包含廣義量詞的關(guān)系三段論

周家發(fā)

1 引言

關(guān)系三段論（relational syllogism）是指在前提和結(jié)論中至少有一個語句包含二元或更高元謂詞的三段論，有別于僅由包含一元謂詞的語句組成的簡單三段論（simple syllogism）。這類三段論是三段論研究的難點，因為它所包含的語句具有較復雜的句法結(jié)構(gòu)，例如帶有賓語或關(guān)系從句。因此，歷來對關(guān)系三段論的研究不多，由上世紀后期開始才出現(xiàn)較多研究關(guān)系三段論的文獻，如[3,8,10,11,13,15,17,18,20–23]等。

上述文獻所研究的關(guān)系三段論大多只限于包含經(jīng)典量詞（即英語的“every”、“no”、“some”和“not every”）的關(guān)系三段論，經(jīng)典量詞無疑是邏輯研究中最重要的量詞，對它們作深入研究無可厚非；但如果把研究范圍僅限于經(jīng)典量詞，將會錯失很多有效的推理。事實上，當代很多研究三段論的學者已發(fā)掘出大量包含非經(jīng)典量詞（亦稱“廣義量詞”）的三段論，這些非經(jīng)典量詞包括數(shù)值量詞（如[12,13,16,19]）、比例量詞（如[4,15]）、模糊量詞（如[9,15,25]）等。但上述學者所研究的包含非經(jīng)典量詞的三段論大多局限于簡單三段論，如何發(fā)掘包含非經(jīng)典量詞的關(guān)系三段論，是一個值得探討的問題。

本文主旨是介紹一種推導有效關(guān)系三段論的新方法，以下是本文將會討論的關(guān)系三段論實例：

(1)每個愛一個女孩的（個體）都唱了一首歌，每個男孩都愛一個女孩，所以每個男孩都唱了一首歌。

(2)在運動員中，除了最多兩人外，所有人都得到獎項，至少五名男孩是運動員，所以至少三名男孩得到獎項。

(3)所有馬都是動物，幾乎所有獸醫(yī)都喜愛所有動物，所以大多數(shù)獸醫(yī)喜愛所有馬。

(4)有人報讀了幾乎所有課程，幾乎所有課程都是必修的，在報讀了幾乎所有課程的人中，少于一半能夠結(jié)業(yè)，所以并非每個報讀了大多數(shù)必修課程的人都能夠結(jié)業(yè)。

(5)在報讀了所有必修課程的人中，除了最多兩人外，所有人都能夠結(jié)業(yè)，至少有五人報讀了所有課程，所有必修課程都是課程，所以至少有三個報讀了所有課程的人能夠結(jié)業(yè)。

(6)每個籃球員都比大多數(shù)騎師高，有游泳選手比（至少）一個籃球員高，所以有游泳選手比大多數(shù)騎師高。

(7)存在至少一個騎師，每個籃球員都比大多數(shù)騎師高，有游泳選手比（至少）一個籃球員高，所以大多數(shù)騎師比（至少）一個游泳選手矮。

上述推理實例展示了關(guān)系三段論的復雜性。由于關(guān)系三段論是有關(guān)多元量化句（即包含多于一個量詞的量化句）的三段論，而這些多元量化句可以包含不同種類的量詞，所以其情況遠較簡單三段論復雜。舉例說，(4)便同時包含模糊量詞“幾乎所有”、比例量詞“少于一半”和經(jīng)典量詞“并非每個”，(5)則同時包含數(shù)值量詞“至少五個”和經(jīng)典量詞“所有”。非經(jīng)典量詞本身已很復雜（如要在一階邏輯下處理帶有數(shù)值量詞的語句，必須使用復雜的表達式或者定義新的量詞；在一階邏輯下，更無法處理包含一般比例量詞或模糊量詞的語句），包含不同種類量詞的關(guān)系三段論就更加復雜，無法用一階邏輯來處理。請注意上列實例所代表的推理格式是以往學者沒有提出過的格式，但卻可以用本文介紹的方法推導出來。

如前所述，對于關(guān)系三段論，歷來研究不多，這是因為這類研究存在很大難度。首先，對于包含非經(jīng)典量詞的簡單三段論而言，至今學者無法找出所有有效三段論格式，這是因為非經(jīng)典量詞的數(shù)目遠多于經(jīng)典量詞的數(shù)目，而且要用到更復雜的數(shù)學工具（模糊量詞尤其如此）。其次，即使就僅包含經(jīng)典量詞的簡單三段論而言，傳統(tǒng)的研究也只限于符合某些特定格式的三段論，只要對這些特定格式作出更改（例如容許三段論中的大項／中項／小項帶有否定詞、合取詞等邏輯聯(lián)結(jié)詞，或者對大項／中項／小項在三段論中出現(xiàn)的次數(shù)不加限制），便已超出傳統(tǒng)三段論研究的范圍，同樣難以找出所有有效三段論格式，例如以下就是一個超出傳統(tǒng)研究范圍的有效三段論格式：

(8)所有C是B，所有非C是B，所以所有A是B。

既然上述簡單三段論的研究存在一定難度，由此可知相對應(yīng)的關(guān)系三段論的研究就更是難上加難。

為此，本文采取新的研究路向。簡言之，本文并不直接推導有效的關(guān)系三段論格式，而是把有效的關(guān)系三段論建基于（一個或多個）有效簡單三段論和某些命題邏輯基本原理之上。換句話說，本文的研究重點是如何從（一個或多個）有效的簡單三段論和命題邏輯的某些基本原理推導出有效的關(guān)系三段論，請注意本文的方法對簡單三段論的格式以及所含量詞的種類并無限制，因此只要找到符合本文所提要求的有效簡單三段論，便可推導出包含不同種類量詞的有效關(guān)系三段論格式，例如上面的(4)和(5)。

接下來介紹本文將用到的形式表達式及其語義解釋。本文基本采用[5,6]提出的一種表達式來表達量化句，但會使表達式更貼近自然語言的表層結(jié)構(gòu)。這種表達式具有Q(X1,...Xn)的形式，其中Q代表量詞，(X1,...Xn)代表作為Q的論元的謂詞，這些謂詞又有自己的論元。因此量詞可被看成二階謂詞，它以（一階）謂詞作為其論元。本文采用當代廣義量詞理論，把量詞的語義解釋成以集合或集合的有序n元組作為論元的函數(shù)，因此量化句的語義可以用集合論表達式來表達。舉例說，語句“有男孩跑步”的表達式是：

(9)some(boy,run)

在上述表達式中，some是帶有兩個論元的量詞（以下稱為〈1,1〉型量詞），這兩個論元可分別稱為左論元和右論元。根據(jù)廣義量詞理論，上述表達式的語義解釋可以表達成以下集合論公式：

(10)boy∩run?=?

