2019年高考全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)試題評析和2020年備考建議

羅文軍 劉娟娟

【摘 要】 2019年高考全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)試題，以《課程標(biāo)準(zhǔn)》、《考試說明》為依據(jù)，體現(xiàn)了“立足基礎(chǔ)，穩(wěn)中有變，注重能力”的設(shè)計理念，在堅持對空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識考查的同時，注重對數(shù)學(xué)思想與方法的考查，旨在考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，凸顯綜合性和應(yīng)用性，以反映我國社會主義建設(shè)的成果和優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的真實情境為載體，貼近生活，聯(lián)系實際，在數(shù)學(xué)教育評價中落實了“立德樹人”的根本任務(wù).

【關(guān)鍵詞】 評析;備考;建議;趨勢

2019年高考全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)試題，以《課程標(biāo)準(zhǔn)》、《考試說明》為依據(jù)，體現(xiàn)了“立足基礎(chǔ)，穩(wěn)中有變，注重能力”的設(shè)計理念，在堅持對空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識考查的同時，注重對數(shù)學(xué)思想與方法的考查，旨在考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，凸顯綜合性和應(yīng)用性，以反映我國社會主義建設(shè)的成果和優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的真實情境為載體，貼近生活，聯(lián)系實際，在數(shù)學(xué)教育評價中落實了“立德樹人”的根本任務(wù).

1 試題評析

1.1 大穩(wěn)定

無論文科還是理科，試卷在整體結(jié)構(gòu)上，設(shè)置有12道選擇題、4道填空題、7道解答題，與前兩年保持一致.延續(xù)了全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)高考近幾年必考關(guān)于集合、復(fù)數(shù)、平面向量、數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)應(yīng)用題型的特色.

（1）對主干知識和基礎(chǔ)知識的考查保持相對穩(wěn)定.

從上表可以看出今年整套試卷在考點分布上，仍然注重對高中數(shù)學(xué)主干內(nèi)容三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計、數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識的考查，分值權(quán)重與2018年大體上一致.

無論文理都注重基礎(chǔ)知識與基本能力的考查.理科第1、2、3、5、6、7、11、13、15、17、22、23為基礎(chǔ)題，文科第1、2、3、4、5、7、11、13、15、17、22、23為基礎(chǔ)題.

（2）考查的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法保持相對穩(wěn)定.

（3）考查的數(shù)學(xué)能力和核心素養(yǎng)保持相對穩(wěn)定.

文科除第4、7題外，理科除第5、7題外，都考查了考生的運算求解能力;文科的第1、4、6、7、8、10、13、16、20題，理科的第1、2、4、5、6、7、12、16、21題都考查了學(xué)生的抽象概括能力;文科的第7、8、12、13、16、17、20題，理科的第7、8、11、12、16、17、21題都考查了考生的直觀想象能力;文科的第6、7、15、17、18、20、21、22、23題，理科的第4、5、6、7、8、9、10、11、12、14、15、17、18、19、20、21、22、23題都考查了學(xué)生的邏輯推理能力;文科的第4題，理科的第12、18題都考查了考生的數(shù)學(xué)建模能力;文科的第14、19題，理科的第5、13題都考查了考生的數(shù)據(jù)分析能力.文科的第5、14、16題，理科的第4、13、16題考查了考生的閱讀理解能力.無論文科和理科，對能力的考查，旨在考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

（4）從源頭來看，出自課本且高于課本的題目數(shù)量保持穩(wěn)定.

如果認(rèn)真審視2019年高考全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)試題，在課本中能找到它們的“影子”.例如文科的第1、2、3、6、10、11、13、17、18、20、22題第（1）問、23題第（1）問，理科第1、2、3、7、10、14、17、21題第（1）問、22題第（1）問、23題第（1）問，都加工改編自課本中的經(jīng)典例題或者習(xí)題.例如2019年全國Ⅱ卷文科第20題源自人教A版選修11課本第41頁習(xí)題2.1A組第6題，2019年全國Ⅱ卷理科第21題源自人教A版選修21第二章第2單元第一節(jié) 《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》第41頁例3.這體現(xiàn)了課本是高考命題的策源地，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)中要開發(fā)運用好數(shù)學(xué)課本具有很好的導(dǎo)向作用.

