z) 為

Lorenz系統(tǒng)(1)在狀態(tài)z下表示為

4 單輸入非線性系統(tǒng)生成Lorenz混沌

Shimizu-Morioka系統(tǒng)是Shimizu和Morioka于1980年提出的著名混沌系統(tǒng)[23], Finance系統(tǒng)則是反映了金融政策與經(jīng)濟(jì)增長之間關(guān)系的混沌系統(tǒng).本節(jié)對受控Shimizu-Morioka系統(tǒng)和Finance系統(tǒng), 設(shè)計狀態(tài)變換和單輸入反饋, 分別實(shí)現(xiàn)混沌反控制生成Lorenz混沌和廣義同步到Lorenz混沌.

4.1 Shimizu-Morioka系統(tǒng)生成Lorenz混沌

受控Shimizu-Morioka系統(tǒng)的形式如下[23]：

其中ζ=(ζ1,ζ2,ζ3)T是系統(tǒng)狀態(tài),α和β為參數(shù), 要求β與系統(tǒng)中的b相等, 即β=b,u是標(biāo)量輸入.

系統(tǒng)(34)做線性狀態(tài)變換θ=(θ1,θ2,θ3)T=τ(ζ),

以θ為狀態(tài), 系統(tǒng)方程表示為

再做狀態(tài)反饋

同時考慮到β=b, 系統(tǒng)方程成為

該系統(tǒng)與經(jīng)狀態(tài)變換z=T(x) 的Lorenz系統(tǒng)(33)具有相同形式.所以, 對受控 Shimizu-Morioka系統(tǒng)(34), 利用反饋(37)和狀態(tài)變換T-1(τ(ζ)) 將生成Lorenz混沌.

圖1 Lorenz 系統(tǒng)軌跡Fig.1.Trajectory of the Lorenz system.

圖1給出了Lorenz系統(tǒng)(1)的軌跡, 參數(shù)為a=10,b=8/3 ,c=30 , 初 值 選 取x1(t0) = 2,x2(t0) = 2,x3(t0) = 2.圖2 給出了受控 Shimizu-Morioka系統(tǒng)(34)在反饋(37)作用下的軌跡, 參數(shù)為α=0.75 ,β=8/3 , 初值由 Lorenz系統(tǒng)的初值計算得到, 即ζ(t0)=τ-1(T(x(t0))) , 實(shí) 際 上ζ1(t0)=2,ζ2(t0)=0 ,ζ3(t0)=2.076923076923 .圖3為受控Shimizu-Morioka系統(tǒng)標(biāo)量輸入u的曲線.圖4對圖2所示受控Shimizu-Morioka系統(tǒng)軌跡做了狀態(tài)變換T-1(τ(ζ)) , 生成的軌跡與圖1一致,表明混沌反控制生成了Lorenz混沌.

圖2 受控 Shimizu-Morioka 系統(tǒng)軌跡Fig.2.Trajectory of the controlled Shimizu-Morioka system.

圖3 受控 Shimizu-Morioka 系統(tǒng)的標(biāo)量控制輸入Fig.3.Scale control input for the controlled Shimizu-Morioka system.

圖4 經(jīng)狀態(tài)變換 T -1(τ(ζ)) 受控 Shimizu-Morioka 系統(tǒng)軌跡Fig.4.Trajectory of the controlled Shimizu-Morioka system via the state transformation T -1(τ(ζ)) .

4.2 Finance系統(tǒng)生成Lorenz混沌

Finance系統(tǒng)具有可相互等價轉(zhuǎn)換的兩種系統(tǒng)方程形式, 本文選取的形式如下[24]：

其中ζ=(ζ1,ζ2,ζ3)T是狀態(tài)變量;α,β和γ為參數(shù),要求β與系統(tǒng)中的b等值;u是標(biāo)量輸入.

受控Finance系統(tǒng)到Lorenz混沌的廣義同步定義為：設(shè)Lorenz系統(tǒng)(1)與系統(tǒng)(39)在初始時刻t0狀態(tài)分別為x(t0) 和ζ(t0) , 對系統(tǒng)(39)施加狀態(tài)反饋

其中t為時間,ζ和x狀態(tài)分別做變換

使得系統(tǒng)(39)與系統(tǒng)(1)的軌跡, 按下式的意義漸進(jìn)地趨于一致

這里 ||·|| 表示了歐氏空間中向量的2-范數(shù).

受控Finance系統(tǒng)做狀態(tài)變換θ=(θ1,θ2,θ3)T=τ(ζ),

對應(yīng)的逆變換為ζ=τ-1(θ) , 即

θ狀態(tài)下系統(tǒng)方程組為

設(shè)計反饋

由于β=b, 系統(tǒng)成為

符合系統(tǒng)(4)的形式要求.