在上式中，boy和run分別代表boy和run的語義解釋1本文采用黑體字表示形式表達式，并用普通字體表示這些表達式的語義解釋。，即由男孩和跑步者組成的集合。請注意(10)也可以被看成(9)的真值條件：(9)是真的當且僅當(10)成立，即男孩集合與跑步者集合的交集非空。

(9)這種表達式只包含一元謂詞和一個量詞，所以只能用來表達簡單三段論中的語句。為表達關(guān)系三段論，便要使用二元（或更高元）的謂詞和兩個（或多個）量詞。本文采用嵌套表達式來表達這些語句，這種表達式的特點是一個量化表達式內(nèi)嵌套著另一個量化表達式，例如“每個男孩都愛（至少）一個女孩”的表達式是：

(11)every(boy,some(girlacc,love))

在上式中，every是〈1,1〉型量詞，其左論元是boy，右論元則是下列量化表達式：

(12)some(girlacc,love)

在上式中，girl帶有下標acc，這個下標是accusative（賓格）一詞的縮寫，代表“（至少）一個女孩”是作為及物動詞“愛”的賓語。2acc盡管在表面上依附于girl，但實質(zhì)上是作用于整個some(girl)結(jié)構(gòu)。從語法上看，充當“愛”賓語的是“(至少)一個女孩”而非僅“女孩”。這個下標也可用來提醒我們，上式不是完整的語句，而是表達一個一元謂詞。事實上，根據(jù)[5]，(12)的語義解釋是以下集合：

(13){x:some(girl,{y:love(x,y)})}

上式告訴我們，(12)表達一元謂詞“愛（至少）一個女孩的（個體）”。當然，應(yīng)用some的語義解釋，還可以進一步把上式改寫成：

(14){x:girl∩{y:love(x,y)}?=?}

盡管上式使用了純粹的集合論語言（上式用∩、?=和?這些集合論符號表達some的語義），但跟(13)比較，上式隱去了與some的關(guān)系；而且如要討論抽象的量詞（即以變項形式出現(xiàn)的量詞，例如Q），更無法使用純粹的集合論語言。因此本文在提到量化表達式的語義解釋時，將主要使用(13)這種形式。一般地，我們有：

(15)設(shè)Q為〈1,1〉型量詞，A為一元謂詞，R為二元謂詞，則Q(Aacc,R)的語義解釋為{x:Q(A,{y:R(x,y))}}。

由于(12)實質(zhì)上是一元謂詞，它不能單獨用來表達語句。如要表達語句，必須像(11)那樣把(12)作為論元嵌套在另一個量化表達式的內(nèi)部；另一種方法是引入不受約束的個體變項x，把(12)改寫成如下的“開語句”(open sentence）：

(16)x(some(girlacc,love))

上式的意思是“x愛（至少）一個女孩”。請注意上式使用了廣義量詞理論處理個體詞項（包括個體常項和個體變項）的方式，把個體詞項看成帶有一個論元的量詞。根據(jù)廣義量詞理論，上式的語義解釋可以表達成以下集合論公式：

(17)x∈{x:some(girl,{y:love(x,y)})}

上述嵌套表達式不僅可用來表達帶有賓語的量化句，也可用來表達帶有復雜主語（指包含關(guān)系從句的主語）的量化句，例如“每個愛（至少）一個女孩的（個體）都快樂”的表達式是：

(18)every(some(girlacc,love),happy)在上式中，some(girlacc,love)出現(xiàn)于量詞every的左論元位置，在語法上相當于一個用來修飾主語的關(guān)系從句。我們甚至可以用嵌套表達式表達同時帶有復雜主語和賓語的量化句，例如“每個愛（至少）一個女孩的（個體）都唱了（至少）一首歌”的表達式是：

(19)every(some(girlacc,love),some(songacc,sing))

在結(jié)束本節(jié)前，有必要指出，當代很多學者并不對三段論的格式作嚴格規(guī)定，甚至不對三段論的前提和結(jié)論數(shù)目作嚴格規(guī)定。對很多學者而言，三段論成了包含至少兩個前提和一個結(jié)論的量化句衍推關(guān)系的同義詞。因此本文也對三段論作較寬松的理解，但把討論范圍限于包含兩個前提（有時可附加一個存在假設(shè)，詳見第三節(jié)）和一個結(jié)論的衍推關(guān)系。

2 代入法、演繹定理和前提代換

我們認為，構(gòu)造關(guān)系三段論的一種簡單方法是把包含二元謂詞且實質(zhì)上等同于一元謂詞的量化表達式代入有效簡單三段論格式的變項中，代入時要把同一個量化表達式代入三段論格式中的同一個變項。由于這些量化表達式等同于一元謂詞，這樣做等于把謂詞代入有效三段論格式中的變項，所以會得到有效的三段論。舉例說，設(shè)有經(jīng)典AAA-1三段論格式：

(20){every(C,B),every(A,C)}?every(A,B)

把X、some(Yacc,R)和some(Zacc,S)分別代入上式中的A、B和C，可得到下式：

(21){every(some(Zacc,S),some(Yacc,R)),every(X,some(Zacc,S))}

?every(X,some(Yacc,R))

上式是有效的關(guān)系三段論格式，其中X、Y和Z是一元謂詞變項，R和S是二元謂詞變項。把具體的詞項代入上述格式，便可得到有效的關(guān)系三段論實例，例如把“男孩”、“歌”、“女孩”、“唱”和“愛”分別代入X、Y、Z、R和S，便可得到第一節(jié)提過的以下推理實例：

(1)每個愛一個女孩的（個體）都唱了一首歌，每個男孩都愛一個女孩，所以每個男孩都唱了一首歌。

在上例中，被代入的三段論（即(20)）是僅包含經(jīng)典量詞的簡單三段論，代入的量化表達式也只包含經(jīng)典量詞，所以得到的是僅包含經(jīng)典量詞的關(guān)系三段論。如要推導包含廣義量詞（這里指非經(jīng)典量詞）的關(guān)系三段論，我們可以在進行代入法時選取包含廣義量詞的簡單三段論格式，或者包含廣義量詞的量化表達式。

舉例說，設(shè)我們選取以下由[12]提出的有效數(shù)值三段論格式（在下式中，n和m是大于0的整數(shù)）：

(22){all but at most n(C,B),at least m+n(A,C)}?at least m(A,B)把X、some(Yacc,R)和Z分別代入上式中的A、B和C，可得到下式：

(23請注意三段論格式（而非三段論實例）實質(zhì)上也是由帶有謂詞變項的語句組成，這些語句在本質(zhì)上也是開語句。){all but at most n(Z,some(Yacc,R)),at least m+n(X,Z)}

