感悟策略，激活思維，提升能力

摘 要：引導(dǎo)學(xué)生從多角度、多途徑探索問題解決的策略，激活學(xué)生思維，提升學(xué)生的能力，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)。文章作者對(duì)學(xué)生分?jǐn)?shù)應(yīng)用題常見的錯(cuò)誤及原因進(jìn)行分析，通過運(yùn)用對(duì)比、正確使用畫圖、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、引導(dǎo)學(xué)生歸納特性、轉(zhuǎn)換思路等策略激活學(xué)生思維，提升學(xué)生的能力，闡述了自己的一些認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)應(yīng)用題;測(cè)試內(nèi)容;解題方法

中圖分類號(hào)：G623.5

文章編號(hào)：2095-624X（2019）24-0077-03

一、問卷設(shè)計(jì)與測(cè)試內(nèi)容

受分?jǐn)?shù)抽象性的影響，分?jǐn)?shù)應(yīng)用題一直都是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。為了更好地突破這一難點(diǎn)，我們對(duì)六年級(jí)119名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查和解題測(cè)試，希望調(diào)查及測(cè)試更好地了解學(xué)生的實(shí)際，尋求到解決問題的方法。

問卷調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表。

從表中可以看出，學(xué)生在解決分?jǐn)?shù)和百分比應(yīng)用問題時(shí)喜歡模仿例題解題。能夠認(rèn)真審題、找準(zhǔn)單位“1”、做到量率對(duì)應(yīng)、及時(shí)總結(jié)思路的學(xué)生并不多?？梢妼W(xué)生在分析題意、畫圖助理解、思路總結(jié)等學(xué)習(xí)習(xí)慣方面存在一定問題。

為找出學(xué)生在解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中遇到的問題，筆者設(shè)計(jì)了一組單元知識(shí)測(cè)試題，共7題，測(cè)試時(shí)間：15分鐘。

例一：一根繩子長(zhǎng)20米，剪去4/5，還剩多少米？

例二：六（1）班學(xué)生向?yàn)?zāi)區(qū)捐書180本，比六（2）班多25%，六（2）班向?yàn)?zāi)區(qū)捐書多少本？

例三：六（1）班學(xué)生向?yàn)?zāi)區(qū)捐書180本，六（2）班比六（1）班多25%，六（2）班向?yàn)?zāi)區(qū)捐書多少本？

例四：有一袋大米，第一周吃了35%，第二周吃了15%，第一周比第二周多吃了45千克，這袋大米一共有多少千克？

例五：一本故事書240頁(yè)，小玲第一天看了全書的 ，第二天看了全書的 。①小玲兩天一共看了多少頁(yè)？②第二天比第一天多看了多少頁(yè)？

例六：修路隊(duì)修一條長(zhǎng)2400米的道路，第一周修了全長(zhǎng)的15%，第二周修了余下的 ，還剩多少米沒有修？

例七：李村種白菜6 公頃，種的蘿卜比白菜少 公頃。這兩種菜地共占全村菜地的 。全村共有菜地多少公頃？

二、具體錯(cuò)誤及原因分析

測(cè)試后對(duì)個(gè)別學(xué)生進(jìn)行訪談，確定每道錯(cuò)題的錯(cuò)誤類型。根據(jù)對(duì)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題錯(cuò)誤類型的歸因總結(jié)，可分為如下幾種錯(cuò)誤類型（見圖1）。

1.分?jǐn)?shù)意義理解不透徹

例一：一根繩子長(zhǎng)20米，剪去 ，還剩多少米？

【錯(cuò)例】20- =19 （米）

【正確】20-20× =4（米）

【分析】把抽象的 誤視為實(shí)際的量，可能是對(duì)分?jǐn)?shù)意義不理解，也可能是粗心導(dǎo)致的。

2.誤判單位“1”

例二：六（1）班學(xué)生向?yàn)?zāi)區(qū)捐書180本，比六（2）班多25%，六（2）班向?yàn)?zāi)區(qū)捐書多少本？

【錯(cuò)例】180×（1+25%）=225（本）

【正確】180÷（1+25%）=144（本）

【分析】典型的不一致問題，把六（1）班捐書數(shù)誤為單位“1”，而實(shí)際卻是六（2）班捐書數(shù)量為單位“1”的量。

3.數(shù)量與分率不對(duì)應(yīng)