考慮同步系統(tǒng)(47)與系統(tǒng)(33), 設(shè)兩系統(tǒng)的狀態(tài)誤差為ε=θ-z=(ε1,ε2,ε3)T,ε動態(tài)為

做如下狀態(tài)反饋

此時ε動態(tài)為

若取該系統(tǒng)的第二和第三個方程組成子系統(tǒng)

若在 有限時間后, 比如當(dāng)時間t＞t1時鎮(zhèn)定到ε2(t)=ε3(t)=0, 則在t＞t1時系統(tǒng)(50)的第一個式子簡化為=-bε1, 對于b＞0 的情況該式漸近穩(wěn)定, 從而系統(tǒng) (50)漸近穩(wěn)定, (42)式滿足, 受控Finance系統(tǒng)到Lorenz混沌系統(tǒng)的廣義同步可實(shí)現(xiàn).

對系統(tǒng)(51)滿足有限時間鎮(zhèn)定的經(jīng)典控制器為[29]

這里 s gn(·) 為符號函數(shù).利用該控制器, 做廣義同步仿真.Lorenz系統(tǒng)參數(shù)和初值選取同前, 軌跡已見于圖1.圖5給出了受控Finance系統(tǒng)的軌跡,參數(shù)α=0.001 ,β=8/3 和γ=1.1 , 初 值ζ1(t0)=0.2,ζ2(t0)=-3.6 ,ζ3(t0)=0.2 , 與 Lorenz系 統(tǒng)存在初值不匹配, 經(jīng)計算誤差系統(tǒng)初值ε1(t0)=1.523076923076923,ε2(t0)=-1.8 ,ε3(t0)= —0.4452圖6為Finance系統(tǒng)的標(biāo)量輸入u的曲線.圖7對圖5所示受控Finance系統(tǒng)軌跡做狀態(tài)變換T-1(τ(ζ)), 生成的軌跡同步于圖1, 這被圖8中的軌跡進(jìn)一步驗(yàn)證, 該軌跡反映了圖1與圖7軌跡的誤差δ, 其各分量均趨于 0, 圖8 曲線不甚光滑, 其原因是控制器(52)非光滑.仿真驗(yàn)證了廣義同步的實(shí)現(xiàn).

圖5 受控 Finance 系統(tǒng)軌跡Fig.5.Trajectory of the controlled Finance system.

圖6 受控 Finance 系統(tǒng)的標(biāo)量控制輸入Fig.6.Scale control input for the controlled Finance system.

圖7 經(jīng)狀態(tài)變換 T -1(τ(ζ)) 受控 Finance 系統(tǒng)軌跡Fig.7.Trajectory of the controlled Shimizu-Morioka system via the state transformation T -1(τ(ζ)) .

圖8 Lorenz 系統(tǒng)軌跡與經(jīng)狀態(tài)變換 T -1(τ(ζ)) 的受控Finance系統(tǒng)的誤差Fig.8.Error between the trajectory of the Lorenz system and that of the controlled Finance system via the state transformation T -1(τ(ζ)) .

5 結(jié) 論

本文研究了如何從受控Shimizu-Morioka系統(tǒng)和Finance系統(tǒng)生成Lorenz混沌的問題, 在方法和結(jié)果上總結(jié)創(chuàng)新之處如下.

1)利用微分幾何控制理論以及參數(shù)優(yōu)選, 將Lorenz混沌系統(tǒng)等價轉(zhuǎn)換為某種下三角形式, 使得該三階系統(tǒng)中前兩個方程形式較原Lorenz系統(tǒng)簡化.

2)將單輸入受控Shimizu-Morioka混沌系統(tǒng)以及受控Finance混沌系統(tǒng)等價轉(zhuǎn)換為下三角形式的仿射非線性系統(tǒng), 其前兩個方程均與轉(zhuǎn)換后的Lorenz系統(tǒng)的前兩個方程一致, 揭示了三種不同混沌系統(tǒng)內(nèi)在具有一定程度的相似性.

3)利用上述相似性, 采用單輸入實(shí)現(xiàn)了兩種異構(gòu)受控混沌系統(tǒng)生成Lorenz混沌, 即單輸入受控Shimizu-Morioka系統(tǒng)混沌反控制到Lorenz混沌以及單輸入受控Finance系統(tǒng)到Lorenz混沌的廣義同步.

此外, 單輸入受控Lorenz系統(tǒng)混沌反控制或者廣義同步到Shimizu-Morioka混沌以及Finance混沌等問題雖未涉及, 利用本文給出的策略均可方便地實(shí)現(xiàn).