概率統(tǒng)計(jì)創(chuàng)新題型解析

編者的話(huà)：“創(chuàng)新題追根溯源”欄目里的例、習(xí)題都非常新穎，有的是原創(chuàng)題，有的是改編題，每一道題都非常注重多解多變。當(dāng)然，在注重?cái)?shù)學(xué)閱讀的高考大背景下，同學(xué)們還要把握核心考點(diǎn)，擴(kuò)大知識(shí)視野，用扎實(shí)的基本功應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)試題的萬(wàn)千變化。本期特約河南省項(xiàng)城市第一高級(jí)中學(xué)的胡德軍、王璞兩位老師為同學(xué)們解讀相關(guān)知識(shí)。愿同學(xué)們通過(guò)閱讀，能從中感悟知識(shí)的結(jié)構(gòu)與拓展，把握第19題、第20題的命題特點(diǎn)與趨勢(shì)。

概率統(tǒng)計(jì)是實(shí)施新課標(biāo)之后高考變化較大的一個(gè)模塊，經(jīng)過(guò)對(duì)近幾年高考試題的觀察分析，不難發(fā)現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)試題一般在新穎化、生活化的情境中，結(jié)合數(shù)學(xué)文化、社會(huì)熱點(diǎn)，選取一些貼近生活的素材，考查學(xué)生提取信息、分析數(shù)據(jù)、解決問(wèn)題的能力，以體現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用價(jià)值。下面選取近年來(lái)各類(lèi)數(shù)學(xué)考試中與概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)的創(chuàng)新試題進(jìn)行分析。

一、概率與數(shù)學(xué)文化結(jié)合

例l 古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用窮竭法建立了這樣的結(jié)論：“任何由直線和拋物線所包圍的弓形，其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四?！比鐖D1，已知直線x=2交拋物線y²=4x于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在y軸上的射影分別為D，C。從長(zhǎng)方形ABCD中任取一點(diǎn)，根據(jù)阿基米德這一理論，則該點(diǎn)位于陰影部分的概率為（ ）。

A.1/2 B.1/3 C.2/3 D.2/5

點(diǎn)評(píng)：以數(shù)學(xué)文化為問(wèn)題背景，考查幾何概型是本題的一大亮點(diǎn)，整道題目打破以往常見(jiàn)的幾何概型模式思維，借助于古代數(shù)學(xué)知識(shí)直接解題，顯得新穎別致。

二、概率與社會(huì)熱點(diǎn)交叉

例2 PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱(chēng)為可入肺顆粒物。根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB3095-2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下，空氣質(zhì)量為一級(jí);在35微克/立方米～75微克/立方米之間，空氣質(zhì)量為二級(jí);在75微克/立方米以上，空氣質(zhì)量為超標(biāo)。從某自然保護(hù)區(qū)2017年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如表1所示：

（l）從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，求恰有1天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率;

（2）從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列;

（3）以這10天的PM2.5日均值來(lái)估計(jì)一年的空氣質(zhì)量情況，求一年（按365天計(jì)算）中平均有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)（精確到整數(shù)）。

點(diǎn)評(píng)：本題把隨機(jī)變量的分布列與統(tǒng)計(jì)結(jié)合在一起進(jìn)行考查，注重社會(huì)現(xiàn)實(shí)，體現(xiàn)時(shí)代精神，試題選擇體現(xiàn)社會(huì)熱點(diǎn)，主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求解，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確判斷概率模型，求解相應(yīng)的概率。

例3隨著節(jié)能減排意識(shí)深入人心，以及共享單車(chē)的大范圍推廣，越來(lái)越多的市民在出行時(shí)喜歡選擇騎行共享單車(chē)。為了研究廣大市民在共享單車(chē)上的使用情況，某公司在我市隨機(jī)抽取了100名用戶(hù)進(jìn)行調(diào)查，得到表3中的數(shù)據(jù)：

（1）如果認(rèn)為每周使用超過(guò)3次的用戶(hù)為“喜歡騎行共享單車(chē)”，請(qǐng)完成2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0. 05的前提下，認(rèn)為是否“喜歡騎行共享單車(chē)”與性別有關(guān)。

（2）每周騎行共享單車(chē)6次及6次以上的用戶(hù)稱(chēng)為“騎行達(dá)人”，視頻率為概率，在我市所有“騎行達(dá)人”中，隨機(jī)抽取4名用戶(hù)。

①求抽取的4名用戶(hù)中，既有男“騎行達(dá)人”，又有女“騎行達(dá)人”的概率;

②為了鼓勵(lì)女性用戶(hù)使用共享單車(chē)，對(duì)抽出的女“騎行達(dá)人”每人獎(jiǎng)勵(lì)500元，記獎(jiǎng)勵(lì)總金額為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。

點(diǎn)評(píng)：二項(xiàng)分布是一種常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布模型，利用二項(xiàng)分布可以快速地求出隨機(jī)變量的分布列，從而簡(jiǎn)化了求解過(guò)程。而利用二項(xiàng)分布解決問(wèn)題的關(guān)鍵是建立二項(xiàng)分布模型，也是看它是否滿(mǎn)足n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量是否為這個(gè)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)。

三、概率與生產(chǎn)生活牽手

例4 菜農(nóng)定期使用低害殺蟲(chóng)農(nóng)藥對(duì)蔬菜進(jìn)行噴灑，以防止害蟲(chóng)的危害，但采集上市時(shí)蔬菜上仍有少量的殘留農(nóng)藥，食用時(shí)需要用清水清洗干凈，表8是用清水x（單位：千克）清洗該蔬菜1千克后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥y（單位：微克）的統(tǒng)計(jì)表。

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問(wèn)題。解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)所給數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，必要的時(shí)候還需要先進(jìn)行變換，把非線性回歸問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題進(jìn)行分析，這種題型在前幾年高考中有所涉及。

（責(zé)任編輯 王福華）