奇思·方法·學習
——“三角形內(nèi)角和”教學實錄與思考

□ 任衛(wèi)兵

【教學內(nèi)容】

帕斯卡與“三角形內(nèi)角和”的故事

1.故事導入

帕斯卡（1623—1662）對概率研究做出了很大貢獻。他是法國著名的數(shù)學家、物理學家、哲學家和散文家。

帕斯卡的父親是一位受人尊敬的數(shù)學家，有一天帕斯卡問父親，什么是幾何？父親很簡單地回答說：“幾何就是教人在畫圖時能作出正確又美觀的圖。”于是帕斯卡就拿了粉筆在地上畫起各種圖形來。畫著畫著，12歲的帕斯卡發(fā)現(xiàn)任何一個三角形內(nèi)角和都是180°。

問題一：你知道帕斯卡是怎樣通過長方形的內(nèi)角和推想出其中一個直角三角形的內(nèi)角和的嗎？

長方形的四個角都是直角，長方形的四個角的和一定是360°。把長方形沿對角線一分為二，就變成兩個直角三角形，每個直角三角形的內(nèi)角和就是360°除以2等于180°。因為任意一個直角三角形都可以看作是長方形剪開的，所以任意直角三角形的內(nèi)角和一定是180°（如圖1）。

圖1

問題二：你知道帕斯卡是怎樣通過直角三角形的內(nèi)角和推想出其他三角形的內(nèi)角和的嗎？

任何一個鈍角三角形都可以沿高分為兩個直角三角形，兩個直角三角形的內(nèi)角和180°+180°＝360°，而其中有兩個直角拼在一起成了一條直線，所以真正作為鈍角三角形的三個內(nèi)角的和就是360°-90°-90°＝180°。同樣的道理可以說明銳角三角形的內(nèi)角和也是180°（如圖2）。

圖2

2.故事啟迪

思路點睛：求多邊形的內(nèi)角和，就是看這個多邊形最少可以分成幾個三角形，分成了幾個三角形，多邊形的內(nèi)角和就是180°乘幾。

3.故事延伸

古埃及人從鋪地板中發(fā)現(xiàn)，三角形三內(nèi)角和為一平角（即180°）。在圖3中，繞一頂點的六個角，合起來一共是一周角（即360°），因此正三角形三內(nèi)角和為一平角。這雖只是特例，但卻是進一步發(fā)現(xiàn)真理的契機。

圖3

利用旋轉鉛筆的實驗，也可得出三角形三內(nèi)角和為一平角的結論（如圖4）。

圖4

【課堂實錄】

一、用故事豐富學生思想

師：回憶一下，我們是怎樣研究三角形的內(nèi)角和的？

生：我們是用量、拼、折等方法，來驗證三角形的內(nèi)角和是180°的。

師：300多年前，有一個名叫帕斯卡的法國男孩獨自發(fā)現(xiàn)了任何一個三角形的內(nèi)角和都是兩直角。

課件播放帕斯卡發(fā)現(xiàn)“三角形內(nèi)角和”的故事。

教師出示問題1和問題2，請學生先獨立思考，再在小組內(nèi)交流，最后進行全班匯報。

生：因為任何兩個完全一樣的直角三角形都可以拼成一個長方形，長方形的內(nèi)角和是360°（4個直角），每個直角三角形的內(nèi)角和就是180°（2個直角）。

生：兩個直角三角形中所有銳角的和是180°（2個直角），那么一個直角三角形中兩個銳角的和就是90°（一個直角），再加上一個直角，所以直角三角形的內(nèi)角和是兩個直角，即180°。

生：鈍角三角形可分成兩個直角三角形，兩個直角三角形的內(nèi)角和是360°（180°×2），其中兩個直角正好拼成一個平角，所以鈍角三角形的內(nèi)角和是360°-180°＝180°。

生：不管是鈍角三角形還是銳角三角形，都可以分成兩個直角三角形。因為每個直角三角形的兩個銳角的和都是一個直角，而鈍角三角形或銳角三角形的內(nèi)角和包括兩個直角三角形的所有銳角，所以無論是哪種三角形的內(nèi)角和都是兩個直角，也就是180°。

師：為什么要把兩個直角三角形拼成長方形，要把鈍角（或銳角）三角形分成兩個直角三角形呢？

生：這是把未知的知識轉化成已經(jīng)知道的知識。

師：把未知轉化成已知，是一種很重要的數(shù)學思想。

師：把任意三角形分成兩個直角三角形，兩個直角三角形是6個角，而任意三角形是3個角。這6個角和3個角一樣嗎？

生：從圖中就可以看得很清楚，這6個角中有2個角拼成了大三角形的1個角，還有2個直角拼成了1個平角。

生：也就是說，6個角中有2個直角與大三角形的內(nèi)角沒有關系，剩下的4個角就等于大三角形的3個內(nèi)角。

師：這下我們不僅看清楚，也真正聽清楚、理清楚了。

二、分圖形實現(xiàn)多元表征

師：拿出一張五邊形的紙片，自己想想辦法，求出它的內(nèi)角和，再在小組內(nèi)交流。（學生獨立探索后小組交流）

生：我把五邊形分成了3個三角形，3個三角形的內(nèi)角和相加就是五邊形的內(nèi)角和，是180°×3＝540°。

生：我把五邊形分成了4個三角形，其中有4個角拼成了一個平角，五邊形的內(nèi)角和是180°×4-180°＝540°。

生：我從中間選一點，把五邊形分成了5個三角形，有5個角拼成了一個周角，五邊形的內(nèi)角和是180°×5-360°＝540°。

師：聽了剛才幾位同學的介紹，大家還有什么問題嗎？

生：為什么把五邊形分成的三角形的個數(shù)不同，最后算出的內(nèi)角和還是不變的？

師：好深刻的一個問題?。⊥纼扇擞懻撚懻?。

生：把五邊形分成3個三角形大家都明白。分成4個三角形，因為有4個角拼成的一個180°的角在一條邊上，不包含在五邊形的內(nèi)角和中，所以五邊形的內(nèi)角和等于4個三角形的內(nèi)角和減去一個180°的角，也就是3個三角形的內(nèi)角和。

