考慮齒輪形變的諧波減速器齒廓優(yōu)化方法

張寧,張英杰,李陽(yáng)帆

(西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,710049,西安)

1955年,美國(guó)工程師Musser基于彈性動(dòng)力學(xué)原理設(shè)計(jì)了諧波減速器,由于其具有質(zhì)量小、傳動(dòng)比大、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、傳動(dòng)精度高等優(yōu)點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于航空航天、機(jī)器人、軍事裝備、精密光學(xué)設(shè)備等新興技術(shù)領(lǐng)域[1]。諧波減速器一般在低速低轉(zhuǎn)矩工況下運(yùn)轉(zhuǎn),主要失效形式是輪齒的疲勞斷裂,因此針對(duì)諧波減速器齒廓的設(shè)計(jì)與改進(jìn)至關(guān)重要,不僅可以提高諧波傳動(dòng)系統(tǒng)的承載能力,而且可以提高諧波減速器的運(yùn)行平穩(wěn)性以及可靠性[2]。

目前,在齒形設(shè)計(jì)方面的研究側(cè)重點(diǎn)是加大嚙合齒面的長(zhǎng)度以提高承載能力。諧波減速器主要的齒廓類型包括漸開(kāi)線齒廓、S形齒廓和雙圓弧齒廓等[3-4]。漸開(kāi)線齒廓由于在空載時(shí)期同時(shí)嚙合的齒數(shù)較少,大多數(shù)嚙合輪齒處于邊緣嚙合狀態(tài),不利于齒間油膜的形成,并且共軛運(yùn)動(dòng)的發(fā)生區(qū)間狹小,使得傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)性能降低。圓弧齒廓由于在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能保持柔輪與鋼輪輪齒持續(xù)接觸,使得同時(shí)嚙合的齒數(shù)增加,共軛區(qū)域增加,提高了承載能力以及扭轉(zhuǎn)剛度[5]。S型齒廓與雙圓弧齒廓比相對(duì)漸開(kāi)線齒廓承載能力更高,傳動(dòng)更加平穩(wěn),目前應(yīng)用廣泛。

與一般齒輪傳動(dòng)不同,波發(fā)生器裝配進(jìn)入柔輪后,柔輪會(huì)產(chǎn)生一定程度的彈性形變,形變后柔輪內(nèi)表面與波發(fā)生器的外表面緊密貼合,由于在傳動(dòng)過(guò)程中,柔輪齒圈每個(gè)位置的形變是動(dòng)態(tài)變化的,這就可能導(dǎo)致輪齒產(chǎn)生嚙合干涉或者柔輪脫離嚙合[6]。為了計(jì)算簡(jiǎn)便,將柔輪中性層的形變近似作為柔輪的形變,從而對(duì)齒形進(jìn)行設(shè)計(jì)優(yōu)化[7]。

在設(shè)計(jì)中需要考慮諧波減速器的嚙合側(cè)隙。許多研究以減小側(cè)隙為目標(biāo)對(duì)于齒廓進(jìn)行優(yōu)化[8],合理的初始嚙合側(cè)隙有利于提高傳動(dòng)平穩(wěn)性、減小傳動(dòng)沖擊[9]、提高承載能力[10]、避免滯回[2-11]以及提高傳動(dòng)效率[12]。但是柔輪不是剛體,在形變過(guò)程中齒廓線齒頂形變量與齒槽形變量以及柔輪內(nèi)表面形變量不同,若不考慮變形差而使用統(tǒng)一的形變規(guī)律,必然會(huì)造成實(shí)際與理論計(jì)算的輪齒嚙合位置出現(xiàn)偏差,進(jìn)而影響初始側(cè)隙的大小。

柔輪在裝配過(guò)程中不僅會(huì)引起柔輪中性層的形變,還會(huì)導(dǎo)致柔輪齒廓形狀的改變。對(duì)于尺寸小,傳動(dòng)精度高的精密器械,設(shè)計(jì)時(shí)忽視這種形變會(huì)使得最終輪齒側(cè)隙與設(shè)計(jì)不符,從而對(duì)傳動(dòng)的平穩(wěn)性造成影響。

通過(guò)建立柔輪的裝配后的形變模型,利用殼體理論分析齒圈受力與形變量情況,提出一種新的柔輪齒廓設(shè)計(jì)優(yōu)化思路。以雙圓弧齒廓為例,采用有限元軟件量化分析齒廓裝配形變,計(jì)算柔輪輪齒的實(shí)際齒廓線位置,對(duì)齒廓線方程進(jìn)行修正,與原齒廓的嚙合情況進(jìn)行對(duì)比分析,進(jìn)而論證了該方法的有效性及合理性。