?at least m(X,some(Yacc,R))

上式是包含數(shù)值量詞的有效關(guān)系三段論格式，如把3、2、“男孩”、“獎項”、“運動員”和“得到”分別代入m、n、X、Y、Z和R，便可得到第一節(jié)提過的以下推理實例：

(2)在運動員中，除了最多兩人外，所有人都得到獎項，至少五名男孩是運動員，所以至少三名男孩得到獎項。

在構(gòu)造關(guān)系三段論時，除使用代入法外，如能配合使用其他保持推理有效性的變換，將能大大擴闊所能構(gòu)造關(guān)系三段論的范圍。接下來介紹一種十分有用的變換，此即命題邏輯中的“演繹定理”（deduction theorem）。演繹定理的一般表示形式如下：

(24)若{p,q}?r，則p?q→r。

上面的{p,q}?r可被看成一個三段論，其中p和q是前提，r是結(jié)論；q→r則代表一個蘊涵式。上式告訴我們，可以將三段論變換成僅包含一個前提的推理，其前提是p，其結(jié)論則是蘊涵式q→r。

舉例說，設(shè)我們選取AAA-1三段論格式，并把X、R和Y分別代入該格式中的A、B和C，從而得到下式：

(25){every(Y,R),every(X,Y)}?every(X,R)

上述代入結(jié)果存在一些問題：由于R是二元謂詞，上式中的every(Y,R)和every(X,R)實質(zhì)上是一元謂詞而非語句（因此Y和X應(yīng)帶有下標acc），可是三論段通常應(yīng)由語句組成。為補救這一問題，可以把這兩個一元謂詞改寫成帶有不受約束的個體變項x的開語句，即把上式改寫成3請注意三段論格式（而非三段論實例）實質(zhì)上也是由帶有謂詞變項的語句組成，這些語句在本質(zhì)上也是開語句。：

(26){x(every(Yacc,R)),every(X,Y)}?x(every(Xacc,R))

接下來把上式的兩個前提對調(diào)位置，然后利用演繹定理，可得到：

(27)every(X,Y)?x(every(Yacc,R))→x(every(Xacc,R))上式右端蘊涵式的意思是：如果x屬于every(Yacc,R)，則x屬于every(Xacc,R)。由于x是任意變項，這個蘊涵式也可看成表達一個全稱量化句：凡是屬于every(Yacc,R)的都屬于every(Xacc,R)，因此可以把這個蘊涵式改寫成一個以every作為量詞的量化句，即把上式改寫成：

(28)every(X,Y)?every(every(Yacc,R),every(Xacc,R))

這樣我們便把一個三段論變換成僅包含一個前提的推理（這種推理稱為“直接推理”），其前提是原三段論的某個前提，其結(jié)論則是一個以every作為量詞的量化句。把具體的詞項代入上述格式，便可得到有效的推理實例，例如把“馬”、“動物”和“喜愛”分別代入X、Y和R，便可得到以下推理實例：

(29)所有馬都是動物，所以每個喜愛所有動物的（個體）都喜愛所有馬。

我們可以把上面推導(28)的過程總結(jié)成以下一般形式：

(30)設(shè)Q1、Q2、Q3為〈1,1〉型量詞，X、Y、Z和W為一元謂詞，R和S為二元謂詞，x為個體變項，則從三段論{Q1(X,Y),x(Q2(Zacc,R))}?x(Q3(Wacc,S))，可以推出直接推理Q1(X,Y)?every(Q2(Zacc,R),Q3(Wacc,S))。

以下我們把上述變換仍稱作“演繹定理”，因為它是從命題邏輯中的演繹定理推導而來的。

利用演繹定理可以推導出有效的直接推理格式，但我們不必停留于此。由于這個直接推理的結(jié)論是一個全稱量化句，如果把這個全稱量化句與其他包含全稱量化句的三段論格式結(jié)合，便可推導出關(guān)系三段論格式。舉例說，我們可以把(28)與[15]提出的下列模糊三段論格式結(jié)合起來：

(31){every(C,B),almost all(A,C)}?most(A,B)

把Z、every(Xacc,R)和every(Yacc,R)分別代入上式中的A、B和C，可得到：

(32){every(every(Yacc,R),every(Xacc,R)),almost all(Z,every(Yacc,R))}

?most(Z,every(Xacc,R))

但上式中的第一個前提等同于(28)中的結(jié)論，因此可以用(28)中的前提取代上式中的第一個前提，由此可得以下有效關(guān)系三段論格式：

(33){every(X,Y),almost all(Z,every(Yacc,R))}?most(Z,every(Xacc,R))上式是把AAA-1三段論和(31)中的模糊三段論結(jié)合起來的有效關(guān)系三段論，如把“馬”、“動物”、“獸醫(yī)”和“喜愛”分別代入X、Y、Z和R，便可得到第一節(jié)提過的以下推理實例：

(3)所有馬都是動物，幾乎所有獸醫(yī)都喜愛所有動物，所以大多數(shù)獸醫(yī)喜愛所有馬。

在推導上述關(guān)系三段論格式的過程中，我們運用了以下變換：當一個推理的某個前提等同于另一個推理的結(jié)論時，可以用后者的前提取代該前提，以下把這種十分有用的變換稱為“前提代換”，并將其總結(jié)成以下一般形式：

(34)設(shè)p1、···、pm、q、r1、···、rn、s為語句，則從{p1,…pm}?q和{q,r1,…rn}?s，可以推出{p1,…pm,r1,…rn}?s。

3 引入存在假設(shè)

如前所述，利用演繹定理，可以推導出一個以全稱量化句作為結(jié)論的直接推理。但其實我們不必限于以全稱量化句every(A,B)作為結(jié)論，這是因為在引入適當?shù)母郊忧疤岷螅琫very(A,B)蘊涵其他量化句，這樣便可以其他量化句作為上述直接推理的結(jié)論，從而擴大上一節(jié)所述方法的適用范圍。這些附加前提的特點是對A的基數(shù)作出規(guī)定，此即[13]所稱的“存在假設(shè)”(existential assumption)。

在三段論研究中，存在假設(shè)并非新奇事物。在經(jīng)典邏輯研究的24個有效三段論中，有9個便須依賴適當?shù)拇嬖诩僭O(shè)才能成立（參見[14]），例如以下的AAI-3三段論：

(35){some(C,exist),every(C,B),every(C,A)}?some(A,B)

