以“史”為媒以“數(shù)”育人

薛正檜

數(shù)學(xué)是人類的一種文化，它的思想、內(nèi)容、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分。而數(shù)學(xué)史，就是數(shù)學(xué)文化的發(fā)展史，它是我們對學(xué)生進(jìn)行知識傳承、能力培養(yǎng)和情感熏陶的理想切入口。中科院李文林教授曾說：“數(shù)學(xué)史研究有三重目的，一是為歷史而歷史，二是為數(shù)學(xué)而歷史，三是為教育而歷史。”其中，為教育而歷史，說的就是采用直接（附加式、復(fù)制式）或間接（順應(yīng)式、重構(gòu)式）的方法將各類相關(guān)數(shù)學(xué)史料恰當(dāng)?shù)厍度雽W(xué)生的學(xué)習(xí)之中。

一、從數(shù)學(xué)史中厘清知識的本質(zhì)

個體的知識發(fā)生過程應(yīng)大體符合歷史上人類的知識發(fā)生的過程。在課堂上再現(xiàn)數(shù)學(xué)史，就是把數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中的精彩瞬間移植到課堂上，讓學(xué)生經(jīng)歷某個知識產(chǎn)生、發(fā)展的全過程，引導(dǎo)學(xué)生像歷史中的主角那樣，在實(shí)際問題面前，經(jīng)過艱苦的探索、周密的分析，甚至激烈的爭論，才獲得問題的解決，進(jìn)而創(chuàng)造出新的數(shù)學(xué)概念、規(guī)則和各種規(guī)律。有了數(shù)學(xué)史的介入，學(xué)生便知曉了知識的來龍去脈，就能厘清概念的左右關(guān)聯(lián)，就會把問題看得更透、把知識看得更明。這樣的課堂將更加彰顯學(xué)科的本質(zhì)，科學(xué)意蘊(yùn)由內(nèi)而發(fā)，讓人受益無窮。

【教學(xué)片段1】為x×6編故事

師：在月球上，人能舉起物體的質(zhì)量是地球上的6倍。我們用“x”表示人在地球上能舉起物體的質(zhì)量，“x×6”就表示人在月球上能舉起的質(zhì)量。（上述為教材中例2教學(xué)內(nèi)容的總結(jié)）

師：下面我們就用“x×6”來編故事。老師先示范一下，（掂一掂學(xué)生的數(shù)學(xué)書）如果x表示一本數(shù)學(xué)書的重量，那么x×6就是——

生：6本數(shù)學(xué)書的重量。

師：哪位同學(xué)接著編？

生 ：如果x表示這支鉛筆的重量，那么x×6就表示6支鉛筆的重量。

生 ：x表示一本數(shù)學(xué)書的封面面積，x×6就是6本數(shù)學(xué)書的封面面積。

……

師：能說完嗎？

眾：不能！

師：對，只要兩個量之間是“6倍”關(guān)系，都被概括在“x×6”里了。

從算術(shù)到代數(shù)，是人類認(rèn)識的一次飛躍。數(shù)學(xué)史告訴我們：完成從算術(shù)到代數(shù)這一步跨越的，不是方程，而是用字母表示數(shù)。這便要對數(shù)的概念進(jìn)行擴(kuò)展，即由“確定”向“不確定”過渡，由“一個”向“一類”遞進(jìn)，由“數(shù)量”向“關(guān)系”轉(zhuǎn)變。筆者教了多年的“用字母表示數(shù)”，一直以為只有三個教學(xué)要點(diǎn)：①用字母既可以表示已知數(shù)，又可以表示未知數(shù);②用字母或含有字母的式子既可以表示一個數(shù)，又可以表示一組數(shù);③用字母或含有字母的式子既可以表示數(shù)量，又可以表示數(shù)量之間的關(guān)系。教學(xué)時只需把握以上三點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷了符號化的過程，獲得了體驗(yàn)，相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)自然就建好了。但事實(shí)證明，筆者想得太簡單了，以致迷失了方向。如果學(xué)生僅僅知道“x表示人在地球上能舉起物體的質(zhì)量，x×6就表示人在月球上能舉起的質(zhì)量”（筆者以前只教到這），這才到歷史上丟番圖的水平，雖然有字母表示數(shù)這個“形式”，但它本質(zhì)是“替代”，對應(yīng)到代數(shù)的核心（方程）中來看，那僅是“一題一解”。讓學(xué)生繼續(xù)用不同的情境給x×6編故事，是在擴(kuò)充感性材料?！爸灰獌蓚€量之間是‘6倍關(guān)系的，都被概括在‘x×6里了”則表明了知識的實(shí)質(zhì)。原來我們謀求的是“一類問題”的“統(tǒng)一解法”，現(xiàn)在則是將人的認(rèn)識上升到更高的理性水平，抽象、不斷地抽象，這才是代數(shù)的本質(zhì)。

