分數(shù)階微諧振器動力系統(tǒng)的混沌運動分析

席 濤，謝 進，孫建華，魏 巍

(西南交通大學(xué)機械工程學(xué)院，四川成都 610031)

0 引言

微諧振器是一種高精度的動態(tài)傳感器，在機器人技術(shù)、加速度計、陀螺儀、濾波器以及微檢測器等儀器中都具有廣泛的應(yīng)用。微諧振器主要利用其內(nèi)部振子的諧振特性進行工作，其混沌現(xiàn)象對器件的性能有重要的影響[1]。Y. C. Wang等[2]發(fā)現(xiàn)了微諧振器中的混沌現(xiàn)象，并且通過實驗數(shù)據(jù)進行了模型驗證。H. S. Haghighi等[3]研究了微諧振器隨著激勵振幅的變化產(chǎn)生的不同非線性行為，提出了一種魯棒自適應(yīng)模糊控制法有效地抑制了系統(tǒng)混沌。E. M. Miandoab等[4-5]對微諧振器非線性特性進行了分析，提出了一種基于Multiwell電位標(biāo)準的混沌邊緣確定方法。A. M. Tusset等[6]分別使用最優(yōu)線性反饋控制、狀態(tài)依賴Riccati方程以及估計器設(shè)計3種方法對微諧振器的混沌行為進行了有效的控制。值得注意的是，在上述的研究中，系統(tǒng)的動力學(xué)模型均為整數(shù)階微分方程。

如果考慮微諧振器的可動極板在運動過程中的粘彈性特性及內(nèi)部熱阻尼，微諧振器的動力學(xué)方程將會變?yōu)榉謹?shù)階方程。M.F. Oskouie等[7]基于Timoshenko納米梁的粘彈性性質(zhì)的本構(gòu)方程和Gurtin-Murdoch模型，推導(dǎo)出了Timoshenko納米梁的分數(shù)階振動方程，利用數(shù)值方法驗證了模型的準確性。除此之外，分數(shù)階微積分適用于刻畫材料中一些復(fù)雜無序的過程，能有效描述各種材料的記憶和遺傳特性，是微機電系統(tǒng)的一個新的研究方向[8-10]。

本文針對考慮粘彈性特性及熱阻尼的分數(shù)階微諧振器系統(tǒng)(fractional-order micro-electro-mech-anical resonator system,FOMEMRS)的分數(shù)階次對系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的影響開展研究工作。利用數(shù)值分析方法，分析了分數(shù)階次對系統(tǒng)混沌邊緣及系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響。

1 FOMEMRS動力學(xué)方程的建立及求解

1.1 FOMEMRS的動力學(xué)方程

微諧振器系統(tǒng)動力學(xué)模型如圖1所示，微諧振器在交流激勵電壓和直流偏置電壓組合驅(qū)動下工作。實際應(yīng)用中，交流激勵電壓值遠低于直流偏置電壓值，因此微諧振器系統(tǒng)的無量綱運動方程可表示為[3]

(1)

式中的無量綱參數(shù)的計算式如下：

式中：z為微梁的垂直位移；d為初始間隙寬度；m為有效集總質(zhì)量；c為阻尼系數(shù)；k1為線性剛度系數(shù)；k3為立方剛度系數(shù)；C0為平行板結(jié)構(gòu)的電容；Vb為直流偏置電壓；VAC為交流激勵電壓；Ω為交流電壓的頻率。

圖1 微諧振器的原理圖

若考慮微諧振器系統(tǒng)的材料粘彈性特性[12-13]，式(1)中的微分2階次應(yīng)為分數(shù)階次，用p1表示；若考慮系統(tǒng)內(nèi)部熱阻尼，式(1)中的阻尼項1階次也應(yīng)為分數(shù)階次[14]，用p2表示，則式(1)可寫為分數(shù)階微分方程：

(2)