在上式中，some(C,exist)就是存在假設(shè)，其中exist代表“存在”，some(C,exist)代表存在個體具有C所述的性質(zhì)4在廣義量詞理論下，存在句“有A存在”可以表示成some(A,exist)。這里exist是論域（用U來代表）中最寬泛的謂詞，因為論域中的任何一個元素都是在該論域中存在的，因此exist=U。根據(jù)some的語義解釋，可得some(A,exist)真當且僅當A∩U?=??A?=?，即A非空，這正是“有A存在”所要表達的意思。。從某一角度看，引入適當?shù)拇嬖诩僭O(shè)可以擴大有效三段論的范圍。

關(guān)系三段論的存在假設(shè)可分為兩類，第一類存在假設(shè)表明論域中存在個體具有某謂詞所述的性質(zhì)，以下我們用一個實例來說明如何推導包含這類假設(shè)的關(guān)系三段論。設(shè)我們選取以下由[9]提出的有效模糊三段論格式：

(36){almost all(A,C),almost all(A,B)}?most(C and A,B)

把X、R和Y分別代入上式中的A、B和C，并引入變項x，可得到下式：

(37){almost all(X,Y),x(almost all(Xacc,R))}?x(most(Y and Xacc,R))

對上式利用演繹定理，可得到：

(38)almost all(X,Y)?every(almost all(Xacc,R),most(Y and Xacc,R))上式的結(jié)論是全稱量化句，但我們可以從這個量化句推導出一個較弱的量化句，其原理是若假設(shè)論域中存在個體具有A所述的性質(zhì)，便可以從every(A,B)推導出more than p(A,B)，其中p代表0與1之間的任意分數(shù)。以下把上述推導過程總結(jié)成以下一般形式：

(39){some(A,exist),every(A,B)}?more than p(A,B)

在上式中，some(A,exist)是第一類存在假設(shè)，引入這個假設(shè)后，便可以從上式的第二個前提推出結(jié)論?，F(xiàn)在把almost all(Xacc,R)和most(Y and Xacc,R)分別代入上式中的A和B，可得到：

(40){some(almost all(Xacc,R),exist),every(almost all(Xacc,R),most(Y

and Xacc,R))}?more than p(almost all(Xacc,R),most(Y and Xacc,R))

由于上式的第二個前提等同于(38)的結(jié)論，所以可以進行前提代換，把上式和(38)結(jié)合成下式：

(41){some(almost all(Xacc,R),exist),almost all(X,Y)}

?more than p(almost all(Xacc,R),most(Y and Xacc,R))

接著考慮以下由[4]提出的有效比例三段論格式（其中p和q是0與1之間的分數(shù)，而且p＞q）：

(42){more than p(C,A),less than q(C,B)}?not every(A,B)

把most(Y and Xacc,R)、Z和almost all(Xacc,R)分別代入上式中的A、B和C，可得到下式：

(43){more than p(almost all(Xacc,R),most(Y and Xacc,R)),

less than q(almost all(Xacc,R),Z)}?not every(most(Y and Xacc,R),Z)

但上式中的第一個前提等同于(41)中的結(jié)論，所以可以進行前提代換，把上式變換成下式：

(44){some(almost all(Xacc,R),exist),almost all(X,Y),less than q

(almost all(Xacc,R),Z)}?not every(most(Y and Xacc,R),Z)

上式是結(jié)合(36)中模糊三段論和(42)中比例三段論且包含第一類存在假設(shè)的有效關(guān)系三段論，如把、“課程”、“必修”、“能夠結(jié)業(yè)”和“報讀了”分別代入q、X、Y、Z和R，便可得到第一節(jié)提過的以下推理實例：

(4)有人報讀了幾乎所有課程，幾乎所有課程都是必修的，在報讀了幾乎所有課程的人中，少于一半能夠結(jié)業(yè)，所以并非每個報讀了大多數(shù)必修課程的人都能夠結(jié)業(yè)。

第二類存在假設(shè)表明論域中有多少個體具有某謂詞所述的性質(zhì)，以下我們用一個實例來說明如何推導包含這類假設(shè)的關(guān)系三段論。設(shè)我們選取AAA-1三段論格式，并把X、R和Y分別代入該格式中的A、B和C，并引入變項x，從而得到下式：

(45){x(every(Yacc,R)),every(X,Y)}?x(every(Xacc,R))

對上式利用演繹定理，可得到：

(46)every(X,Y)?every(every(Yacc,R),every(Xacc,R))

上式的結(jié)論是全稱量化句，但我們可以從這個量化句推導出一個數(shù)值量化句，其原理是若假設(shè)論域中存在至少n個個體具有A所述的性質(zhì)，便可以從every(A,B)推導出at least n(A,B)，其中n代表大于0的任意整數(shù)。以下把上述推導過程總結(jié)成以下一般形式：

(47){at least n(A,exist),every(A,B)}?at least n(A,B)

在上式中，at least n(A,exist)是第二類存在假設(shè)，引入這個假設(shè)后，便可以從上式的第二個前提推出結(jié)論。現(xiàn)在把every(Yacc,R)和every(Xacc,R)分別代入上式中的A和B并把上式中的n改為m+n，可得到：

(48){at least m+n(every(Yacc,R),exist),every(every(Yacc,R),every(Xacc,R)?at least m+n(every(Yacc,R),every(Xacc,R))

由于上式的第二個前提等同于(46)的結(jié)論，所以可以進行前提代換，把上式和(46)結(jié)合成下式：

(49){at least m+n(every(Yacc,R),exist),every(X,Y)}?at least m+n(every(Yacc,R),every(Xacc,R))

接著考慮以下由[12]提出的數(shù)值三段論格式（等同于(22)）：

(50){all but at most n(C,B),at least m+n(A,C)}?at least m(A,B)

把every(Yacc,R)、Z和every(Xacc,R)分別代入上式中的A、B和C，可得到下式：

(51){all but at most n(every(Xacc,R),Z),at least m+n(every(Yacc,R),

every(Xacc,R))}?at least m(every(Yacc,R),Z)

但上式中的第二個前提等同于(49)中的結(jié)論，所以可以進行前提代換，把上式變換成下式：

(52){all but at most n(every(Xacc,R),Z),at least m+n(every(Yacc,R),exist),

every(X,Y)}?at least m(every(Yacc,R),Z)上式是結(jié)合AAA-1三段論和(50)中數(shù)值三段論且包含第二類存在假設(shè)的有效關(guān)系三段論，如把3、2、“必修課程”、“課程”、“能夠結(jié)業(yè)”和“報讀了”分別代入m、n、X、Y、Z和R，便可得到第一節(jié)提過的以下推理實例：

(5)在報讀了所有必修課程的人中，除了最多兩人外，所有人都能夠結(jié)業(yè)，至少有五人報讀了所有課程，所有必修課程都是課程，所以至少有三個報讀了所有課程的人能夠結(jié)業(yè)。

