有界滯量脈沖泛函微分系統(tǒng)零解的指數(shù)穩(wěn)定性＊

王華麗,褚玉明,符海龍

(1.廈門大學數(shù)學科學學院,福建廈門361005; 2.湖州師范學院理學院,浙江湖州313000;3.浙江大學附屬中學,浙江杭州310007)

有界滯量脈沖泛函微分系統(tǒng)零解的指數(shù)穩(wěn)定性＊

王華麗,褚玉明,符海龍

(1.廈門大學數(shù)學科學學院,福建廈門361005; 2.湖州師范學院理學院,浙江湖州313000;3.浙江大學附屬中學,浙江杭州310007)

利用Halanay微分不等式建立了Dini導數(shù)微分不等式,并證明了有界滯量的脈沖泛函微分系統(tǒng)的零解是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

Halanay不等式;脈沖泛函微分系統(tǒng);指數(shù)穩(wěn)定性

MSC 2000:34K20 34K38

近年來,脈沖泛函微分系統(tǒng)已被廣泛應用于神經(jīng)網(wǎng)絡、光學控制、人口動力學、生物技術(shù)、經(jīng)濟學等領(lǐng)域,對這類系統(tǒng)解的性質(zhì)研究已經(jīng)成為許多數(shù)學工作者的熱門研究課題[1～3].穩(wěn)定性理論已經(jīng)取得了許多成果,其中研究指數(shù)穩(wěn)定性主要是利用Lyapunov函數(shù)方法和Razumikhin技巧[5].眾所周知,微分不等式在微分系統(tǒng)的定性和定量理論研究中起到了非常重要的作用[1,3,4],其中Halanay不等式是一個典型的例子.本文首先將Halanay微分不等式推廣到Dini導數(shù)微分不等式,并用它研究有界滯量滯后型脈沖泛函微分系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性.

1 預備知識

考慮如下的脈沖泛函微分系統(tǒng)

其中Z+是全體正整數(shù)集合,xt脈沖時刻tk滿足0tk=+∞,x′(t)表示x在t處的右導數(shù).F(t,xt)∈C([tk-1,tk)×Cn,Rn),F(t,0)=0.Ik(t,x)∈C(R× PC([-τ,0],Rn),Rn),Ik(t,0)=0,k∈Z+.PC(I,Rn)={ψ∶I→Rn|ψ是除去點列tk的連續(xù)函數(shù),在t =tk∈I處,ψ都存在,且ψ=ψ(tk),其中I表示R上的一個區(qū)間;Cn={ψ:ψ∈PC([-τ, 0],Rn)}.我們總假設F(t,ψ),Ik滿足適當?shù)臈l件以保證系統(tǒng)(1)解的整體存在性和唯一性[6～7].

定義1 稱函數(shù)V∶[0,∞)×Rn→R+是v0函數(shù)類,若滿足: (i)V在[tk-1,tk)×Rn上連續(xù),V(t,y)=V存在; (ii)V(t,x)關(guān)于x滿足局部Lispschitz條件且V(t,0)≡0.

定義2 對V∈v0,對任意(t,x)∈[tk-1,tk)×Rn,V(t,x)沿系統(tǒng)(1)的Dini右上導數(shù)定義為:

定義3 設x(t)=x(t,t0,φ)是系統(tǒng)(1)經(jīng)過(t0,φ)的任一解,稱系統(tǒng)(1)的零解是全局指數(shù)穩(wěn)定的:若存在常數(shù)λ使得對任意的初始條件(t0,φ),有

2 主要結(jié)果

首先建立一維脈沖時滯Halanay不等式,然后利用該不等式研究脈沖泛函微分系統(tǒng)(1)零解的指數(shù)穩(wěn)定性.

引理1(Generalized Halanay Inequality) 假設存在函數(shù)m(t)∈PC([t0-τ,∞),R+)滿足:

(i)t=tk時,m(tk),其中γk>0;

(ii)t≥t0,t≠tk時,

則有

其中λ滿足0<λ<μ＊, μ＊∶μ(t)-p(t)+rq(t)eμ(t)τ=0}.