通常，分數(shù)階次p1取值區(qū)間為(1～2)，p2的取值區(qū)間為(0～1)[15]，具體的確定方法可參考文獻[16]。

1.2 FOMEMRS動力學(xué)方程的數(shù)值求解

將式(2)可改寫為如下狀態(tài)方程：

(3)

針對式(3)，采用預(yù)估-校正方法[17]進行數(shù)值求解，該方法具有在任意分數(shù)階數(shù)進行數(shù)值求解的優(yōu)點。預(yù)估-校正法主要包括對方程的離散化及確定校正系數(shù)和預(yù)估近似值兩個方面。

將式(3)離散化為

(4)

校正系數(shù)ai,n+1的計算公式為

(5)

預(yù)估值的近似計算公式為

(6)

預(yù)估系數(shù)bi,n+1的計算公式為

(7)

2 分數(shù)階次p1及p2確定系統(tǒng)的混沌邊緣

本節(jié)將研究不同的階次p1、p2與微諧振器混沌現(xiàn)象之間的關(guān)系。如果沒有特別說明，參數(shù)的取值均為α=12,μ=0.01,γ=0.338,A=0.052 6,ω=0.5。需要說明的是，在此參數(shù)下，整數(shù)階，即p1=2，p2=1的微諧振器系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌狀態(tài)[18]。

混沌邊緣是指在系統(tǒng)參數(shù)的變化過程中，系統(tǒng)的運動狀態(tài)由周期運動轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦邕\動，或由混沌運動轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷谶\動參數(shù)的分界點[19]。

為確定系統(tǒng)的混沌邊緣，在p1∈(1～2)、p2∈(0～1)的取值區(qū)間內(nèi)，均勻取100×100個網(wǎng)格點的值對系統(tǒng)進行仿真。若系統(tǒng)處于周期運動狀態(tài)，則賦予此網(wǎng)格點“實點”；若系統(tǒng)處于混沌運動狀態(tài)，則賦予此網(wǎng)格點“星點”。而判定周期運動與混沌運動的方法是：若Poincaré截面上點的數(shù)量少于16，則認為系統(tǒng)處于周期運動，若Poincaré截面上點的數(shù)量大于等于16，則認為系統(tǒng)處于混沌運動。

依此方法，得到FOMEMRS的混沌邊緣，如圖2所示。

圖2 FOMEMRS關(guān)于p1、p2的雙參數(shù)混沌邊緣

從圖2可以看出，在p1與p2同時改變時，系統(tǒng)出現(xiàn)了3個混沌區(qū)域。這3個混沌區(qū)域可以沿p1軸劃分，主要集中在p1約為1.2、區(qū)間(1.56～1.7)及區(qū)間(1.93～2)；而沿p2軸系統(tǒng)的動力學(xué)行為僅有少數(shù)、個別的變化。3個區(qū)域大致為平行于p2軸的帶狀區(qū)域。這一結(jié)果說明分數(shù)階次p1對FOMEMRS動力學(xué)行為有顯著的影響，而分數(shù)階次p2對FOMEMRS動力學(xué)行為的影響較小。由于分數(shù)階次p1的值取決于系統(tǒng)的材料特性，分數(shù)階次p2的值取決于系統(tǒng)的阻尼特性，所以，可以說系統(tǒng)材料特性的變化對系統(tǒng)動力學(xué)行為會產(chǎn)生明顯的影響，而阻尼特性的變化對系統(tǒng)的動力學(xué)行為的影響卻比較小。

從圖2可以看出，就通常的整數(shù)階(p1=2、p2=1)微諧振器系統(tǒng)混沌運動狀態(tài)而言，如果改變材料的粘彈性特性，系統(tǒng)將可能處于周期運動狀態(tài)。

3 系統(tǒng)通向混沌運動的途徑

研究通向混沌運動的途徑的主要目的是揭示系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的機理。從第2節(jié)的分析中可以看出：FOMEMRS的混沌現(xiàn)象主要與分數(shù)階次p1相關(guān)。因此，本節(jié)中研究p1與系統(tǒng)混沌現(xiàn)象之間的關(guān)系。不失一般性，令p2=0.75，如圖2虛線所示，虛線與3個混沌區(qū)域均有交集。