例三：六（1）班學(xué)生向?yàn)?zāi)區(qū)捐書180本，六（2）班比六（1）班多25%，六（2）班向?yàn)?zāi)區(qū)捐書多少本？

【錯(cuò)例】180×（1-25%）=135（本）

或180×25%=45（本）

【正確】180×（1+25%）=225（本）

【分析】沒有認(rèn)準(zhǔn)已知數(shù)量的對(duì)應(yīng)分率，誤認(rèn)為六（2）班占六（1）班的25%。

例四：有一袋大米，第一周吃了35%，第二周吃了15%，第一周比第二周多吃了45千克，這袋大米一共有多少千克？

【錯(cuò)例】解：設(shè)這袋大米一共有x千克。35%x+15%x=45或x-35%x-15%x=45。

【正確】解：設(shè)這袋大米一共有x千克。35%x-15%x=45。

【分析】分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，有時(shí)對(duì)應(yīng)分率是隱藏的，部分學(xué)生在找隱藏的分率時(shí)沒有注意對(duì)應(yīng)，隨意地在將已知的數(shù)量與分率建立關(guān)系。

4.受定式思維的影響

例五：一本故事書240頁(yè)，小玲第一天看了全書的 ，第二天看了全書的 。

①小玲兩天一共看了多少頁(yè)？②第二天比第一天多看了多少頁(yè)？

【錯(cuò)例】①240×（ + ）=76（頁(yè)）

②240-76=164（頁(yè)）或240× -240× =4（頁(yè)）

【正確】①240×（ + ）=76（頁(yè)）

②240× -240× =4（頁(yè)）

【分析】由于問題①已經(jīng)求了兩天一共看的頁(yè)數(shù)，學(xué)生受思維定式影響，解決問題②時(shí)，錯(cuò)誤地運(yùn)用了問題①的數(shù)據(jù)求出了還剩多少頁(yè)沒有看。也有的學(xué)生受“順向思維”的影響，把較大數(shù)減去較小數(shù)。

5.沒有準(zhǔn)確把握單位“1”

例六：修路隊(duì)修一條長(zhǎng)2400米的道路，第一周修了全長(zhǎng)的15%，第二周修了余下的 ，還剩多少米沒有修？

【錯(cuò)例】2400×（15%+ ）=760（米）

2400-760=1640（米）

【正確】2400×15%=360（米）

2400×（1-15%）× =340（米）

2400-360-340=1700（米）

【分析】錯(cuò)因在于沒有統(tǒng)一單位“1”。15%和 的單位“1”是不同的，因此這兩個(gè)分?jǐn)?shù)所表示的實(shí)際意義也不相同。第一周修的15%是針對(duì)整條路而言的，第二周修的 是針對(duì)剩下米數(shù)而言的，所以應(yīng)該把“修了余下的 ”轉(zhuǎn)化為整條公路的（1-15%）× 。

6.對(duì)數(shù)量關(guān)系理解不清

例七：李村種白菜6 公頃，種的蘿卜比白菜少 公頃。這兩種菜地共占全村菜地的 。全村共有菜地多少公頃？

【錯(cuò)例】（6 - ）÷ = （公頃）或

（6 + ）÷ = （公頃）

【正確】（6 - +6 ）÷

【分析】部分學(xué)生沒有理解清楚數(shù)量關(guān)系：白菜的公頃數(shù)- 公頃=蘿卜的公頃數(shù)，有的看成是“蘿卜占全村菜地的 ”，有的看成“蘿卜就是 公頃”，還有的看成“少白菜的 ”，反映出個(gè)別學(xué)生收集和加工信息的能力比較差。

7.其他因素

在實(shí)驗(yàn)或日常教學(xué)中，我們還發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用題的情節(jié)是學(xué)生熟悉的就容易解答，如果離學(xué)生生活較遠(yuǎn)的，學(xué)生就比較難理解。