1.2 小創(chuàng)新

（1）題目順序和結(jié)構(gòu)的調(diào)整.

2019年高考全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)打破常規(guī)的地方，在解答題的必考題目順序上有了調(diào)整，理科第17題立體幾何，第18題概率與統(tǒng)計，第19題數(shù)列，第20題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，第21題圓錐曲線，而2018年理科第17題數(shù)列、第18題概率與統(tǒng)計，第19題圓錐曲線，第20題立體幾何，第21題函數(shù)與導(dǎo)數(shù);文科第17題立體幾何、第18題數(shù)列、第19題概率與統(tǒng)計，第20題圓錐曲線，第21題函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，2018年文科第17題數(shù)列，第18題概率與統(tǒng)計，第19題立體幾何，第20題圓錐曲線，第21題函數(shù)與導(dǎo)數(shù).與2018年相比，理科解答題調(diào)整了立體幾何、數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線等題目的順序，文科解答題調(diào)整了數(shù)列、概率與統(tǒng)計、立體幾何等題目的順序，題目順序的調(diào)整體現(xiàn)了今年高考試題破除了近幾年來形成的套路，特別是第17題設(shè)置為立體幾何試題，給考生增加了陌生感.無論文科還是理科，填空題第16題首次出現(xiàn)一題兩空的情況.理科第21題圓錐曲線試題第（2）問中又設(shè)置了兩問.文理科都沒有考查程序框圖和三視圖，理科沒有考查線性規(guī)劃，這體現(xiàn)了高考試題題型的創(chuàng)新性.因為2017年版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》進行了課程內(nèi)容調(diào)整，程序框圖、三視圖和線性規(guī)劃都被刪除了.文理科選做第22題都考查了極坐標(biāo)系方程和軌跡方程的求解，借助直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系的互化已經(jīng)很難解決這道試題，因為試題回歸到了對極坐標(biāo)系本質(zhì)的考查，難度比往年加大.

（2）減少了文理科同題數(shù)量.

在2018年數(shù)學(xué)高考中，文科的第3、4、6、7、8、12、14、17、18、20、22、23題以及19題的第1問分別和理科的第3、4、5、6、7、11、14、17、18、19、22、23題以及20題的第1問完全相同.在2019年的數(shù)學(xué)高考中，文科的第7、9、11、12、14、16、17題第（1）問、22、23題分別和理科的第7、8、10、11、13、16、17題的第（1）問、22、23題相同.文理科的同題數(shù)量減少，有利于增加理科試卷的難度，因為數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)學(xué)科，高考是高校選拔人才的依據(jù)，高校對理工類考生的數(shù)學(xué)要求更高.

（3）加強創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識的考查.

文科第4、5、14、19題，理科第4、5、13、18題，都考查了考生的創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識.文科第4題以“一帶一路”作為試題背景，背景公平，試題新穎，將時政融入了高考試題，考查了數(shù)學(xué)文化的理性精神價值.理科第13題以我國高鐵列車的發(fā)展成果為背景，有利于引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注現(xiàn)實生活和經(jīng)濟發(fā)展.理科第4題結(jié)合“嫦娥”四號實現(xiàn)人類歷史首次月球軟著陸的技術(shù)突破為素材，以物理學(xué)中典型的牛頓運動定律和萬有引力為背景，考查了考生的近似估算能力，貼合物理知識，關(guān)注了物理學(xué)科和數(shù)學(xué)學(xué)科之間的聯(lián)系，反映了我國航天事業(yè)取得的巨大成就，在浙江和上海等實行“3+3”新高考模式的省市，選考物理的人數(shù)相比較少，高考數(shù)學(xué)試題在數(shù)學(xué)知識和物理知識的學(xué)科交匯處命題，可以很好地彌補這一不足，便于引起考生重視物理知識，重視數(shù)學(xué)和物理等基礎(chǔ)學(xué)科，可以為我國發(fā)明更多創(chuàng)新型科研成果奠定基礎(chǔ).文理科第16題以我國古代官員獨孤信的印信為背景，獨孤信在我國歷史上以講誠信出名，體現(xiàn)了我國古代數(shù)學(xué)智慧的傳承與發(fā)展，也體現(xiàn)出了誠信是做人的最基本的道德準(zhǔn)則，體現(xiàn)出了誠信是中華民族的優(yōu)良傳統(tǒng).這道試題可以看成將德育融入了高考數(shù)學(xué)試題，啟發(fā)我們要在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透德育教育，獨孤信的印信體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，這道試題同時可以看成將美育融入了高考試題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化的美學(xué)價值，有利于增強中華民族的文化自信和民族自豪感.理科第18題以我國國球乒乓球運動的11分制10平后的乒乓球比賽結(jié)果的預(yù)估提出問題，要求考生應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法分析和解決體育問題，真正將體育教育融入了高考數(shù)學(xué)試題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.