4 表達比較形容詞的二元謂詞

上面討論的關(guān)系三段論都包含一般二元謂詞，這些謂詞沒有特殊的性質(zhì)，可用來表達自然語言中的一般及物動詞。在某些情況下，如果規(guī)定二元謂詞具備某些特殊性質(zhì)，便可用來表達自然語言中的某些特殊詞項，并研究包含這些詞項的關(guān)系三段論。在本節(jié)，我們將研究能表達比較形容詞（例如英語的“tallerthan”、“as tall as”等）的二元謂詞，這里首先介紹這類二元謂詞的定義。

我們假設(shè)每個可作比較的形容詞（用R來代表）均派生出三個二元謂詞：R＞、R＜和R=，其中R＞(x,y)、R＜(x,y)和R=(x,y)分別代表“x比y較為R”、“y比x較為R”和“x與y一樣R”。此外，我們還用R#來統(tǒng)稱R＞、R＜和R=中的任何一個，即以#代表{＞,＜,=}中的任意一員。鑒于比較關(guān)系是雙向的(例如若x比y高，則y比x矮)，我們假設(shè)上述二元謂詞滿足以下等價關(guān)系：

(53)對任意個體x、y，均有

(i)R＞(x,y)?R＜(y,x)

(ii)R＜(x,y)?R＞(y,x)

(iii)R=(x,y)?R=(y,x)

此外，我們還假設(shè)上述二元謂詞滿足以下性質(zhì)：

(54)三分律（trichotomy）：設(shè)x和y為任意個體，則在以下語句中有且只有

一個成立：{R＞(x,y),R＜(x,y),R=(x,y)}。

(55)自反性（reflexivity）：對任意個體x，均有R=(x,x)。

(56)傳遞性（transitivity）：對任意個體x、y、z，均有

(i){R#(x,y),R#(y,z)}?R#(x,z)

(ii){R=(x,y),R#(y,z)}?R#(x,z)

從上述性質(zhì)可以推導出其他性質(zhì)，例如從(54)和(55)可以推出，對任意個體x，均非R＞(x,x)；從(54)可以推出，對任意個體x、y，若R＞(x,y)，則必非R＜(x,y)；從(54)和(56)可以推出，對任意個體x、y、z，若非R＞(x,y)且非R＞(y,z)，則必非R＞(x,z)。5上述三種性質(zhì)分別相當于[11]所稱的“非自反性”、[8]所稱的“非對稱性”和[8]所稱的“反傳遞性”，因此本節(jié)的討論也適用于[8]和[11]研究的包含比較形容詞的關(guān)系三段論。

根據(jù)上述定義，可以推導出與比較形容詞相關(guān)的定理，以下是下文將要用到的定理，其證明載于下文第六節(jié)：

定理1.設(shè)Q1和Q2為下界右遞增〈1,1〉型量詞，x為個體變項，A為一元謂詞R#為如上面定義的二元謂詞，則x(Q1(Q2(Aacc,R#)acc,R#))?x(Q2(Aacc,R#))。6以下提供這個衍推關(guān)系的一個實例，把some、most、boy和be taller than分別代入Q1、Q2、A和R#，可得到以下推理實例（譯成漢語）：“x高過（至少）一個高過大多數(shù)男孩的（個體），所以x高過大多數(shù)男孩”。

上述定理提到量詞的“下界性”（lowerboundedness）和“右遞增性”（rightincreasing monotonicity）這兩個概念，其定義如下：

(57)設(shè)Q為〈1,1〉型量詞，Q是下界的當且僅當若Q(A,B)真，則|A∩B|≥1。

(58)設(shè)Q為〈1,1〉型量詞，Q是右遞增的當且僅當對任意一元謂詞A、B、C，

若B?C，則有Q(A,B)?Q(A,C)。

根據(jù)量詞的語義解釋，容易證明some、most、at least n、more than n等是下界右遞增〈1,1〉型量詞（可見于廣義量詞理論的文獻）。

接著看如何運用上述定理推導關(guān)系三段論。設(shè)我們選取經(jīng)典IAI-3三段論格式

(59){some(C,B),every(C,A)}?some(A,B)

把most(Xacc,R#)、R#和Y分別代入上式中的A、B和C，并引入變項x，可得到下式：

(60){x(some(Yacc,R#)),every(Y,most(Xacc,R#))}?x(some(most(Xacc,R#)acc R#))

由于some和most是下界右遞增〈1,1〉型量詞，因此從定理1，可得：

(61)x(some(most(Xacc,R#)acc,R#))?x(most(Xacc,R#))

上式的前提等同于(60)的結(jié)論，因此可以進行前提代換，把上式和(60)結(jié)合成下式：

(62){x(some(Yacc,R#)),every(Y,most(Xacc,R#))}?x(most(Xacc,R#))

對上式利用演繹定理，可得到：

(63)every(Y,most(Xacc,R#))?every(some(Yacc,R#),most(Xacc,R#))

接著考慮以下經(jīng)典AII-1三段論格式：

(64){every(C,B),some(A,C)}?some(A,B)把Z、most(Xacc,R#)和some(Yacc,R#)分別代入上式中的A、B和C，可得到：

(65){every(some(Yacc,R#),most(Xacc,R#)),some(Z,some(Yacc,R#))}?some(Z,most(Xacc,R#))

但上式中的第一個前提等同于(63)中的結(jié)論，所以可以進行前提代換，把上式變換成下式：

(66){every(Y,most(Xacc,R#)),some(Z,some(Yacc,R#))}?some(Z,most(Xacc,R#))

上式是結(jié)合IAI-3和AII-1三段論的關(guān)系三段論格式，雖然這兩者都是經(jīng)典三段論，但由于我們運用了定理1，所以可以把非經(jīng)典量詞most引入到上述格式中。把具體的詞項代入上述格式，便可得到有效的關(guān)系三段論實例，如把“騎師”、“籃球員”、“游泳選手”和“比……高”分別代入X、Y、Z和R#，便可得到第一節(jié)提過的以下推理實例：

(6)每個籃球員都比大多數(shù)騎師高，有游泳選手比（至少）一個籃球員高，所以有游泳選手比大多數(shù)騎師高。

請注意如果把上例中的“比…高”改為“與……一樣高”，上述推理仍然成立；但若把“比……高”改為“看見”，則上述推理不成立，這是因為“看見”并非具有前述性質(zhì)的比較形容詞。

5 等價變換

當代廣義量詞理論研究了量化句之間的多種等價關(guān)系，我們可以利用這些關(guān)系把某一關(guān)系三段論格式中的語句變換成等價語句，從而獲得更多有效關(guān)系三段論格式。舉例說，根據(jù)[7]的定理5，由于every與no互為“后補運算”（postcomplement），而most與at most12互為“補運算”（complement）（請參閱[7]對這兩個概念的定義），以下等價關(guān)系成立：