生：我來解釋一下，把五邊形分成5個三角形，因為中間5個角拼成的一個360°的角也不包含在五邊形的內(nèi)角和中，所以五邊形的內(nèi)角和等于5個三角形的內(nèi)角和減去一個360°的角，還是等于3個三角形的內(nèi)角和。

師：誰還有不一樣的想法？

生：我們可以用乘法分配律來說明。分成4個三角形，五邊形的內(nèi)角和＝180°×4-180°＝180°×（4-1）＝180°×3……

師：我要打斷你一下，用這樣的方法，分成5個三角形，五邊形的內(nèi)角和——（根據(jù)學生回答，完成板書：五邊形的內(nèi)角和＝180°×5-360°＝180°×5-180°×2＝180°×（5-2）＝180°×3。）

師：看來，要求多邊形的內(nèi)角和，“分”是一種好辦法。把五邊形分成三角形，最少分幾個？怎么分？

生：最少分3個。只要從一個頂點出發(fā)，另外連兩條線，就可以分成3個三角形了。

師：如果是六邊形、十邊形、一百邊形呢？

生：六邊形最少可以分成4個三角形，十邊形最少可以分成8個三角形。

生：一百邊形最少可以分成98個三角形。

師：把多邊形分成三角形的個數(shù)究竟和什么有關呢？這其中有什么規(guī)律？

生：分成的三角形的個數(shù)和連線條數(shù)有關。

生：我認為和邊的條數(shù)有關。

生：我覺得和多邊形的頂點個數(shù)有關。

師：其實大家的想法都很有道理。從一個頂點出發(fā)，連線的數(shù)量總比三角形的個數(shù)少1。另外，多邊形邊的數(shù)量和頂點的個數(shù)也是相同的，它們與連線數(shù)的差也是不變的。這其中的規(guī)律，就留給大家今后去揭示吧……

三、借實驗感悟數(shù)學原理

師：關于三角形的內(nèi)角和，有人曾做過這樣一個實驗（課件播放實驗視頻，見圖4）。

師：請大家在紙上任意畫一個三角形，根據(jù)剛才的實驗步驟，動手做一做。

生：我發(fā)現(xiàn)以三個頂點為中心，按順時針方向旋轉，最后鉛筆正好換了一個方向。

生：按逆時針方向也可以。

師：關于“三角形的內(nèi)角和”，還有哪些不同的推理方法呢？到時候把你的故事和大家一起來分享吧！

【教學思考】

一、好的故事具有更新、豐富認知系統(tǒng)的功能

關于“三角形的內(nèi)角和”，現(xiàn)有教材多采用量、拼或折的方法，盡管這些方法比較適合學生的年齡特點，但思維含量不高。上述案例中以“帕斯卡與三角形內(nèi)角和”的故事引入，一下激起學生的探究欲望。通過方法引領、自主推想、質疑問難、補充完善，學生的數(shù)學思考、理性思維得到了“恣意”的生長。同時，透過故事，還能從中感悟到“轉化”的數(shù)學思想。學生發(fā)現(xiàn)，無論是三角形內(nèi)角和的規(guī)律，還是平面圖形的面積推導，它們都是建立在“轉化”這一數(shù)學思想基礎上的，而這種數(shù)學思想統(tǒng)領下的知識建構，是一種高觀點下的知識建構。

二、好的教學一定是多元的、發(fā)散的

受帕斯卡與三角形內(nèi)角和故事的啟發(fā)，在獨立探究五邊形內(nèi)角和的問題時，學生自然會嘗試、遷移這一數(shù)學思想方法。在把五邊形分成三角形時，由于給足了學生探究的空間，學生得以盡情地去思考、去研究、去表達。其中有從一個頂點出發(fā)來分的，有從邊上一點出發(fā)來分的，也有從圖形中間一點出發(fā)來分的。多元的方法，拓寬了學生的思路，發(fā)散了學生的思維，激活了學生強烈的問題意識——“為什么把五邊形分成的三角形的個數(shù)不同，最后算出的內(nèi)角和還是不變的？”“把多邊形分成三角形的個數(shù)究竟和什么有關呢？”學生努力調用已有的知識、經(jīng)驗，用獨具個性的表達詮釋自己的理解與思考。這樣的學習體驗是深刻的、彌足珍貴的，浸潤于這樣的數(shù)學學習環(huán)境中，學生的思考力、表達力、創(chuàng)造力必然會潛滋暗長。

三、好的學習需要找到一種“似曾相識”的感覺

課中，教師借助旋轉鉛筆的實驗，讓學生感悟數(shù)學的“簡約”與“神奇”，并使這一數(shù)學“意象”固著在學生的頭腦中。隨著學生已有知識、經(jīng)驗的增多，借助某一契機，他們會猛然發(fā)現(xiàn)原先的“旋轉鉛筆”的實驗與“過三角形一頂點作對邊平行線”的方法有著一種內(nèi)在的、本質的聯(lián)系。先前固著在學生頭腦中的已有“意象”與新的“對象”發(fā)生了粘連，進而產(chǎn)生了新的聯(lián)結。這樣的一種“似曾相識”的感覺恰是數(shù)學的迷人之處。