概率與統(tǒng)計(jì)易錯(cuò)題歸類剖析

編者的話：同學(xué)們在學(xué)習(xí)的過程中，難免會出現(xiàn)錯(cuò)解的現(xiàn)象。本期“易錯(cuò)題歸類剖析”欄目推出的文章，注重剖析錯(cuò)解原因，注重補(bǔ)充知識缺陷，注重題目引申變換，希望同學(xué)們認(rèn)真領(lǐng)會，學(xué)以致用，不再發(fā)生類似的錯(cuò)解。本期特約河南省項(xiàng)城市第一高級中學(xué)的于建偉、尚曉琳兩位老師為同學(xué)們解讀相關(guān)知識。愿同學(xué)們通過閱讀，能從中感悟知識的結(jié)構(gòu)與拓展，把握第19題、第20題的命題特點(diǎn)與趨勢。

概率統(tǒng)計(jì)板塊題型繁多，方法豐富，稍不注意，就會出錯(cuò)，本文選取了部分同學(xué)易出錯(cuò)的地方進(jìn)行辨析，以饗讀者。

一、運(yùn)用兩個(gè)基本原理時(shí)分步分類不全出錯(cuò)

例1 已知集合A=B={1，2，3，4，5，6，7），映射f：A→B滿足f（1）

A.C1A3

B.C7

C.77

D.C47 3

錯(cuò)解：因?yàn)閺S（1）

錯(cuò)因分析：C4中的任何一種方法都沒有完成組成映射這件事情，因?yàn)橹徽业?，2，3，4的象，而5，6，7的象還沒有確定。

解答提示：由映射的定義知f（1），f（2），f（3），f（4）的值應(yīng)為{1，2，3，4，5，6，7）中的某4個(gè)，又，（1）

例2 現(xiàn)有8人進(jìn)行乒乓球單打比賽，水平高的總能勝水平低的，欲選出水平最高的兩人，則至少需要比賽的場數(shù)為______。（用數(shù)字作答）

錯(cuò)解：每兩人之間比賽一場，需要比賽C8=28（場），填28場?；虻谝惠喎殖?對進(jìn)行比賽，負(fù)者被淘汰，勝者進(jìn)入第二輪，需4場比賽;第二輪分成2對進(jìn)行比賽，勝者為水平最高的兩人，需2場比賽。所以至少需要比賽6場，填6場。

錯(cuò)因分析：前一種解法的錯(cuò)誤是沒有看清題意，對“至少”一詞沒有理解好;后一種解法的錯(cuò)誤是沒有選出水平最高的兩人，錯(cuò)誤地認(rèn)為這種淘汰賽最后的兩人就是水平最高的兩人，實(shí)際上第二名有可能在第一輪或第二輪就被第一名淘汰了。

解答提示：先將8人分成4對進(jìn)行比賽，勝者進(jìn)入第二輪，需要4場比賽，將進(jìn)入第二輪的4人分成2對進(jìn)行比賽，勝者進(jìn)入第三輪，需要2場比賽，進(jìn)入第三輪的2人進(jìn)行比賽，勝者為第一名，需1場比賽;將第一輪、第二輪、第三輪被第一名淘汰的選手共3人決m第一名，需2場比賽。所以至少需要4+2+1+2=9（場）比賽。

復(fù)習(xí)建議：兩個(gè)基本原理是學(xué)習(xí)排列、組合的重要基礎(chǔ)，解決兩個(gè)原理的應(yīng)用問題，首先要明確所完成的事情是什么，然后再分析每一種做法事情是否完成，從而區(qū)分分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理。運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理時(shí)，要恰當(dāng)分類，做到既不重復(fù)，又不遺漏;運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理時(shí)，關(guān)鍵是分好步，需要分析要分幾步才能完成。一個(gè)比較復(fù)雜的問題一般遵循先分類后分步的解題步驟，平時(shí)應(yīng)注意養(yǎng)成一題從多角度來解的習(xí)慣。

二、計(jì)數(shù)時(shí)不能準(zhǔn)確把握題意出錯(cuò)

例3 用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是——。

錯(cuò)解：將兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字排好有A2種方法，有三個(gè)空當(dāng)，由于O不能在首位，所以偶數(shù)數(shù)字的排法有2A2種，所以不同的五位數(shù)有2A2.A2 =8（個(gè)）。