(67)every(Y,most(Xacc,R#))?no(Y,at most12(Xacc,R#))

由于有上述等價關(guān)系，我們可以用上式右端的量化句來替換(66)中的第一個前提，從而得到以下有效關(guān)系三段論格式：

(68){no(Y,at most12(Xacc,R#)),some(Z,some(Yacc,R#))}?some(Z,most(Xacc,R#))

量化句之間的各種等價關(guān)系，詳見當代廣義量詞理論的文獻，本文無意一一介紹，這里只擬提出一個適用于比較形容詞的等價關(guān)系。根據(jù)[1]的事實2，若Q為右遞增〈1,1〉型量詞，A、B為一元謂詞，R為二元謂詞，則以下洐推關(guān)系成立：

(69)some(A,Q(Bacc,R))?Q(B,some(Aacc,Rconv))

(70)Q(A,every(Bacc,R))?every(B,Q(Aacc,Rconv))

在以上兩式中，Rconv代表R的“逆向反義詞”（converse），其定義如下：

(71)對任意個體x、y，Rconv(x,y)?R(y,x)。

例如若R代表“看見”，則Rconv代表“被看見”。把上述定義應(yīng)用于(53)中的等價關(guān)系，可得：

(72) (i)(R＞)conv=R＜

(ii)(R＜)conv=R＞

(iii)(R=)conv=R=

衍推關(guān)系(69)和(70)適用于所有二元關(guān)系R。有趣的是，當把這個R換成R＞或R＜（并再加上一些限制條件）后，這兩個衍推關(guān)系便會變成等價關(guān)系：

定理2.設(shè)Q為下界右遞增〈1,1〉型量詞，A和B為一元謂詞且B非空，R＞和R＜為如上面定義的二元謂詞，則

(i)some(A,Q(Bacc,R＞))?Q(B,some(Aacc,R＜))

(ii)Q(A,every(Bacc,R＞))?every(B,Q(Aacc,R＜))

上列兩式中的R＞和R＜如對調(diào)位置，等價關(guān)系仍然成立。

把具體的量詞代入上述定理，便可得到一些等價關(guān)系。舉例說，由于most為下界右遞增〈1,1〉型量詞，根據(jù)定理2(i)，若X非空，以下等價關(guān)系成立：

(73)some(Z,most(Xacc,R＞))?most(X,some(Zacc,R＜))

由于有上述等價關(guān)系，我們可以用上式右端的量化句來替換(66)中的結(jié)論，并把(66)中的R#改為R＞，從而得到以下有效關(guān)系三段論格式（下式帶有存在假設(shè)some(X,exist)，是用以滿足定理2對非空集合的要求）：

(74){some(X,exist),every(Y,most(Xacc,R＞)),some(Z,some(Yacc,R＞))}?most(X,some(Zacc,R＜))

如把“騎師”、“籃球員”、“游泳選手”和“高”分別代入X、Y、Z和R，便可得到第一節(jié)提過的以下推理實例：

(7)存在至少一個騎師，每個籃球員都比大多數(shù)騎師高，有游泳選手比（至少）一個籃球員高，所以大多數(shù)騎師比（至少）一個游泳選手矮。

6 本文介紹方法的有效性

前面各節(jié)介紹了推導關(guān)系三段論格式的方法，此方法包含以下元素：有效簡單三段論格式、代入法、演繹定理、前提代換、引入存在假設(shè)、定理1、等價變換和定理2。為確保本文所介紹方法能推出有效的關(guān)系三段論格式，必須確保上述每項元素本身都是有效推理，即都能從真的前提推出真的結(jié)論。

在前述各項元素中，簡單三段論格式的有效性是經(jīng)典三段論和各種非經(jīng)典三段論（包括數(shù)值三段論、比例三段論、模糊三段論等）學者研究的課題，它們的有效性已由有關(guān)學者證明，本文不擬重復。

其次考慮代入法。代入法的本質(zhì)就是把有效三段論格式中的謂詞換成其他謂詞，由于三段論格式中的謂詞相當于變項，只要在代入時把相同的謂詞代入相同的變項，并且對代入結(jié)果作必要的調(diào)整（例如加上下標acc和個體變項x，使代入結(jié)果從一元謂詞變成開語句），所得結(jié)果仍是有效的三段論格式。請注意把一元謂詞變成開語句并沒有改變一元謂詞的本質(zhì)，這是因為一元謂詞與開語句存在相通之處：兩者都可被看成把個體映像為真值的函數(shù)。

接著考慮演繹定理和前提代換。在第二節(jié)，我們詳細解釋了演繹定理(30)和前提代換(34)的理據(jù)。概言之，(30)的有效性源自命題邏輯中演繹定理(24)的有效性；而(34)本身也是命題邏輯中的一個推理結(jié)果。由于上述定理和推理的證明可在一般的數(shù)理邏輯教科書中找到，本文不擬重復這些證明。

接著考慮存在假設(shè)。本文介紹了兩類存在假設(shè)，第一類存在假設(shè)表明論域中存在個體具有某謂詞所述的性質(zhì)。通過引入這類假設(shè)，可以從一個全稱量化句推導出一個包含比例量詞more than p的語句（其中p是0與1之間的任意分數(shù)），其理據(jù)是以下推理的有效性：

(39){some(A,exist),every(A,B)}?more than p(A,B)

現(xiàn)在證明上述推理的有效性。根據(jù)廣義量詞理論對上式中量詞的語義解釋，some(A,exist)和every(A,B)真當且僅當A?=?并且A?B。從這兩式可得|A∩B|/|A|=|A|/|A|=1＞p。另一方面，more than p(A,B)真當且僅當|A∩B|/|A|＞p。由此可見，上述推理的前提若真，其結(jié)論必真，因此是有效推理。

第二類存在假設(shè)表明論域中有多少個體具有某謂詞所述的性質(zhì)。通過引入這類假設(shè)，可以從一個全稱量化句推導出一個包含數(shù)值量詞at least n的語句（其中n是大于0的任意整數(shù)），其理據(jù)是以下推理的有效性：

(47){at least n(A,exist),every(A,B)}?at least n(A,B)

現(xiàn)在證明上述推理的有效性。根據(jù)廣義量詞理論對上式中量詞的語義解釋，at least n(A,exist)和every(A,B)真當且僅當|A|≥n并且A?B。從這兩式可得|A∩B|=|A|≥n。另一方面，at least n(A,B)真當且僅當|A∩B|≥n。由此可見，上述推理的前提若真，其結(jié)論必真，因此是有效推理。