2 備考建議

2.1 時間安排

第一輪復(fù)習(xí)（2019年8月—2020年2月）;

第二輪復(fù)習(xí)（2020年3月—2020年4月中旬）;

第三輪復(fù)習(xí)（2020年4月中旬—2020年5月中旬）.

2.2 第一輪復(fù)習(xí)注意事項

第一輪復(fù)習(xí)主要強調(diào)對考點知識全面覆蓋基礎(chǔ)上的學(xué)科體系構(gòu)建.《2019年甘肅省高考數(shù)學(xué)考試說明》明確要求：“突出數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法的考查”，既全面考查，又突出重點，既注重數(shù)學(xué)本質(zhì)，又注重內(nèi)在聯(lián)系.在一輪復(fù)習(xí)中要做到回歸課本，夯實基礎(chǔ)，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，要把握好復(fù)習(xí)難度.近幾年內(nèi)高考數(shù)學(xué)試題遵循“大穩(wěn)定，小創(chuàng)新”的方針，重視基礎(chǔ)知識和基本技能的考查.回歸課本應(yīng)貫穿一輪復(fù)習(xí)的自始至終.因為課本是數(shù)學(xué)知識的“生長地”，課本是高考復(fù)習(xí)的“根據(jù)地”，回歸課本是高考復(fù)習(xí)的起點.研課本，就是要看考題與課本的關(guān)系，從高考的要求出發(fā)，把課本熟化，公式定理能信手拈來，基本題型能“借題發(fā)揮”.在回歸課本的基礎(chǔ)上，要著重強化對知識的梳理、優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)、構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò).在一輪復(fù)習(xí)中，要注重通性通法，例如破解高考解答題中空間角通法為法向量法，解析幾何中的設(shè)而不求法.在一輪復(fù)習(xí)教學(xué)中，“先羅列概念，再對應(yīng)性的例題選講”型模式的復(fù)習(xí)課并不少見，但這種課一般不會有好效果.因為“羅列”對優(yōu)等生來說，不新奇，無刺激，他們不會積極參與;對后進生來說，光憑“羅列”也會不了，記不住，所以也不會有興趣.好的方法是重點概念采取“問題趨動”，在解決問題中獲取概念.

2.3 第二輪復(fù)習(xí)注意事項

第二輪復(fù)習(xí)中，主要是強化框架性問題的梳理和專題綜合訓(xùn)練，提升學(xué)生知識遷移、學(xué)以致用的能力.

（1）研高考，鎖定復(fù)習(xí)方向.

研究高考試題的源頭.高考題的兩個重要源頭，源自教材和歷年高考真題.通過分析歷年全國新課標(biāo)高考真題的變化趨勢，弄清楚哪些知識和方法是必備的，哪些是可以拓展的，哪些是可以整合融匯貫通的，哪些是高頻考點，哪些是次高頻考點，然后編寫二輪復(fù)習(xí)專題，可以按學(xué)科主干知識為體系編寫模塊.由于高考試題注重考查從學(xué)科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點處設(shè)計試題，因此在二輪復(fù)習(xí)專題中要設(shè)置一些數(shù)學(xué)知識交匯的題目.

（2）研究學(xué)生實際.

二輪復(fù)習(xí)中，深刻研究學(xué)生實際，仍然以中檔題為主，立足中下題，二輪復(fù)習(xí)期間做多少個專題訓(xùn)練，每周幾個大專題，幾個小專題，何時做，都要有大致計劃與部署，數(shù)量的有效控制和時間安排直接制約二輪復(fù)習(xí)的效果，要引導(dǎo)學(xué)生不斷反思總結(jié).二輪復(fù)習(xí)專題的編寫把著力點放在高考重點和熱點上、學(xué)生問題的盲點、誤點、困惑點上.

