概率統(tǒng)計(jì)經(jīng)典題突破

編者的話：“經(jīng)典題突破方法”欄目里的例、習(xí)題選自名校模擬題或三年高考真題，推出本欄目的主要目的是讓同學(xué)們更好地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)解題思想方法，通過多解多變培養(yǎng)同學(xué)們多思多想的好習(xí)慣。學(xué)會(huì)解題反思，無(wú)疑是同學(xué)們學(xué)習(xí)的一條捷徑，愿同學(xué)們不斷地在反思中進(jìn)步，在反思中收獲！本期特約河南省項(xiàng)城市第一高級(jí)中學(xué)的張慧敏、韓維崢兩位老師為同學(xué)們解讀相關(guān)知識(shí)。愿同學(xué)們通過閱讀，能從中感悟知識(shí)的結(jié)構(gòu)與拓展，把握第19題、第20題的命題特點(diǎn)與趨勢(shì)。

高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中的概率統(tǒng)計(jì)是大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，起著承上啟下的作用。高考對(duì)概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的考查主要是古典概型、幾何概型、統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)與方法。大題偏向于對(duì)統(tǒng)計(jì)知識(shí)、數(shù)據(jù)分析處理能力的考查。

一、經(jīng)典題突破

例1 為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）。根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N（μ，σ2）。

（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件數(shù)，求P（X≥1）及X的數(shù)學(xué)期望。

（2）-天內(nèi)抽檢的零件中.如果出現(xiàn)了尺寸在（μ- 3σ，μ+3σ）之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查。

①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法的合理性。

②下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：

9.95 10.1 9.96 9.96 10.0 9.92 9.98 10.010.2 9.91 10.13 10.0 9.22 10.0 10.0 9.95

2.考點(diǎn)定位與考查意圖。

本題考查了統(tǒng)計(jì)學(xué)在生產(chǎn)實(shí)踐中的應(yīng)用，根據(jù)抽樣統(tǒng)計(jì)，進(jìn)行樣本數(shù)據(jù)分析，反映了利用科學(xué)的方法搜集、整理、分析和提供關(guān)于社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象、某些特定事物發(fā)展規(guī)律的數(shù)學(xué)思想，著重考查數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力，以及應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力?？疾檎龖B(tài)分布、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)、對(duì)立事件、隨機(jī)變量的概率與數(shù)學(xué)期望。概率統(tǒng)計(jì)重視實(shí)際應(yīng)用是考查的重點(diǎn)，學(xué)生可以從解題過程中認(rèn)識(shí)到統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)在生產(chǎn)與生活中所起的作用。通過對(duì)問題的解決，給學(xué)生展示了問題的提出、模型的建立、數(shù)據(jù)的整理與分析、統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)的應(yīng)用，從而形成應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)指導(dǎo)社會(huì)實(shí)踐的意識(shí)，提高學(xué)生的綜合實(shí)踐能力。

3.錯(cuò)誤原因。

概率統(tǒng)計(jì)中基本概念較多，理解不到位，文字閱讀量偏大，數(shù)據(jù)的信息點(diǎn)多，計(jì)算量偏大，對(duì)于學(xué)生的運(yùn)算能力要求較高，概率統(tǒng)計(jì)解答題的實(shí)際背景新穎，對(duì)閱讀理解、推理分析、數(shù)據(jù)運(yùn)算的要求較高，因此難度較大。

4.復(fù)習(xí)建議。

重視考綱考點(diǎn)的變化，高考全國(guó)卷中的概率統(tǒng)計(jì)解答題一直都比較重視數(shù)學(xué)應(yīng)用，側(cè)重于統(tǒng)計(jì)思想、數(shù)據(jù)分析與處理、結(jié)合生活實(shí)際的決策性問題，突出應(yīng)用意識(shí)。

重視基本概念的梳理，概率與統(tǒng)計(jì)中的基本概念眾多，在復(fù)習(xí)備考過程中引導(dǎo)學(xué)生回歸教材，對(duì)教材中的基本概念進(jìn)行梳理。

重視基本原理的研究，高考全國(guó)卷中的概率統(tǒng)計(jì)解答題重點(diǎn)考查統(tǒng)計(jì)與概率的基礎(chǔ)知識(shí)、基本原理和基本方法，所以我們要加強(qiáng)對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的學(xué)習(xí)與研究。

例2某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：億元）的折線圖如圖1所示。

為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型。根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1，2，…，17）建立模型①：y=-30.4+13. 5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1，2，…，7）建立模型②：y=99+17. 5t。

（I）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值。

（Ⅱ）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由。

1.解答提示。

（工）利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為y=一 30.4+13.5×19=226.1（億元）。