1 建立柔輪形變分析模型

1.1 柔輪端面的形變分析

在諧波齒輪傳動(dòng)中,一般采用剛輪固定、波發(fā)生器輸入、柔輪輸出的傳動(dòng)方式。由于波發(fā)生器凸輪長(zhǎng)軸大于柔輪內(nèi)徑,所以裝配后波發(fā)生器與柔輪過(guò)盈配合,柔輪形狀發(fā)生形變,柔輪端面變化如圖1所示。

柔輪裝配形變后半徑可以表達(dá)如下

r=rb+ω(φ)

(1)

式中:rb為未形變時(shí)柔輪中性層半徑;ω(φ)為柔輪各點(diǎn)裝配后的形變。不同波發(fā)生器表達(dá)式不同,本文以余弦凸輪波發(fā)生器為例,形變后表達(dá)式為

r=rb+ω0cosφ0

(2)

式中:ω0為柔輪最大形變;φ0為與波發(fā)生器長(zhǎng)軸夾角。

圖1 柔輪裝配形變圖

1.2 柔輪形變對(duì)齒圈截面形變的影響

圖2 柔輪中線線元位移

當(dāng)波發(fā)生器裝入柔輪后,柔輪齒廓受徑向力與切向力共同作用[14-15]。如圖2所示,ab為形變前齒圈截面內(nèi)任意曲線單元,柔輪形變的過(guò)程可以分解為ab沿徑向位移dw至a1b1,以及a1b1沿切向位移dv至最終位置a2b2,則兩次的形變量分別為

a2b2-ab=(r+w)dφ0-rdφ0=wdφ0

(3)

a1b1-a2b2=v+dv-v=dv

(4)

根據(jù)線元長(zhǎng)度不變的基本假設(shè),有

dv+wdφ0=0

(5)

根據(jù)圖1,法線轉(zhuǎn)角為

θ=θ1-θ2

(6)

將θ1=v/r、θ2=dw/rdφ0代入式(4),結(jié)合式(5)(6)得到θ角的變化量

(7)

式中:p為齒輪周節(jié)。

如圖2所示,將輪齒的每一個(gè)齒距分為齒頂部分lc以及齒根部分lr,則柔輪彈性形變后兩段對(duì)應(yīng)的角度增量分別為Δθc、Δθr,對(duì)應(yīng)齒高分別為hc、hr。截取足夠小的寬度d,將柔輪輪齒齒頂、齒根到柔輪內(nèi)表面的范圍視作矩形,根據(jù)慣性矩公式I=dh2/12,可計(jì)算出齒頂、齒根部分慣性矩Ic、Ir。設(shè)ks為齒根厚系數(shù),則有

(8)

根據(jù)殼體理論,當(dāng)殼體純彎曲時(shí),有

(9)

σ∝Δθ/l

(10)

式中:σ為殼體內(nèi)周向應(yīng)力。

根據(jù)胡克定律,齒圈應(yīng)變有

ε=σ(φ0)/E

(11)

式中:E為材料的拉壓剛度。

聯(lián)立式(8)～(11),可以得到

(12)

式中:εc為齒頂部分形變;εr為齒根部分形變。

由式(12)可以看出,在簡(jiǎn)化后的齒圈模型中齒頂所受內(nèi)應(yīng)力大于齒槽部分,受力彈性形變方面齒頂也要略大于齒槽部分。由此可知,柔輪形變時(shí),輪齒的齒頂形變量與齒根處形變量不同,由于在實(shí)際裝配中,齒廓形狀復(fù)雜,殼體并非純彎曲,且殼體內(nèi)各層相互擠壓,會(huì)對(duì)齒廓產(chǎn)生復(fù)雜影響。針對(duì)此問(wèn)題,本文提出采用有限元法分析齒廓裝配形變,在設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)原有齒廓形狀進(jìn)行補(bǔ)償?shù)脑O(shè)計(jì)思路。

2 雙圓弧切線共軛齒廓線求解

柔輪雙圓弧齒廓如圖3所示。齒廓線由兩段圓弧以及一段直線BC組成,為方便描述,局部坐標(biāo)系Sf(O1,X1,Y1)定義如下:X1為柔輪中性層切線;Y1為齒廓對(duì)稱線[15]。

ha:齒頂高;h:全齒高;Ya:凸圓弧齒廓圓心徑向偏移量;la:凸圓弧齒廓圓心水平偏移量;Yf:凹圓弧齒廓圓心徑向偏移量;δL:齒型工藝角;ρa(bǔ):凸圓弧齒廓半徑;ρf:凹圓弧齒廓半徑;lf:凹圓弧齒廓圓心水平偏移量圖3 柔輪雙圓弧齒廓

