巧添“隱形圓”解決初中“幾何最值與路徑”問題

摘 要：幾何最值與路徑問題能較好地考查同學(xué)們的幾何探究與推理能力及數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。有些立意新穎、構(gòu)思巧妙的中考題目，將圓隱藏在已知條件里，隱晦地考查圓的有關(guān)知識。解題時，需要通過分析探索，發(fā)現(xiàn)這些隱圓，做到圖中無圓，心中有圓。

關(guān)鍵詞：幾何最值;隱形圓;定邊對定角;定點(diǎn)定長;夾角定位;圓的定義;動點(diǎn)軌跡

初中幾何中的最值問題是指在一定的條件下，求平面幾何圖形中某個確定的量（如線段長度、角度大小、圖形面積）等的最大值或最小值。在近幾年各地中考中，幾何最值與路徑問題屢屢受到命題者關(guān)注，一批立意新穎、構(gòu)造巧妙的新題、活題脫穎而出。此類問題不僅涉及平面幾何的基礎(chǔ)知識，還涉及幾何圖形的性質(zhì)、平面直角坐標(biāo)系、方程與不等式、函數(shù)知識等，能很好地考查同學(xué)們的幾何探究、推理能力及數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。本文結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐與這幾年的中考題談?wù)劤踔袔缀巍芭c動點(diǎn)有關(guān)的幾何最值與路徑”問題的求解策略。

一、 幾何最值的理論依據(jù)與基本模型

求解幾何最值的基本依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間線段最短。②垂線段最短。③在三角形中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。求幾何最值問題的基本方法有：特殊位置與極端位置法;幾何定理（公理）法;數(shù)形結(jié)合法等。與圓有關(guān)的常用模型如下：

模型1：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，直線PO分別交⊙O于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，則線段PA的長是點(diǎn)P到⊙O的最短距離，線段PB的長是點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最長距離。

理由：在過點(diǎn)P另做直線交⊙O于點(diǎn)A′、B′，則有PA=PO-OA=PO-OA′PB′（三角形兩邊之和大于第三邊）。

模型2：如圖2，當(dāng)點(diǎn)P是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，直線PO分別交⊙O于點(diǎn)A、B，則線段PA的長是點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最短距離，線段PB的是點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最長距離。

理由：在⊙O另取不同于點(diǎn)A、B的點(diǎn)A′、B′，則有PA=OA-OP=OA′-POPB′（三角形兩邊之和大于第三邊）。

模型3：定邊對定角

已知點(diǎn)A、點(diǎn)B是定點(diǎn)，平面內(nèi)的動點(diǎn)P滿足∠APB=n°（n為定角），根據(jù)“經(jīng)過不在同一條直線的三個點(diǎn)有且只有一個圓”可知動點(diǎn)P的運(yùn)動路徑是圓弧。當(dāng)0°<n<90°時，可知點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是以AB為弦的一段優(yōu)弧APB（A、B兩點(diǎn)除外），如圖3;而當(dāng)180°>n>90°時，可知點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡是以AB為弦的一段劣弧AB（A、B兩點(diǎn)除外），如圖4;而當(dāng)n=90°時，點(diǎn)P在以AB為直徑的圓弧上，“定邊對直角”是“定邊對定角”的特例，如圖5。

注：這是動點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡僅做出了弦AB一側(cè)的情形，由對稱性可知，AB的另一側(cè)還存在一條弧滿足條件。

以上的三種模型，屬于單動點(diǎn)問題。在運(yùn)動過程中動點(diǎn)的運(yùn)動路徑圓（或圓?。┎⒉恢苯咏o出，此時需要根據(jù)條件把“隱圓”勾畫出來，具體來說“隱圓”一般有如下呈現(xiàn)方式：①定點(diǎn)定長;②定弦定角;③圓的定義。如何確定“隱形圓”的圓心與半徑呢？下面結(jié)合各地近幾年的中考熱點(diǎn)考題進(jìn)一步說明如何利用“隱形圓”巧妙解題。

二、 走進(jìn)中考，提升思維

（一） 定邊對定角：確定動點(diǎn)的位置在確定的圓弧上，再求線段長度的最值

【例1】 （泉州七中2019屆中考模擬試題）如圖6，∠MON=45°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在OM、ON上運(yùn)動，若AB=2，BC=1，則OC的最大值是。

分析：如圖7，假設(shè)矩形ABCD不動，讓點(diǎn)O運(yùn)動。作以AB為斜邊的等腰直角三角形△APB，由AB=2，∠APB=90°，知PA=PB=2，此時圓角角∠AOB=45°，所以動點(diǎn)O在⊙P上運(yùn)動，OP=AP=2。當(dāng)O、P、C三點(diǎn)共線時，OC有最大值=OP+PC=2+5（由∠PBC=135°，PB=2，BC=1，可求出PC=5）。

點(diǎn)評：本題的解題很有技巧，把動矩形化為動圓，而定點(diǎn)O在圓上，再用圓與三角函數(shù)的知識求線段長。

利用“定邊對定角”模型解題的關(guān)鍵是：首先要有“動中找靜”求動點(diǎn)的軌跡的意識，在目標(biāo)動點(diǎn)處看看是否存在定角。若存在，再尋找該定角是否有相對的定邊，一旦兩者都具有，就自然會產(chǎn)生“圓弧型”路徑，然后找其圓心，定其半徑，求其弧長或最值即可。