接著考慮定理1。為證明此定理，首先引入廣義量詞理論中“見證集”（witness set）的概念，其定義如下：

(75)設(shè)Q為〈1,1〉型量詞，A為一元謂詞，則W是Q(A)的見證集當且僅當W?A并且Q(A,W)真。

[2]證明了與見證集相關(guān)的下列事實：

(76)設(shè)Q為右遞增〈1,1〉型量詞，A和B為一元謂詞，則Q(A,B)真當且僅當存在Q(A)的一個見證集W使得W?B。

此外，我們還可以推導出以下事實：

(77)設(shè)Q為下界〈1,1〉型量詞，A為一元謂詞，則Q(A)的見證集必非空集。上述事實的理據(jù)是，如果Q(A)的見證集是空集（?），那么從(75)可知Q(A,?)真；但另一方面，由于Q是下界量詞，根據(jù)(57)，若Q(A,?)真，則|A∩?|≥1，但這是不可能的。

現(xiàn)在證明定理1（重列于下）。

定理1.設(shè)Q1和Q2為下界右遞增〈1,1〉型量詞，x為個體變項，A為一元謂詞R#為如上面定義的二元謂詞，則x(Q1(Q2(Aacc,R#)acc,R#))?x(Q2(Aacc,R#))。

證明.設(shè)前提x(Q1(Q2(Aacc,R#)acc,R#))真，根據(jù)(15)，這即是說x∈{x:Q1({z:Q2(A,{w:R#(z,w)})},{y:R#(x,y)})}真，亦即Q1({z:Q2(A,{w:R#(z,w)})},{y R#(x,y)})真。由于Q1是右遞增〈1,1〉型量詞，根據(jù)(75)和(76)，可知存在見證集W使得W?{z:Q2(A,{w:R#(z,w)})}并且W?{y:R#(x,y)}。由于Q1是下界量詞，根據(jù)(77)，W非空，故必有W的一個元素z使得Q2(A,{w:R#(z,w)})和R#(x,z)皆真。另外，根據(jù)(56)(i)，對任何w，均有{R#(x,z),R#(z,w)}?R#(x,w)。由此根據(jù)命題邏輯中的演繹定理，可得

(78)R#(x,z)?w∈{w:R#(z,w)}→w∈{w:R#(x,w)}

但由于w是任意個體變項，上式右端的蘊涵式實質(zhì)上表達集合包含關(guān)系，即

(79)R#(x,z)?{w:R#(z,w)}?{w:R#(x,w)}

由于上面已證得R#(x,z)真，根據(jù)上式以及Q2的右遞增性，可得

(80)Q2(A,{w:R#(z,w)})?Q2(A,{w:R#(x,w)})

但又由于上面已證得Q2(A,{w:R#(z,w)})真，從上式可知Q2(A,{w:R#(x,w)})真，即x∈{x:Q2(A,{w:R#(x,w)})}真。根據(jù)(15)，這即是說x(Q2(Aacc,R#))真，定理1證畢。

接著考慮等價變換。等價變換的原理是命題邏輯中的基本原理：把一個有效推理中的前提或結(jié)論換成等價語句，所得結(jié)果仍是有效推理。本文第五節(jié)也討論了一些等價關(guān)系，包括(67)和定理2，其中(67)是廣義量詞理論的研究成果，其證明可見于相關(guān)文獻。

以下要證明定理2。為證明此定理，須先證明以下引理。

引理1.設(shè)R＞和R＜為如上面定義的二元謂詞，A為非空集合，則

(i)A中有元素x，使得對A中所有元素z，均有R＞(x,z)或R=(x,z)；并且

(ii)A中有元素y，使得對A中所有元素z，均有R＜(y,z)或R=(y,z)。證明.以下僅證明(i)，(ii)的證明方法類似。我們對|A|進行歸納，首先假設(shè)|A|=1且A={x}。根據(jù)(55)，R=(x,x)。由于x是A中唯一元素，故對A中所有元素z，有R=(x,z)，即(i)在|A|=1的情況下成立。其次假設(shè)(i)在|A|=n的情況下成立，現(xiàn)考慮|A|=n+1的情況。從A中任意選取元素x，并定義A′=A–{x}，由此得|A′|=n。根據(jù)歸納假設(shè)，A′中必有元素y，使得對A′中所有元素z，均有R＞(y,z)或R=(y,z)?，F(xiàn)在考慮x和y。根據(jù)(54)，有且只有以下三種情況之一成立：(a)R＞(x,y)；(b)R＜(x,y)；(c)R=(x,y)。在情況(a)下，根據(jù)(56)和上述按歸納假設(shè)所得的結(jié)論，我們找到A中元素x，使得對A中所有元素z，均有R＞(x,z)或R=(x,z)，即(i)在|A|=n+1的情況下成立。在情況(b)和(c)下，我們亦找到A中元素y，使得對A中所有元素z，均有R＞(y,z)或R=(y,z)，即(i)在|A|=n+1的情況下也成立。根據(jù)數(shù)學歸納法原理，(i)對任意非空集合A均成立，引理證畢。

現(xiàn)在證明定理2（重列于下）：

定理2.設(shè)Q為下界右遞增〈1,1〉型量詞，A和B為一元謂詞且B非空，R＞和R＜為如上面定義的二元謂詞，則

(i)some(A,Q(Bacc,R＞))?Q(B,some(Aacc,R＜))

(ii)Q(A,every(Bacc,R＞))?every(B,Q(Aacc,R＜))

上列兩式中的R＞和R＜如對調(diào)位置，等價關(guān)系仍然成立。

證明.由于[1]已證明上述兩個等價關(guān)系的一半（即(69)和(70)），所以只需證明上述關(guān)系的另一半，即以下衍推關(guān)系：

(81)Q(B,some(Aacc,R＜))?some(A,Q(Bacc,R＞))

(82)every(B,Q(Aacc,R＜))?Q(A,every(Bacc,R＞))

(i)設(shè)前提Q(B,some(Aacc,R＜))真。由于Q是右遞增〈1,1〉型量詞，根據(jù)(75)和(76)，可知存在見證集W使得

(83)Q(B,W)真

并且W?some(Aacc,R＜)，根據(jù)(15)，此即

(84)W?{x:some(A,{y:R＜(x,y)})}

另外，由于Q是下界量詞，根據(jù)(77)，W非空。由此根據(jù)引理1，W中有元素b使得

(85)對W中所有元素w，均有R＞(b,w)或R=(b,w)真

由于b是W的元素，它必是(84)右端集合的元素，即some(A,{y:R＜(b,y)})真。根據(jù)some的語義解釋，必有A中元素a，使得R＜(b,a)真，亦即R＞(a,b)真。由此和 (85)，根據(jù) (56)，可知對W中所有元素w，均有R＞(a,w)真，即W?{w:R＞(a,w)}。由于Q是右遞增的，由此和(83)，可得Q(B,{w:R＞(a,w)})真，這即是說a∈{z:Q(B,{w:R＞(z,w)})}。但因a∈A，由此可知some(A,{z:Q(B,{w:R＞(z,w)})})真。根據(jù)(15)，這即是說some(A,Q(Bacc,R＞))真，(i)證畢。(ii)設(shè)前提every(B,Q(Aacc,R＜))真。根據(jù)every的語義解釋，有B?Q(Aacc,R＜)，根據(jù)(15)，此即