基于圖3的描述,以齒廓弧長(zhǎng)s為基本參數(shù),對(duì)3段齒廓函數(shù)描述如下。

AB段齒廓函數(shù)表達(dá)式如下

(13)

式中:s∈(0,l1),l1=ρa(bǔ)(αa-δL),αa=arcsin((ha+Ya)/ρa(bǔ));xs=-la;ys=h-ha+ds-Ya。

BC段齒廓函數(shù)表達(dá)式如下

(14)

式中:s∈(l1,l2),l2=l1+(ρa(bǔ)+ρf)tanδL。

CD段齒廓函數(shù)表達(dá)式如下

(15)

為方便表示,令

(16)

考慮到柔輪中性線單元的移動(dòng)以及齒廓線的彈性形變,對(duì)原齒廓進(jìn)行修正

(17)

式中:F(s)代表齒廓因柔輪中性層位移而造成的位移,表示如下

F(s)=[wsinφvcosφ0]

(18)

G(s)表示齒廓因受內(nèi)力而造成彈性形變,與柔輪幾何形狀、材料等因素有關(guān)。

根據(jù)諧波傳動(dòng)的包絡(luò)法求解出共軛齒形

Xc=MXf

(19)

式中:共軛矩陣M的表達(dá)式為

(20)

其中rm為形變后齒廓的徑向長(zhǎng)度,φf(shuō)為柔輪未形變端轉(zhuǎn)角,φ為柔輪中性層垂線與坐標(biāo)系法線夾角。

3 裝配仿真實(shí)例驗(yàn)證

3.1 柔輪裝配體三維模型建立及有限元分析

以某8型諧波減速器為例,z1=160,z2=162。模數(shù)m=0.32。諧波減速器三維模型以及柔輪結(jié)構(gòu)部分尺寸參數(shù)如圖4、圖5所示。

圖4 諧波減速器三維模型

圖5 柔輪結(jié)構(gòu)部分尺寸示意圖

采用Ansys軟件對(duì)裝配過(guò)程進(jìn)行仿真分析。柔輪采用工業(yè)中諧波減速器常用的20Cr2Ni4合金鋼材料,楊氏模量E1=2.06×105MPa,泊松比γ1=0.3;剛輪采用45號(hào)鋼材料,楊氏模量E2=2.10×105MPa,泊松比γ2=0.31。

對(duì)于Ansys軟件分析過(guò)程做出如下處理:①由于波發(fā)生器的材料硬度遠(yuǎn)高于柔輪,故將波發(fā)生器視為剛體;②諧波減速器一般的傳動(dòng)形式為輸出軸連接柔輪,因此對(duì)于柔輪安裝軸處施加固定約束;③由于諧波減速器為環(huán)形對(duì)稱結(jié)構(gòu),為簡(jiǎn)化計(jì)算,取諧波減速器整體模型的1/2,對(duì)波發(fā)生器施加位移約束完成裝配過(guò)程。

3.2 有限元分析結(jié)果

通過(guò)Ansys軟件仿真分析,柔輪在裝配后發(fā)生形變。柔輪整體仿真實(shí)驗(yàn)形變量如圖6所示,可以看出,在柔輪長(zhǎng)軸處形變量最大,因此本文著重對(duì)長(zhǎng)軸處的齒廓線進(jìn)行研究。

圖6 柔輪整體仿真實(shí)驗(yàn)形變量

圖7 柔輪齒廓線單側(cè)齒廓在裝配過(guò)程中x方向齒廓形變量

圖8 柔輪齒廓線單側(cè)齒廓在裝配過(guò)程中y方向齒廓形變量

圖7與圖8分別給出了柔輪齒廓線單側(cè)齒廓在裝配過(guò)程中x方向與y方向的形變量?？梢钥闯?x方向齒廓形變較小,y方向齒廓形變較大,位于齒根的齒廓形變量明顯大于位于齒頂?shù)凝X廓,齒根與齒頂存在變形差,從而進(jìn)一步驗(yàn)證了本文的結(jié)論。

由于變形差的存在,使得諧波減速器裝配后,柔輪齒廓線的實(shí)際位置與理論位置存在差異,影響輪齒嚙合效果,因此諧波減速器的齒形需要進(jìn)行優(yōu)化。根據(jù)Ansys軟件計(jì)算的離散變形數(shù)據(jù),齒廓弧長(zhǎng)s與仿真得到的形變量σ近似呈二次函數(shù)關(guān)系。采用Matlab軟件擬合得到方程

(21)