二、從數(shù)學(xué)史中明確教學(xué)的序列

教學(xué)設(shè)計(jì)要有學(xué)科的視角，也要有兒童的視角。有了學(xué)科視角的保障，教師的教才不會偏離方向;有了兒童視角的護(hù)航，學(xué)生的學(xué)才會真正發(fā)生。而數(shù)學(xué)史視角，它既能通覽學(xué)科知識的全貌，又能預(yù)見兒童學(xué)習(xí)的歷程，兼顧了學(xué)科視角及兒童視角。因?yàn)閭€體對數(shù)學(xué)知識的理解過程，一般遵循人類數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，所以學(xué)習(xí)者通過回溯歷史上知識演進(jìn)的主要步驟，可以獲得最有效的成長。

【教學(xué)片段2】推選“代數(shù)之父”

師：在歷史上，人們最初接觸的都是確定的數(shù)，對于確定的數(shù)都用數(shù)字來表示，數(shù)量和數(shù)量之間的關(guān)系基本是用表示數(shù)字的符號或文字來表達(dá)。比如每個重量×6、每個價錢×6、每班人數(shù)×6。這個時期的典型代表人物是數(shù)學(xué)家花拉子密，這種表示的方法我們稱之為“文辭”。（板書：文辭）

師：但用文字表達(dá)太煩瑣，公元250年左右，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖想到了“縮寫”，這樣就簡便多了。（板書：→縮寫）

師：仿照丟番圖的方法，“每個重量×6”，取“重”發(fā)音的第一個字母“z”，“每個重量×6”就可以縮寫成“z×6”。那么“每個價錢×6”就縮寫成——（j×6）。

師：“每班人數(shù)×6”就表示成——（r×6）。

師：按丟番圖的方法，每個字母都表示特定的意思，z×6和j×6是不能混同起來的。到了16世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)想，如果把各類情境中特定的意思都去掉的話，不都是一個數(shù)和6相乘嗎？用x表示一個數(shù)的話，這種關(guān)系就可以全部表示成x×6了。你們說，這種方法好嗎？（好）

師：這里的x還是特定的意思嗎？（不是）

師：對，這里的字母已經(jīng)不表示任何一種具體的意義了，它只是一個符號而已（板書：→符號）。自從韋達(dá)把字母當(dāng)作符號來表示數(shù)之后，許多數(shù)學(xué)難題得到了解決，數(shù)學(xué)獲得了飛速的發(fā)展。同學(xué)們，如果讓我們來評選“代數(shù)之父”，你想把這票投給誰？花拉子密、丟番圖，還是韋達(dá)？（韋達(dá)）

研究數(shù)學(xué)史，我們發(fā)現(xiàn)：歷史上從算術(shù)到代數(shù)的跨越，大體經(jīng)歷了三個階段，即以花拉子密為代表的“文辭代數(shù)”，以丟番圖為代表的“縮略代數(shù)”，以韋達(dá)為代表的“符號代數(shù)”，每一個階段都有它突破性的意義。在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展歷史的長河中，我們可以預(yù)見一個新生個體學(xué)習(xí)的大體歷程。從這個意義上講，學(xué)習(xí)過程其實(shí)就是一次對歷史的再現(xiàn)過程，是個體與知識跨越千年的一次對話。歷史會告訴我們一切，我們可以根據(jù)歷史發(fā)生的主要步驟設(shè)計(jì)教學(xué)的“前后次序”，我們可以根據(jù)歷史發(fā)生的主要問題設(shè)計(jì)教學(xué)的“關(guān)鍵問題”，我們可以根據(jù)歷史發(fā)生過程中的主要困難設(shè)計(jì)教學(xué)的“認(rèn)知沖突”，等等。借助“在月球上，人能舉起物體的質(zhì)量是地球上的6倍”這一素材，在“為x×6編故事”環(huán)節(jié)后，恰如其分地鏈接歷史，再現(xiàn)歷史關(guān)鍵時間節(jié)點(diǎn)上關(guān)鍵人物的關(guān)鍵事件，讓學(xué)生對三種不同的表示方法進(jìn)行比較，從而發(fā)現(xiàn)用字母表示數(shù)的真諦。這個過程，是對歷史的重演，也是我們開展教學(xué)的主要環(huán)節(jié)，學(xué)生們喜歡，自然也就有了更多、更深的體會。最后，學(xué)生之所以推選韋達(dá)為代數(shù)之父，正是因?yàn)樗麄兛吹搅隧f達(dá)的高明之處。而此時，學(xué)生們的代數(shù)思想真正地開始生根、發(fā)芽。當(dāng)然，作為在課堂上讓學(xué)生經(jīng)歷的歷史，不應(yīng)該也不可能完全再現(xiàn)它的實(shí)際發(fā)展過程，而應(yīng)該根據(jù)課程的目標(biāo)有所選擇、有所組織，要壓縮冗長、無關(guān)緊要的歷史階段，高效地引導(dǎo)學(xué)生接受數(shù)學(xué)史的洗禮。

（作者單位：浙江省寧波濱海國際合作學(xué)校 ? ?本專輯責(zé)任編輯：王彬）