(86)B?{x:Q(A,{y:R＜(x,y)})}

由于B非空，根據(jù)引理1，B中有元素b，使得

(87)對B中所有元素w，均有R＞(b,w)或R=(b,w)真

由于b是B的元素，它必是(86)右端集合的元素，即Q(A,{y:R＜(b,y)})真。另外，由于Q是右遞增〈1,1〉型量詞，根據(jù)(75)和(76)，可知存在見證集W使得

(88)Q(A,W)真

并且

(89)W?{y:R＜(b,y)}

這即是說對W中所有元素y，均有R＜(b,y)真，亦即R＞(y,b)真。由此和(87)，根據(jù)(56)，可知W中每個元素y對B中所有元素w，均有R＞(y,w)真，即W?{y:every(B,{w:R＞(y,w)})}。由于Q是右遞增的，由此和(88)，可得Q(A,{y:every(B,{w:R＞(y,w)})})真。根據(jù)(15)，這即是說Q(A,every(Bacc,R＞))真，(ii)證畢。

在以上證明中，R＞和R＜的角色可以互相對調(diào)，由此可知(i)和(ii)兩式中的R＞和R＜如對調(diào)位置，等價關(guān)系仍然成立，定理2證畢。

7 總結(jié)

本文介紹了推導有效關(guān)系三段論的方法，也證明了此方法的有效性。把本文介紹的方法應(yīng)用于有效的簡單三段論格式，所得結(jié)果必為有效的關(guān)系三段論格式。一個相關(guān)問題是，能否使用本文介紹的方法推導出所有有效關(guān)系三段論格式？

由于本文介紹的方法須應(yīng)用簡單三段論格式，如要使用此方法推導出所有包含廣義量詞的關(guān)系三段論，須先確定所有包含廣義量詞的有效簡單三段論格式。但廣義量詞多種多樣，并非每一種都經(jīng)學者充分研究，本文也只提到其中幾種非經(jīng)典量詞（包括數(shù)值量詞、比例量詞、模糊量詞）的三段論格式，而對這幾種非經(jīng)典量詞三段論的研究還不算多，跟經(jīng)典三段論不可同日而語。因此，還有很多包含廣義量詞（包括本文沒有提到的廣義量詞類別）的有效簡單三段論格式未被發(fā)現(xiàn)。

此外，本文的研究也說明了，如對關(guān)系三段論中所包含的二元謂詞加入一些附加條件（例如比較形容詞所滿足的條件），可得到更多推理結(jié)果（例如定理1和定理2），從而推導出更多有效關(guān)系三段論格式。可是，本文只是初步探討了加入這些附加條件的一些可行方法并初步提出一些推理結(jié)果，還未充分展開這方面的研究，很多可行的附加條件和相關(guān)的推理結(jié)果尚待學者去發(fā)掘，因此本文介紹的方法雖未能窮盡所有有效關(guān)系三段論，但為研究包含廣義量詞的關(guān)系三段論提供了一個開端，提供了進一步研究的方向。

盡管如此，本文介紹的方法有很強的推導能力，能夠推導出學者此前提出的絕大多數(shù)涉及二元謂詞的有效關(guān)系三段論格式7我們曾運用本文介紹的方法，推導出[3,8,10,11,13,15,20–23]中提到的所有有效關(guān)系三段論格式(包括某些被歸入公理或推理規(guī)則的關(guān)系三段論格式)，其中某些推導要使用前提代換以外的命題邏輯原理以及與比較形容詞有關(guān)的其他定理，但所用方法仍是本文介紹的基本方法。[17]研究了Hamilton三段論，這種三段論實質(zhì)上是以等詞作為二元謂詞的關(guān)系三段論；[18]則在其關(guān)系三段論推理系統(tǒng)中加入了一種形如if(some(A,exist),some(B,exist))的蘊涵句，本文的研究并不涵蓋包含上述等詞和蘊涵句的關(guān)系三段論。。另外，雖然本文只討論了二元謂詞，但不難把本文介紹的方法推廣應(yīng)用于三元或甚至更高元謂詞，并推導出[13]和[22]討論過的涉及三元謂詞的有效關(guān)系三段論，其方法如下：先對某個簡單三段論格式進行適當代入，其中至少有一個代入項包含三元謂詞，而包含這個三元謂詞的語句實質(zhì)上等于一個二元謂詞。接著引入不受約束的個體變項x和y，把上述語句改寫成包含x和y的開語句（由于三元謂詞有三個論元，除了代表直接賓語的下標acc外，還要使用代表間接賓語的下標dat）。舉例說，設(shè)Z和R分別是一元和三元謂詞，那么every(Z,R)實質(zhì)上是一個二元謂詞，例如如果把Z和R分別理解為“男孩”和“告訴”，那么every(Z,R)便代表“告訴每名男孩”，這是一個包含兩個論元（告訴者和被告訴的信息）的二元謂詞。引入個體變項x和y后，便可以把這個二元謂詞改寫成以下開語句：

(90)x(yacc(every(Zdat,R)))

上式代表“x把y告訴每名男孩”。從以上討論可見，本文前面介紹的概念和方法也適用于三元謂詞，只不過由于三元謂詞有三個論元，推導包含三元謂詞的有效關(guān)系三段論的程序會較為繁復，而且要對前面介紹過的某些定理作適當調(diào)整。

最后，本文推導有效關(guān)系三段論的方法是基于一種貼近自然語言表層結(jié)構(gòu)的形式表達式，在推導的過程中無需把表達式轉(zhuǎn)化為邏輯公式或集合論公式(只有在證明定理1和定理2時才須作這種轉(zhuǎn)化)，這正是當今某些形式語義學者所稱的“自然邏輯”（Natural Logic）研究路向（詳見[24]的說明）。本文的研究說明了利用自然邏輯的研究路向，可以發(fā)掘出自然語言中很多復雜句（這里指包含賓語或復雜主語的語句）的推理。總括而言，本文對關(guān)系三段論和自然邏輯的研究作出了一定貢獻。