隱形圓中定角定高破解中考?jí)狠S面積最值（探照燈模型）

楊格瑞

摘 要：在三角形中，如果這個(gè)三角形的一個(gè)角確定，由這個(gè)角的頂點(diǎn)向?qū)呉拇咕€即高也確定，則此時(shí)這個(gè)三角形面積會(huì)存在最小值。如右圖1，直線BC外一點(diǎn)A，A到直線BC距離AD為定值（定高），∠BAC為定角。則BC有最小值。ΔABC的面積由BC決定，BC有最小值，所以ΔABC的面積有最小值。像探照燈一樣所以也叫探照燈模型。這就是“隱形圓”中重要的定角定高模型，定角定高模型主要解決面積最小問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：定角定角;隱形圓;面積最小;數(shù)學(xué)建模

定角定高問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題，也是中考考查的重點(diǎn)。所以近年來(lái)，各大名校的?？碱}中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“隱形圓”中“定角定高”求最值的問(wèn)題。如2019年陜西省西安市西工大附中一模壓軸25題。此類(lèi)問(wèn)題綜合性強(qiáng)，常常會(huì)與三角形，四邊形進(jìn)行結(jié)合起來(lái)，隱蔽性強(qiáng)，大多數(shù)學(xué)生不容易想到，加上部分題目的計(jì)算量大，就很容易造成學(xué)生的丟分。很多學(xué)生面對(duì)定角定高求最值問(wèn)題時(shí)往往無(wú)從下手，其實(shí)是他們沒(méi)有掌握解決這一問(wèn)題的方法和策略，也就是數(shù)學(xué)模型，基于此，在2018屆和2019屆初三復(fù)習(xí)課中，筆者對(duì)“隱形圓”中“定角定高”模型進(jìn)行潛心研究，旨在探索出解決這類(lèi)問(wèn)題的有效措施，并且應(yīng)用于課堂當(dāng)中，使得學(xué)生在模型中掌握知識(shí)和技能，提高解決問(wèn)題的能力，在中考中得到了很好的應(yīng)用，學(xué)生反映良好。

一、模型建立

我們可以先猜想一下，AD過(guò)圓心的時(shí)候，這個(gè)外接圓是最小的，也就是，BC的長(zhǎng)是最小的，從而三角形ABC的面積也是最小的。（定長(zhǎng)可用圓處理，特別，定長(zhǎng)作為高可用兩條平行線處理）

二、模型證明

四、模型總結(jié)

定角定高問(wèn)題常應(yīng)用于求此三角形底邊長(zhǎng)的最小值，繼而求三角形面積的最小值，問(wèn)題的關(guān)鍵就在作這個(gè)動(dòng)三角形的外接圓，根據(jù)“半徑+弦心距定高”求出半徑的最小值，那底邊存在最小值，面積存在最小值。由于底邊的長(zhǎng)在變化，此外接圓“隱形圓”的大小也會(huì)發(fā)生變化，但是在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中于找到“隱形圓”半徑最小值，找到此處為突破口，建立數(shù)學(xué)模型，綜合性問(wèn)題就迎刃而解?！岸ń嵌ǜ唠[形圓數(shù)學(xué)模型”在初三二輪復(fù)習(xí)時(shí)作為“隱形圓”非常重要的模型，他的價(jià)值在于積累聯(lián)想原型，啟迪解題方向，為隱形圓綜合性問(wèn)題找到更快更準(zhǔn)確的解決方法促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。