（3）在二輪復(fù)習(xí)中，運用好一題多解和一題多變.

在二輪復(fù)習(xí)教學(xué)中，我們要嘗試對典型題目進行多解探究和變式探究，通過“一題多解”和“一題多變”演繹問題的產(chǎn)生過程，打破思維定勢，提高學(xué)生思維的變通性，開拓學(xué)生的知識視野，增強學(xué)生的綜合思維能力和發(fā)展創(chuàng)造思維，同時有助于學(xué)生深刻理解知識的系統(tǒng)性、特殊性和廣泛性，提高學(xué)生的綜合思維能力和解題能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.4 三輪復(fù)習(xí)

三輪復(fù)習(xí)則主要是調(diào)整狀態(tài)，反思構(gòu)建，完善應(yīng)試策略，積淀學(xué)科素養(yǎng).三輪復(fù)習(xí)中，每周安排兩到三次模擬訓(xùn)練，規(guī)定訓(xùn)練時間為2小時，模擬題的選取中，要根據(jù)學(xué)生實際學(xué)情，以中難度的題為主，突出高頻考點，各部分知識在卷面中占多少分值要做到心中有數(shù).我們要對每次模擬題訓(xùn)練后批改點評，引導(dǎo)學(xué)生查缺補漏，回歸課本.反思總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生運用正確方法解題.

2.5 其他注意點

（1）研《考試說明》.要留心考試說明中變化，例如《考試說明》對雙曲線的要求改為了解，那么若有雙曲線考題，也是比較簡單的.要關(guān)注教育部考試中心任子朝教授等專家的文章，研究這些高考考試研究文章中所透露出的高考新動向.

（2）在高三復(fù)習(xí)中，要著力以三角函數(shù)，數(shù)列，圓錐曲線的復(fù)習(xí)為載體，訓(xùn)練學(xué)生的運算求解能力.

（3）復(fù)習(xí)要細(xì)化，不能留下盲點，新增內(nèi)容的考查如火如荼，不能主觀臆斷地認(rèn)為哪些考哪些不考.

（4）高三復(fù)習(xí)中要做到：知識理解要深化，例如2019年高考文科和理科第22題，只有深刻理解了極坐標(biāo)方程的定義、直線和圓的極坐標(biāo)方程的推導(dǎo)過程才可能做對;解題規(guī)律要類化;通性通法要強化;解題思路要優(yōu)化.

3 2020年命題趨勢預(yù)測

2020年全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)試題整體要比2019年全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)試題略難，具體為2020年高考命題客觀題將比2019年難度有所提升，解答題和2019年持平.預(yù)計2020年，選擇題中，將有以數(shù)學(xué)和物理知識交匯為背景旨在考查素養(yǎng)的試題;填空題中會有兩空的試題;解答題目順序?qū)M一步調(diào)整;解答題中會有解三角形試題，數(shù)列試題將出現(xiàn)在選擇題或填空題中;文理科小題中都會有一道考查概率或者數(shù)列知識的數(shù)學(xué)文化試題;將有3道以上考查閱讀理解能力的試題;應(yīng)用題可能會有考查考生創(chuàng)新意識和探究能力的開放性試題;選考第22題坐標(biāo)系與參數(shù)方程試題將考查參數(shù)方程的本質(zhì).

作者簡介 羅文軍（1986—），男，甘肅秦安人，中學(xué)二級教師，本科學(xué)歷，主要研究高中數(shù)學(xué)一題多解和高中數(shù)學(xué)文化.2015年2月被聘為首批華中師范大學(xué)考試研究院特聘研究員，2016年3月加入甘肅省數(shù)學(xué)教育研究會，2016年9月被陜西師范大學(xué)聘為《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》特約編輯. 發(fā)表論文100多篇.有多篇論文被中國人民大學(xué)報刊復(fù)印資料《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載.

劉娟娟（1988—），女，甘肅秦安縣人，發(fā)表省級論文4篇，多次獲得國家級和省級論文獎，曾被評為秦安縣園丁獎.