作出反映位移的無量綱參數(shù)x隨p1從1增大到2的分岔圖，如圖3所示。

圖3 FOMEMRS隨分數(shù)階次p1變化的分岔圖

從圖3中可以看出，在區(qū)域A和B內(nèi)，即p1值比較小時，F(xiàn)OMEMRS是以倍周期分岔的方式進入到混沌狀態(tài)；而在區(qū)域C內(nèi)，即p1值接近于2的時候，系統(tǒng)是以周期-混沌的陣發(fā)性突變的方式進入到混沌狀態(tài)。由此可以看出，在材料的粘彈性不同的取值區(qū)間，系統(tǒng)進入混沌運動的方式是不同的。

利用相圖可以更加詳細地展現(xiàn)出系統(tǒng)從周期運動通向混沌運動的途徑，為了排除瞬態(tài)混亂運動的影響，相圖舍棄了系統(tǒng)響應(yīng)的前1 000個點。圖4所示為在A區(qū)域內(nèi)，取p1=1.17、p1=1.18、p1=1.194、p1=1.199得到的相圖。從圖4中可以直觀的看出在區(qū)域A內(nèi)，隨著分數(shù)階次p1取值的增大，系統(tǒng)是通過“單周期-雙周期-四周期-混沌”這種倍周期分岔的方式從周期運動進入到混沌運動。

(a)p1=1.17時的相圖

(b)p1=1.18時的相圖

(c)p1=1.194時的相圖

(d)p1=1.199 時的相圖

圖5所示在B區(qū)域內(nèi)，取p1=1.5、p1=1.525、p1=1.538、p1=1.565得到的相圖。從圖中可以看出，與區(qū)域A類似，系統(tǒng)也通過倍周期分岔的方式從周期運動進入混沌運動。

(a)p1=1.5時的相圖

(b)p1=1.525時的相圖

(c)p1=1.538時的相圖

(d)p1=1.565時的相圖

圖6所示為在區(qū)域C內(nèi)，取p1的階次只相差0.001得到的相圖。從圖中可以看出，階次值微小的改變，系統(tǒng)卻呈現(xiàn)為周期運動與混沌運動兩種截然不同的運動狀態(tài)，系統(tǒng)是通過陣發(fā)性突變從周期運動轉(zhuǎn)變?yōu)榛煦邕\動的。

(a)p1=1.988時的相圖

(b)p1=1.989時的相圖

4 結(jié)論

本文針對微諧振器分數(shù)階微諧振器系統(tǒng)(FOMEMRS)模型進行了研究，利用預(yù)估-校正法研究了FOMEMRS的混沌現(xiàn)象。

研究表明：由系統(tǒng)材料粘彈性特性所決定的分數(shù)階項p1的變化是影響混沌現(xiàn)象產(chǎn)生的主要因素，而由系統(tǒng)內(nèi)部熱阻尼特性所決定的分數(shù)階項p2卻對系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生的影響比較并不明顯。此外，隨著階次p1的增大，系統(tǒng)出現(xiàn)數(shù)次周期運動與混沌運動交互出現(xiàn)的情況，在有些區(qū)域是以倍周期分岔的方式進入混沌運動狀態(tài)的，而在有些區(qū)域是以陣發(fā)性突變的方式進入到混沌運動狀態(tài)的。

本文所得的結(jié)果表明，通過改變系統(tǒng)的材料粘彈性，適當(dāng)?shù)慕档推浞謹?shù)階次，可以將微諧振器系統(tǒng)中的混沌運動控制至周期運動，達到抑制混沌的效果。然而，在工程實際中，如何利用這樣的思路對混沌運動進行控制還需要進行深入的理論分析及大量的實驗。這些將是后續(xù)研究的主要內(nèi)容。