π的計(jì)算

童廣鵬 (河南省民權(quán)縣高級中學(xué) 476800)

縱觀滔滔歷史長河中的數(shù)學(xué)發(fā)展史，圓周率始終如一顆光彩奪目的璀璨之珠,散發(fā)著經(jīng)久不衰的魅力．π是一個(gè)馳名數(shù)學(xué)界的數(shù)，眾多數(shù)學(xué)家包括阿基米德、祖沖之、魯?shù)婪虻榷紝θ绾斡?jì)算π值進(jìn)行過不斷的探索.正所謂“路漫漫其修遠(yuǎn)兮”，古典方法已引導(dǎo)數(shù)學(xué)家們走了很遠(yuǎn)，但到今天我們?nèi)晕吹竭_(dá)終點(diǎn)．本文根據(jù)高考對數(shù)學(xué)文化的要求，以π的精確值的計(jì)算方法為主線，按照數(shù)學(xué)家攻堅(jiān)的時(shí)間結(jié)合試題作一簡要呈現(xiàn)．

1 《算數(shù)書》算法

背景分析古代數(shù)學(xué)名著《算數(shù)書》是中國現(xiàn)已發(fā)現(xiàn)的最古老的一部算書，全書總共約有200多支竹簡(其中完整的有185支，10余根己殘破)，約七千多字，有60多個(gè)小標(biāo)題，如方田、少廣、金價(jià)、合分、約分、經(jīng)分、分乘、相乘、增減分、賈鹽、息錢、程未等．當(dāng)今流行的傳本《九章算術(shù)》部分問題來自《算數(shù)書》，但時(shí)間上比《算數(shù)書》晚了一個(gè)半世紀(jì)以上．《算數(shù)書》是出土的竹簡算書，屬于更可珍貴的第一手資料．但由于當(dāng)時(shí)世界上對圓周率的計(jì)算停留在試驗(yàn)獲取階段，《算數(shù)書》中涉及到的π值為4，所以π=4完全是測量出來的，誤差較大．

2 劉徽算法

問題2我國古代數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年在《九章算術(shù)注》中提出“割圓術(shù)”：割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣．他用割圓術(shù)證明了圓面積的精確公式，并給出了計(jì)算圓周率的科學(xué)方法．所謂“割圓術(shù)”，即通過圓內(nèi)接正多邊形細(xì)割圓，并使正多邊形的周長無限接近圓的周長，進(jìn)而求得較為精確的圓周率(圓周率指圓周長與該圓直徑的比率)．如果用圓的內(nèi)接正n邊形逼近圓，算得圓周率的近似值記為πn，那么用圓的內(nèi)接正2n邊形逼近圓，算得圓周率的近似值π2n可表示成( )．

背景分析中國古代數(shù)學(xué)家劉徽(約225-295年)創(chuàng)造了求圓周率的“割圓術(shù)”，將人類對圓周率的計(jì)算引向了正確的軌跡．劉徽是第一個(gè)把推求圓周率π的近似值的方法提高到理論上來認(rèn)識的，他不僅計(jì)算出了更為精確的圓周率的值，創(chuàng)立了以幾何學(xué)求圓周率的方法，而且開創(chuàng)了中國數(shù)學(xué)史上關(guān)于圓周率的理論研究之先河，奠定了中國數(shù)學(xué)之新紀(jì)元．在公元263年前后，他就用此方法得出π≈3.14，后人稱之為“徽率”，他指出這是不足近似值．雖然他提出割圓術(shù)的時(shí)間比阿基米德晚一些，但其方法卻有著更美妙之處．割圓術(shù)僅用內(nèi)接正多邊形就確定出了圓周率的上、下界，比阿基米德同時(shí)用內(nèi)接和外切正多邊形的方法簡捷得多．同時(shí)，割圓術(shù)中劉徽提供了一種絕妙的精加工方法，借此他將割到192邊形的幾個(gè)粗糙的近似值通過簡單的加權(quán)平均，竟然獲得具有4位有效數(shù)字的圓周率π≈3.1416．而這一結(jié)果，正如劉徽本人指出的，如果通過割圓計(jì)算來得出，需要割到3 072邊形．割圓術(shù)不斷地利用勾股定理來計(jì)算正n邊形的邊長這種精加工方法的效果是奇妙的，也是割圓術(shù)中最為精彩的部分．

3 何承天算法

4 祖沖之算法

5 蒲豐算法

問題5關(guān)于圓周率，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)π的值：先請120名同學(xué)每人都隨機(jī)寫下一個(gè)小于1的正實(shí)數(shù)對(x,y)，再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(x,y)的個(gè)數(shù)m，最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)m估計(jì)π的值.假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是m=34，那么可以估計(jì)π的值約為( )．

圖1

背景分析計(jì)算π的最為稀奇的方法之一，要數(shù)法國博物學(xué)家蒲豐的投針實(shí)驗(yàn)了．1777年的 一天，蒲豐忽發(fā)奇想，把許多賓朋邀請到家中，做了一個(gè)叫人感到奇怪的試驗(yàn).他把事先畫好一條條等距離的平行線的白紙鋪在桌面上，又拿出準(zhǔn)備好的質(zhì)量均勻而長度為平行線距離一半的小針，請客人把小針一根一根的隨便地仍在紙上，而蒲豐則在一旁專注地觀察并記著數(shù)，投完后統(tǒng)一計(jì)數(shù)，共投 2 212次，其中與任意平行線相交的有704次，蒲豐又做了一個(gè)簡單的除法，2 212÷704=3.142，然后宣布：“這就是圓周率的近似值！”所有的賓朋都驚呆了，這簡直是不可思議！這就是著名的蒲豐投針試驗(yàn)．

6 蒙特卡羅算法

問題6rand( )是計(jì)算機(jī)軟件產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的函數(shù)，每調(diào)用一次rand( )函數(shù)，就產(chǎn)生一個(gè)在區(qū)間[0,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)．我們產(chǎn)生n個(gè)樣本點(diǎn)P(a,b)，其中a=2 rand( )-1，b=2 rand( )-1．在這n個(gè)樣本點(diǎn)中，滿足a2+b2<1的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為m，當(dāng)n足夠大時(shí)，可估算圓周率π的近似值為( )．