圖9 齒廓位置仿真與理論值對(duì)比圖

采用新的齒型在Ansys軟件中重新進(jìn)行仿真分析,將新的仿真結(jié)果與原仿真值加上補(bǔ)償值之和進(jìn)行對(duì)比,如圖9所示,兩曲線幾乎重合。根據(jù)本文理論推導(dǎo),齒廓的形變主要是由于齒高、齒寬、柔輪形狀以及柔輪材料等因素,雖然微小的齒型修改對(duì)于傳動(dòng)性能以及壽命有較大提升,但是對(duì)于齒廓形變來(lái)說(shuō)影響很小。

3.3 齒廓線修正前后諧波減速器性能對(duì)比

本文通過(guò)修正前后諧波減速器的最大扭矩以及預(yù)估壽命兩個(gè)關(guān)鍵性能指標(biāo)來(lái)衡量對(duì)于柔輪齒廓修正的必要性。

(1)對(duì)諧波減速器最大扭矩的影響。修正前后的剛、柔輪齒廓線如圖10所示,柔輪輪齒齒頂附近,柔輪齒廓受徑向力影響較大,徑向位移較大,因此實(shí)際齒廓線在理論值下方,柔輪與剛輪的側(cè)隙增加;柔輪輪齒齒根附近,柔輪輪齒受切向力較大,切向位移較大,因此實(shí)際齒廓線在理論值上方,柔輪與剛輪側(cè)隙減小。

(a)齒頂附近

(b)齒根附近圖10 修正前后剛?cè)彷嘄X廓線示意圖

減小初始側(cè)隙、增加嚙合齒數(shù),有利于提高諧波傳動(dòng)的穩(wěn)定性和承載能力。嚙合齒數(shù)通過(guò)下式計(jì)算

(22)

式中:Φc為剛輪嚙合弧長(zhǎng)。

圖11給出了修正前后柔輪齒廓線的側(cè)隙大小。臨界側(cè)隙嚙合值Im取1.8 μm。可以計(jì)算得未修正前嚙合區(qū)間為[0°,13.55°],此時(shí)嚙合齒數(shù)為15.4;修正后嚙合區(qū)間為[0°,19.13°],嚙合齒數(shù)為21.76。

圖11 嚙合初始側(cè)隙圖

諧波傳動(dòng)過(guò)程中,受扭矩作用柔輪體彈性形變會(huì)使輪齒產(chǎn)生附加位移。一般來(lái)說(shuō),沿齒廓各點(diǎn)的最小側(cè)隙視為該傳動(dòng)位置的嚙合側(cè)隙。如果嚙合側(cè)隙過(guò)小,則可能導(dǎo)致干涉問(wèn)題,因此需要對(duì)過(guò)載扭矩進(jìn)行限制。

傳動(dòng)扭矩的近似值由下式給出[5]

(23)

式中:Je為輪齒慣性矩;b為柔輪齒寬;d1為柔輪分度圓直徑;σb為柔輪壁厚;G為柔輪剪切模量。

齒廓線修正前后諧波減速器性能對(duì)比見(jiàn)表1。

表1 齒廓線修正前后諧波減速器性能對(duì)比

根據(jù)表2可知,在滿足側(cè)隙要求的前提下,修正后的齒廓能夠承受更大的扭矩,從而提高了諧波傳動(dòng)系統(tǒng)的承載能力。

(2)對(duì)于諧波減速器壽命的影響。諧波減速器可靠性受環(huán)境、潤(rùn)滑等多重因素影響,諧波減速器的預(yù)計(jì)壽命可以估計(jì)為[16]

(24)

式中:TO為輸出軸轉(zhuǎn)矩;KA為工況系數(shù);T0為許用輸出轉(zhuǎn)矩,T0=ξTH;NV為轉(zhuǎn)速。

取傳遞系數(shù)ξ=1.5,KA=1.5,NV=1 r/min,TO=500 N·m。計(jì)算得到修正前預(yù)計(jì)壽命L1=3 771 h,修正后預(yù)計(jì)壽命L2=4 593 h。

4 結(jié) 論

本文從柔輪形變的殼體理論出發(fā),計(jì)算并分析裝配過(guò)程中形變量,得出以下結(jié)論:

(1)諧波減速器在實(shí)際裝配過(guò)程中使柔輪齒型不同部位產(chǎn)生變形差;

(2)以某型號(hào)諧波減速器參數(shù)為例,采用Ansys軟件進(jìn)行仿真,同時(shí)得到齒型形變的離散數(shù)據(jù),采用Matalb軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合,計(jì)算結(jié)果證實(shí)了裝配前后齒廓不同位置具有變形差,齒根部分形變大于齒頂部分;

(3)提出了補(bǔ)償方法對(duì)原有齒型方程進(jìn)行優(yōu)化修正,與原有齒型設(shè)計(jì)方法進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn),修正后的齒型在嚙合區(qū)間增加的同時(shí)提高了預(yù)計(jì)壽命,從而驗(yàn)證了本文提出的方法。