例如：李村種白菜公頃6 ，種的蘿卜比白菜少 公頃。這兩種菜地共占全村菜地的 。全村共有菜地多少公頃？

對(duì)于土地耕種的問題，它與城市學(xué)生的實(shí)際生活相去甚遠(yuǎn)。測(cè)試結(jié)果表明，錯(cuò)誤率較高，有34人做錯(cuò)，高達(dá)28.6%。有些學(xué)生在分析數(shù)量關(guān)系時(shí)特別困難，甚至無法清楚地解釋兩個(gè)相關(guān)量之間的關(guān)系。

三、解決對(duì)策

1.運(yùn)用對(duì)比，助分?jǐn)?shù)意義的理解，掌握解題方法

為了讓學(xué)生了解分?jǐn)?shù)當(dāng)中帶單位與不帶單位的不同算法，從而更好地理解分?jǐn)?shù)的意義，掌握解題方法。在課堂教學(xué)中，我們?cè)O(shè)計(jì)了下面的兩道題進(jìn)行對(duì)比。

（1）一根繩子長(zhǎng)10米，剪去 米，還剩多少米？

（2）一根繩子長(zhǎng)10米，剪去，還剩多少米？

教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩種題型中的不同含義進(jìn)行理解，（1）題當(dāng)中是剪去 米， 米是一個(gè)具體的量，直接用10- =9 （米）即可。（2）題可以將繩子總長(zhǎng)看作單位“1”，將其平均分為5份，減去其中的4份，也就是剩下的是其中的一份，所以算法為：10×（1- ）或10-10× =2（米）

教師可以讓學(xué)生在對(duì)比中分析題目的異同，加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解，及時(shí)總結(jié)解題方法，有效激活學(xué)生的思維，進(jìn)而提高學(xué)生的解題能力。

2.正確使用畫圖策略，化難為易，提升能力

數(shù)形結(jié)合的思想方法，是將抽象的數(shù)學(xué)語言與實(shí)際的直觀圖形結(jié)合起來進(jìn)行思考。因?yàn)閳D形具有直接的表現(xiàn)力，它們可以達(dá)到簡(jiǎn)化復(fù)雜性的效果。因此，在教學(xué)中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖生動(dòng)形象地呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)的數(shù)量關(guān)系，變“看不見”的數(shù)量關(guān)系為“看得見”的數(shù)量關(guān)系，使學(xué)生的認(rèn)知由模糊走向清晰，不斷提高解決問題的能力。

針對(duì)“數(shù)量與分率不對(duì)應(yīng)”這種錯(cuò)誤，我們?cè)O(shè)計(jì)了對(duì)應(yīng)的題目并結(jié)合線段圖進(jìn)行教學(xué)。例如：甲校圖書館有圖書12000本，乙校比甲校的圖書多25%，乙校有圖書多少本？

用圖2表示題意，能讓題目的數(shù)量關(guān)系更加明確化，能讓學(xué)生清晰找出乙校圖書的對(duì)應(yīng)分率，能有效地解決數(shù)量與分率不對(duì)應(yīng)的問題，有助于學(xué)生理解和掌握分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解題的關(guān)鍵及方法。學(xué)生的解題能力也能在畫圖過程中不斷提高。

又如上述第七道例題：李村種白菜6 公頃，種的蘿卜比白菜少 公頃。這兩種菜地共占全村菜地的 。全村共有菜地多少公頃？

針對(duì)學(xué)生收集和加工信息的能力比較差、難以理解題目的特點(diǎn)，教學(xué)中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生正確畫出線段圖（如圖3），結(jié)合繪制的線段圖理解應(yīng)用題中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，降低學(xué)習(xí)難度，提高學(xué)生解決問題的能力。

3.構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，激活思維，提升能力

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在課程設(shè)計(jì)思路中還指出：“在呈現(xiàn)作為知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程?！币虼?，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)注重和發(fā)展學(xué)生的模型思想，激活學(xué)生的思維，提高學(xué)生解決問題的能力[1]。

解決分?jǐn)?shù)乘法問題是建立在分?jǐn)?shù)意義的基礎(chǔ)上。因此，其模型是：“一個(gè)數(shù)×幾分之幾=這個(gè)數(shù)的幾分之幾對(duì)應(yīng)多少”。

例如：一根繩子長(zhǎng)20米，剪去 ，剪去多少米？

在這個(gè)問題中，單位“1”是這根繩子的總長(zhǎng)度20米，求剪去多少米就是求20米的 是多少。其模型是“繩子的總長(zhǎng)度× =剪去的米數(shù)”。