錯(cuò)因分析：對相鄰問題的一般解法不熟悉，錯(cuò)解中的8個(gè)是符合題意的，但只是其中一種情況，遺漏了其他情況。

解答提示：分兩種情況：（l）若O夾在兩個(gè)奇數(shù)之間，將這三個(gè)數(shù)字看成一個(gè)整體與剩下的兩個(gè)偶數(shù)一起排列有A2種，考慮到1與3可以互換位置所以這種情況有A2.A2 =12（個(gè)）;（2）若2，4中一個(gè)夾在兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間，同上面的想法，共有Cl.Cl.A2· A2=16（個(gè)）。所以滿足條件的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是12+16=28（個(gè)）。

三、二項(xiàng)式定理公式的運(yùn)用出錯(cuò)

復(fù)習(xí)建議：二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求二項(xiàng)式展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)通常從通項(xiàng)公式人手，所以對通項(xiàng)的理解、記憶和應(yīng)用是重點(diǎn)。二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式，對待恒等式通常有兩種思路：一是利用恒等的多項(xiàng)式對應(yīng)的系數(shù)相等;二是賦值。事實(shí)上，二項(xiàng)式定理結(jié)合“恒等”與“賦值”兩條思路可以使很多求二項(xiàng)式展開式的系數(shù)的問題迎刃而解，近幾年高考對二項(xiàng)式定理的考查一般為選擇、填空題，我們在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)有主動應(yīng)用二項(xiàng)式定理解題的意識。

四、古典概型基本事件的理解出錯(cuò)

例5某人有5把鑰匙，其中有l(wèi)把可以打開房門，但忘記了開門的是哪一把，于是他逐把不重復(fù)地試開，那么恰好第3次打開房門的概率是

五、獨(dú)立事件概念的理解出錯(cuò)

例6 甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測試，至少答對2題才算合格。

（1）分別求甲、乙兩人考試合格的概率;

（2）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率。

錯(cuò)因分析：相互獨(dú)立事件的概念理解錯(cuò)誤，只有當(dāng)事件A發(fā)生與否對事件B沒有任何影響時(shí)，才能說A與B相互獨(dú)立。而錯(cuò)解中，“答對第一題”這個(gè)事件發(fā)生與不發(fā)生對“答對第二題”這個(gè)事件有影響。所以它們之間不獨(dú)立。

解答提示：（l）設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，那么對于A：基本事件總數(shù)為C10，而考試合格的可能有：①答對2題，共C6C4;②答對3題，共C3。

復(fù)習(xí)建議：對于等可能性事件的概率，一定要注意分子分母算法要一致，如分母考慮了順序，則分子也應(yīng)考慮順序;將一個(gè)較復(fù)雜的事件進(jìn)行分解時(shí)，一定要注意各事件之間是否互斥，還要注意有無考慮全面;有時(shí)正面情況較多，應(yīng)考慮利用公式P （A）=1 -P（A）;對于A、B是否獨(dú)立，應(yīng)充分利用相互獨(dú)立的定義，只有A、B相互獨(dú)立，才能利用公式P（A · B）=P（A） · P（B）。還應(yīng)注意獨(dú)立與互斥的區(qū)別，不要把兩者弄混淆。

六、在幾何概型中“測度”確定不準(zhǔn)出錯(cuò)

例7 如圖1所示，在等腰Rt△ABC中，過直角頂點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部任意作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AM

七、隨機(jī)變量取值出錯(cuò)

例8 盒子中有大小相同的球10個(gè)，其中標(biāo)號為1的球3個(gè)，標(biāo)號為2的球4個(gè)，標(biāo)號為5的球3個(gè)。第一次從盒子中任取1個(gè)球，放回后第二次再任取1個(gè)球（假設(shè)取到每個(gè)球的可能性都相同）。記第一次與第二次取出的球的標(biāo)號之和為亭。

（1）求隨機(jī)變量ξ的分布列;

（2）求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望。

錯(cuò)解：（l）依題意，ξ的取值是3，6，7，它們所對應(yīng)的概率分別為0. 24，0.18，0.24，故隨機(jī)變量ξ的分布列如表l：

錯(cuò)因分析：隨機(jī)變量ξ的取值不正確，當(dāng)然伴隨著概率之和也不等于1，由于兩次可能取到相同標(biāo)號的球，所以隨機(jī)變量ξ的取值應(yīng)為2，3，4，6，7，10。