利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為y=一99+17.5×9=256.5（億元）。

（Ⅱ）利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠。

理由如下：

（1）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線v-- 30.4十13.5t的上方和下方。這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)。2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此，利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠。

（2）從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理。說明利用模型②得到的預(yù)測(cè)值更可靠。

2.考點(diǎn)定位與考查意圖。

通過建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題是高考考試要求的重要內(nèi)容。特別是伴隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，人們常常需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)、文本、聲音、圖像等大量信息進(jìn)行數(shù)字化處理，使數(shù)學(xué)模型的研究領(lǐng)域與應(yīng)用領(lǐng)域得到極大拓展，特別是隨著統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的增加，為學(xué)生的數(shù)學(xué)建模提供了知識(shí)儲(chǔ)備和解題工具。在對(duì)其考查時(shí)，可以從模型建立、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷确矫嬖O(shè)置問題。在對(duì)數(shù)學(xué)建?？疾闀r(shí)，更為注重根據(jù)題干中的精確數(shù)據(jù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力，淡化對(duì)數(shù)據(jù)的分析和處理，試題以環(huán)境投資為背景，首先給出了環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的折線圖，旨在考查學(xué)生通過折線圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的能力。該題重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)模型建立的選擇，試題的設(shè)計(jì)有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，學(xué)生領(lǐng)會(huì)到統(tǒng)計(jì)與概率的思想方法在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，形成自覺應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)指導(dǎo)社會(huì)實(shí)踐的意識(shí)，提高學(xué)生的綜合實(shí)踐能力。數(shù)學(xué)模型是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的一種有效的工具。

3.錯(cuò)誤原因。

不重視數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)應(yīng)用，數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)比較淡漠，不注重與實(shí)際的結(jié)合，難以對(duì)現(xiàn)實(shí)問題中的有用數(shù)據(jù)進(jìn)行處理與模型構(gòu)建。沒有計(jì)算的耐心和準(zhǔn)確度。

4.復(fù)習(xí)建議。

教材是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、形成基本技能的“藍(lán)本”，是高考試題的重要知識(shí)載體。縱觀新課程卷中的概率統(tǒng)計(jì)試題，大多數(shù)試題源于教材，特別是客觀題都是從課本上的練習(xí)題或習(xí)題改編的，即使是綜合題.也是由教材例、習(xí)題的組合、加工和拓展而成，充分表現(xiàn)出教材的基礎(chǔ)作用。復(fù)習(xí)階段必須按《教學(xué)大綱》和《考試說明》對(duì)本部分內(nèi)容的要求，以課本的例、習(xí)題為素材，深入淺出、舉一反三地加以類比、延伸和拓展，在“變式”上下功夫，力求對(duì)教材內(nèi)容融會(huì)貫通。

重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，數(shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)的精髓，歷來(lái)是高考數(shù)學(xué)考查的重中之重。它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中。在概率統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，概率統(tǒng)計(jì)為人們處理現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)信息，分析、把握隨機(jī)事件，提供了強(qiáng)有力的工具（計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率、求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差），也更加豐富、完善了中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)一步拓寬了知識(shí)的應(yīng)用空間。

重視概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用功能，由于新課程強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ)性、現(xiàn)實(shí)性、大眾性，重視素質(zhì)教育與高考的兼容性，概率統(tǒng)計(jì)在社會(huì)現(xiàn)實(shí)中具有很高的應(yīng)用價(jià)值。在復(fù)習(xí)中要關(guān)注生活背景、社會(huì)現(xiàn)實(shí)、經(jīng)濟(jì)建設(shè)、科技發(fā)展等各個(gè)方面，并從中提煉出具有社會(huì)價(jià)值的數(shù)學(xué)應(yīng)用背景。應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生善于從普通語(yǔ)言中捕捉信息，將普通語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力，使學(xué)生能以數(shù)學(xué)語(yǔ)言為工具進(jìn)行數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)交流。

二、跟蹤練習(xí)

例3 某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)，繪制了圖2所示的折線圖。根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）。

A.月接待游客逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7、8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn)

解析：由折線圖可知，8月份以后的月接待游客量減少，A錯(cuò)誤;年接待游客量逐年增加，B正確;各年的月接待游客量高峰期大致在7、8月份，C正確;各年1月至6月的月接待游客量波動(dòng)性小，變化比較平穩(wěn)，D正確。故選A。

例5某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品。檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件進(jìn)行檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)。設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（O

（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點(diǎn)P0。

（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p。作為p的值。已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用。

①若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求E（X）;

②以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)？

分析：本題以企業(yè)在銷售過程中的成本控制問題為背景，著眼于“最小化成本”的決策問題，綜合考查了概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)。