正確運(yùn)用這個(gè)模型，我們既可以幫助學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題的解題方法，又可以提高學(xué)生的解題能力。

又如上述第五道例題：一本故事書240頁(yè)，小玲第一天看了全書的 ，第二天看了全書的 。①小玲兩天一共看了多少頁(yè)？②第二天比第一天多看多少頁(yè)？①求小玲兩天一共看了多少頁(yè)就是求全書的 和全書的 共多少，其模型是“全書× +全書× =兩天共看的頁(yè)數(shù)”。同理求②第二天比第一天多看多少頁(yè)，模型就是“全書× -全書× =第二天比第一天多看的頁(yè)數(shù)”。

由此可見，分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題的教學(xué)，需引導(dǎo)學(xué)生在分?jǐn)?shù)意義這個(gè)已有的經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上構(gòu)建“一個(gè)數(shù)×幾分之幾=這個(gè)數(shù)的幾分之幾對(duì)應(yīng)數(shù)”數(shù)學(xué)模型，需培養(yǎng)學(xué)生理解、運(yùn)用模型的能力，從而促進(jìn)學(xué)生能力的提升。

分?jǐn)?shù)除法解決問題是建立在學(xué)生會(huì)用分?jǐn)?shù)乘法解決問題的基礎(chǔ)上的，因此我們同樣可以利用乘法模型去解答分?jǐn)?shù)除法問題。又如上述第四道例題：有一袋大米，第一周吃了35%，第二周吃了15%，第一周比第二周多吃了45千克，這袋大米一共有多少千克？

教學(xué)中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型：第一周吃大米的重量-第二周吃大米的重量=多吃的重量，即：大米的35%-大米的15%=多吃的45千克，有了這個(gè)模型，學(xué)生設(shè)未知數(shù)，列方程解答就行了。

對(duì)于稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題，我們同樣可以引導(dǎo)學(xué)生在初步建立模型思想的基礎(chǔ)上，舉一反三、觸類旁通。實(shí)踐證明，經(jīng)常讓學(xué)生運(yùn)用這種建模思想解決問題，學(xué)生就能在解題的過程中不斷積累經(jīng)驗(yàn)，掌握解題技巧及解題方法，學(xué)生的能力也會(huì)不斷提升。

4.引導(dǎo)學(xué)生歸納特性，轉(zhuǎn)換思路，提高能力

面對(duì)難度較大的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)題目具有的普遍特征進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，將題目自身的特征找出來，依托不同的思路從不同的角度進(jìn)行分析、解答。而在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解答過程中，單位“1”能否準(zhǔn)確確定是最為關(guān)鍵的內(nèi)容點(diǎn)[2]。

如上述第六道例題：修路隊(duì)修一條長(zhǎng)2400米的公路，第一周修了全長(zhǎng)的15%，第二周修了余下的 ，還剩多少米沒有修？

對(duì)于此題，我們要引導(dǎo)學(xué)生分析題目的關(guān)鍵句（分率句），通過分析讓學(xué)生明確：第一周修了全長(zhǎng)的15%，是以公路的全長(zhǎng)為單位“1”;第二周修了剩余長(zhǎng)度的 ，單位“1”已變?yōu)槭Ｓ喙返拈L(zhǎng)度，由于單位“1”都不同，因此必須進(jìn)行轉(zhuǎn)化，所以應(yīng)該把“修了余下的 ”轉(zhuǎn)化為整條公路的（1-15%）× 。讓學(xué)生通過觀察、分析，及時(shí)歸納題目特點(diǎn)，理清解題思路，促使他們掌握合理轉(zhuǎn)化及分析思路，提升審題和發(fā)散思維能力，從而不斷提升解題能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]李文福.建立數(shù)學(xué)模型，提高解決問題的能力——分?jǐn)?shù)除法“解決問題”案例[J].小學(xué)教學(xué)參考，2014（11）.

[2]韋元愛.小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題有效教學(xué)策略之我見[J].科學(xué)中國(guó)人，2017（11）.

作者簡(jiǎn)介：謝淑雯（1976—），女，廣東廣州人，小學(xué)數(shù)學(xué)高級(jí)教師，本科。