（二） 圓的定義法：到定點(diǎn)的距離為定長的所有動點(diǎn)在確定的圓上，再解決路徑長度

在初中階段，動點(diǎn)的路徑常見有三類：直線型路徑、圓弧形路徑、來回型路徑。求動點(diǎn)的路徑長的問題，關(guān)鍵是先分析路徑的形狀。

1. 直線型路徑

【例2】 （2017江蘇揚(yáng)州）已知正方形ABCD的邊長是4，點(diǎn)P是AB邊上的一個動點(diǎn)，連結(jié)CP，過點(diǎn)P作PC的垂線交AD于點(diǎn)E，以PE為邊作正方形PEFG，頂點(diǎn)G在線段PC上，對角線EG、PF相交于點(diǎn)O。當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)B的運(yùn)動時，求點(diǎn)O經(jīng)過的路徑長。

分析：（1）法一：如圖8，Rt△APE的外接圓是以斜為PE為直徑的⊙M，連結(jié)OM、AM。正方形EFGH中，∠EOP=90°，則有OM=12PE=AM，所以點(diǎn)O一定在△APE的外接圓上。易知∠1=∠2=45°，所以動點(diǎn)O以必在直線AC上運(yùn)動，再找臨界點(diǎn)可知：點(diǎn)O的起點(diǎn)位置是點(diǎn)A，點(diǎn)O的終止位置是點(diǎn)線段AC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)O經(jīng)過的路徑長=12AC=22。

法二（雙垂直法）：如圖9，過O作OH⊥AB于點(diǎn)H，過O作OK⊥AD于點(diǎn)K，易證明△OHP≌△OKE（AAS），所以O(shè)H=OK，根據(jù)“到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的角平分線上”，所以O(shè)A平分∠BAD，即點(diǎn)O在AC上運(yùn)動。剩下同法一可求出。

點(diǎn)評：本題中“用夾角定位法”，可知動點(diǎn)O的路徑是直線型?！坝脢A角定位法”確定動點(diǎn)路徑的一般步驟是：①找定點(diǎn)，一般是目標(biāo)動點(diǎn)的起點(diǎn)與終點(diǎn);②連結(jié)目標(biāo)動點(diǎn)和該定點(diǎn)，證明它與某直線的夾角確定;③采用臨界點(diǎn)法，找出動點(diǎn)的起點(diǎn)與終點(diǎn)，求出路徑。

2. 圓弧形路徑

【例3】 （2017年江蘇宿遷）如圖10，在矩形紙片ABCD中，已知AB=1，BC=3，點(diǎn)E在邊CD上移動，連接AE，將多邊形ABCE沿直線AE翻折，得到多邊形AB′C′E，點(diǎn)B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B′、C′。在點(diǎn)E從點(diǎn)C移動到點(diǎn)D的過程中，求點(diǎn)C′運(yùn)動的路徑長。

分析：如圖11，連接AC′，由對稱性知AC′=AC=2，其中點(diǎn)A是定點(diǎn)，所以點(diǎn)C′始終在以點(diǎn)A為圓心，以2為半徑的圓上運(yùn)動。如圖12，易知點(diǎn)C′的起點(diǎn)是點(diǎn)C，終點(diǎn)是點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)C′，此時在Rt△DAC中，∵tan∠DAC=CDAD=33，∴∠DAC=30°，AC=2CD=2，∴∠CAC′=60°，∴CC′的長=60·π·2180=23π。

點(diǎn)評：在初中幾何中全等變換，如折疊、平稱、旋轉(zhuǎn)，經(jīng)常會出現(xiàn)不變量，如邊長不變、角度確定等，這可為尋找圓弧形路徑提供依據(jù)。圖形的各種變換，本質(zhì)上是點(diǎn)的變換，分析問題時，要做到“眼中有點(diǎn)、動中有靜”，如例3只需要關(guān)注點(diǎn)C關(guān)于AE的對稱點(diǎn)C′即可，其他的旁枝末節(jié)可以忽視，這是教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的一種重要的審題與解題能力。

若遇到“來回型路徑”，則需要先定性分析，再定量計算，并且結(jié)合解析幾何、消參數(shù)的技巧，在高中解析幾何中會系統(tǒng)學(xué)習(xí)。本文就不詳細(xì)舉例說明。

三、 小結(jié)與反思

從以上的例題分析中，筆者認(rèn)為有些數(shù)學(xué)問題，將圓隱藏在已知條件里，隱晦地考查圓的有關(guān)知識。解題時，需要我們通過分析探索，發(fā)現(xiàn)這些隱圓，做到圖中無圓，心中有圓，使動點(diǎn)的軌跡一目了然。由于這類問題具有很強(qiáng)的探索性，解題時需要運(yùn)用動態(tài)思維、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般相結(jié)合、邏輯推理與合情想象相結(jié)合等思想方法。在平時的教學(xué)中老師多引導(dǎo)學(xué)生善于從復(fù)雜的幾何圖形中抓住圖形的本質(zhì)特征，抽象出常用的數(shù)學(xué)模型，化繁為簡，化難為易，不斷提升數(shù)學(xué)綜合思維與解題能力。

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作者簡介：

曾立萱，福建省泉州市，福建省泉州七中金山校區(qū)。