解答提示：（1）由題意可得，隨機(jī)變量ξ的取值是2，3，4，6，7，lO。因?yàn)镻（ξ=2）一0.3×0.3=0. 09，P（ξ=3）=2×0.3×0.4=0. 24，P （ξ=4）=0.4×0.4=0.16，P （ξ=6）=2×0.3×0.3-0.18，P（ξ=7）=2×0.4×0. 3=0. 24，P（ξ=10）=0.3×0.3=0.09。故隨機(jī)變量ξ的分布列如表2：

（2）隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）=2×0. 09+3×0.24+4×0.16+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2。

復(fù)習(xí)建議：離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差是概率統(tǒng)計(jì)的重點(diǎn)內(nèi)容。求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟是：（1）根據(jù)問題實(shí)際找出隨機(jī)變量ξ的所有可能值x_i;（2）求出各個(gè)取值的概率P（ξ=x_i）=P_i;（3）畫出表格，填人相應(yīng)數(shù)字。其中隨機(jī)變量ξ的取值很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真推敲，對于概率通常利用所有概率之和是否等于1來進(jìn)行檢驗(yàn)。期望與方差的計(jì)算公式，尤其是方差的計(jì)算公式較為復(fù)雜，要在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行記憶。

八、統(tǒng)計(jì)圖表識圖出錯(cuò)

例9 圖3所示的是某公司（共有員工300人）2012年員工年薪情況的頻率分布直方圖，由此可知，員工中年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的大約有

人。

錯(cuò)解：由頻率分布直方圖知，員工中年薪在1.4萬元-1.6萬元之間的頻率為1（0.02+0. 08+0. 10+0. 10+0.08） =0.62.

所以估計(jì)年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的員工約有300×0. 62 =186（人）。

錯(cuò)因分析：本題主要混淆頻率分布直方圖與條形圖縱軸的意義，頻率分布直方圖中，縱軸（矩形高）表示“頻率/組距”，每個(gè)小矩形的面積才表示落在該區(qū)間上的頻率，由于概念不清，識圖不準(zhǔn)，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。

解答提示：由所給圖形可知，員工中年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的頻率為1（0. 02+0.08+0.08+0.10+0.10）×2 =0. 24。所以員工中年薪在1.4萬元-1.6萬元之間的共有300×0. 24=72（人）。

九、統(tǒng)計(jì)抽樣概念理解出錯(cuò)

例10 樣本總體中有100個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號為0，1，2，…，99，依編號順序平均分成10個(gè)小組，組號依次為1，2，3，…，10，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為10的樣本，規(guī)定：如果在第1組抽取的號碼為m，那么在第k組中抽取的號碼個(gè)位數(shù)字與m+k的個(gè)位數(shù)字相同。若m=6，則在第7組中抽取的號碼是__________。

錯(cuò)解：由于m=6，k=7，因?yàn)閙+k=13，它的個(gè)位數(shù)字是3，所以在第7組中抽取的號碼是73?；蜻@樣解答：由于第1組抽取的為6號，則第2組抽取的為16號，…，第7組抽取的為66號。

錯(cuò)因分析：答案為73的錯(cuò)因是：第7組中個(gè)體的號碼錯(cuò)誤，第7組應(yīng)為61，62，…，69。答案為66的錯(cuò)因是：死套課本上介紹的方法，不管問題實(shí)際。

解答提示：因?yàn)閙=6，k=7，所以m+k=13，它的個(gè)位為3，依題意第7組的號碼為61，62，…，69。所以第7組抽取的號碼應(yīng)為63。

復(fù)習(xí)建議：對于抽樣方法及統(tǒng)計(jì)案例，近幾年高考都有考查，平時(shí)學(xué)習(xí)應(yīng)以基礎(chǔ)知識為主。抽樣方法主要是概念的理解，總體分布的估計(jì)重點(diǎn)是理解統(tǒng)計(jì)圖表的含義，統(tǒng)計(jì)案例重在理解統(tǒng)計(jì)解決問題的思想方法。

（責(zé)任編輯 王福華）