證明 首先證明μ＊存在且μ＊>0.令

由于Q(0)=-p(t)+rq(t)<0,Q′(μ)=1+rτq(t)eμτ>0,Q(+∞)>0,所以Q(μ)是嚴格單調(diào)遞增的.故對給定的t≥t0存在唯一的正函數(shù)μ(t)>0,使得

由μ＊的定義可知μ＊≥0.下面證明μ＊>0.

反證,若不然,取充分小的?>0,則存在t＊≥t0,使得

當x>0充分小時,不等式ex<1+1.5 x成立,從而有

得出矛盾!故μ＊>0,且存在λ,使得0<λ<μ＊.

下面證明不等式(2)成立.

首先,顯然對t∈[t0-τ,t0]有:

當t∈[t0,t1)時,只需證明:

反證.若不然,則存在t∈[t0,t1),使得m(t)>.為方便起見,記

則顯然有t＊∈[t0,t1)且

(1a)m(t＊)=w0(t＊);

(2a)m(t)≤w0(t),t∈[t0,t＊];

(3a)對任意δ>0,存在tδ∈(t＊,t＊+δ0),使得m(tδ)>w0(tδ),從而有

根據(jù)條件(ii),

再由條件(i)可以得到

下面證明當t∈[t1,t2)時,(2)成立,即證

仍然采用反證法.否則,存在

令

顯然有t′∈[t1,t2)且

(1b)m(t′)=w1(t′);

(2b)m(t)≤w1(t),t∈[t1,t′];

(3b)對任意δ′>0,存在tδ′∈(t′,t′+δ′),使得m(tδ′)>w1(tδ′),從而有

考慮到條件(ii)、(iii)及(2b)得:

這與式子(4)矛盾!故對任意的t∈[t1,t2),(2)式成立.再利用條件(i)可知t=t2時,

進一步可以證明:

采用同樣的方法,類似的定義w2,t″加以證明即可.

一般地,由歸納法,可以證得對t∈[tm,tm+1),m≥0有:

推論1 假設存在函數(shù)m(t)∈PC([t0-τ,∞),R+)滿足:

(i)t=tk時,m(tk),其中γk>0;

(ii)t≥t0,t≠tk時,

其中λ滿足

注1:如果γk≥1對所有的k∈Z+都成立,則可以去掉條件(iii).

注2:若m(tk)=m(tk-),則引理1的結(jié)果退化為文獻[8]中的引理2.1;進一步,若有p(t)≡α>q(t)≡β>0,則成為文獻[4]中的Halanay不等式.

定理1 假設

(ii)對任意的ψ∈PC([-τ,0],Rn),t=tk時,

其中βk

(iii)t≥t0,t≠tk時,有

則系統(tǒng)(1)的零解是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

證明 對任意的?>0,t0>0,取

利用引理1和條件(i)有:

因此

由于c2>c1,β>1,所以由定義3可知系統(tǒng)(1)的零解是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

[1]LA KSHM IKANTHAM V,LEELA S.Differential and Integral Inequalities[M].New York:Academic p ress,1969:37～43.

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[7]BALL INGER G,L IU X.Existence and uniqueness results for impulsive delay differential equations[J].Dynamics of Continuous,Discrete and Impulsive System s,1999,5:579～591.

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Abstract:We establish an Dini derivative differential inequality by uesof the Halanay differential inequality and p rove that the zero solutions of the impulsive functional differential system sw ith bounded delay are globally exponential stable.

Key words:Halanay inequality;Impulsive functional differential system s;Exponential stability

MSC 2000:34K20 34K38

The Exponential Stability of Zero Solutions for Im pulsive Functional D ifferen tial Systems with Bounded Delay

WANG Hua-li1,CHU Yu-ming2,FU Hai-long3
(1.School of Mathematical Sciences,Xiamen University,Xiamen 361005,China; 2.Faculty of Science,Huzhou Teachers College,Huzhou 31300,China; 3.The High School A ttached to Zhejiang University,Hangzhou 310007,China)

O175.21

A

1009-1734(2010)02-0013-05

2010-03-20

王華麗,廈門大學數(shù)學科學學院2010級博士生,從事動力系統(tǒng)和微分方程研究.