數(shù)史·挑戰(zhàn)·探索
——“奇妙的斐波那契數(shù)列”教學設計與思考

□ 王志南

【課程內容】

奇妙的斐波那契數(shù)列

1.數(shù)史呈現(xiàn)

意大利的數(shù)學家列昂那多·斐波那契（約1175—1250）在《計算之書》中提出了一個有趣的兔子問題：假設一對小兔子要一個月成熟，一對成熟兔子每月會生一對小兔子。那么，由一對小兔子開始，12個月后會有多少對兔子？

讓我們來推算一下在第6個月結束時兔子的總數(shù)。

第1個月：只有1對小兔子；

第2個月：1對小兔子長成1對大兔子；

第3個月：這對兔子生了1對小兔子，這時共有2對兔子；

第4個月：老兔子又生了1對小兔子，而上個月出生的兔子剛成熟，這時共有3對兔子；

第5個月：這時已有2對兔子可以生殖，于是生了2對小兔子，這時共有5對兔子；

第6個月：這時已有3對兔子可以生殖，于是生了3對小兔子，這時共有8對兔子；

第7個月：……

2.關系探究

我們可以用列表的方法逐月記錄兔子的繁殖情況，你能把下面的表格填寫完整嗎？

表1 1-12月兔子繁殖情況

到第12個月時有大兔子_對，小兔子_對，共有兔子__+__= __對。

觀察上表，你發(fā)現(xiàn)每月小兔對數(shù)與什么有關？每月大兔對數(shù)與哪些數(shù)量有關？

每月兔子對數(shù)依次排成一列為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……此數(shù)列被稱為斐波那契數(shù)列。如此繼續(xù)下去，是否要一直這樣麻煩地記錄下去呢？不妨讓我們仔細尋找一下這些數(shù)字之間的關系吧！請把你的發(fā)現(xiàn)寫出來。

3.點亮生活

一個樓梯共有10級臺階，規(guī)定每步可以邁1級臺階或2級臺階，從地面到最上面一級臺階，一共可以有多少種不同的走法？

列表試試看吧！

表2 10級臺階的不同走法列表

思考：

有5級臺階時：若第一次邁1級臺階，還剩4級臺階，有幾種走法？

若第一次邁2級臺階，還剩3級臺階，有幾種走法？你有什么發(fā)現(xiàn)？

4.規(guī)律延伸

“斐波那契數(shù)列”有什么研究價值呢？這里我們要提到黃金分割。研究發(fā)現(xiàn)，相鄰兩個斐波那契數(shù)的比值是隨序號的增加而逐漸逼近黃金分割比的。

【課堂實錄】

一、故事引入，提出挑戰(zhàn)性問題

師：同學們，王老師最近看到一則關于兔子的新聞，說的是澳大利亞兔子泛濫成災，讓我們一起去看一看。（播放視頻）

師：同學們，如果用數(shù)學的眼光去看這則新聞，你知道了什么？

生：兔子的繁殖能力特別強。

師：是的，看了新聞中的數(shù)據(jù)，我們或許更為震撼！

出示文字：1859年，一些農場主將幾只野兔從英國帶到澳大利亞，作為休閑狩獵的獵物。由于沒有鷹、狐貍等天敵，兔子在這里迅速繁殖。70年后，這里的兔子的數(shù)量達到了驚人的100億只。

師：早在1202年，意大利數(shù)學家斐波那契就在《計算之書》中研究過兔子問題，今天我們就隨著斐波那契的腳步一起來研究！

課件出示：如果一對剛出生的小兔子一個月后就能長成大兔子，再過一個月便能生下一對小兔子。并且此后每個月都能生一對小兔子，一年內沒有發(fā)生死亡。那么由一對剛出生的兔子開始，到第12個月會有多少對兔子呢？

師：同學們讀懂了嗎？

師：你是怎樣理解第一句話的？

生：一對小兔子到第2個月就長成了大兔子，要到第3個月才能生出一對小兔子。

師：一對小兔子下個月就能生小兔子嗎？

生：不是，小兔子必須長成大兔子后下一個月才會生出小兔子。

師：對“此后每個月都能生一對小兔，一年內沒有發(fā)生死亡”這句話怎樣理解？

生：所有的小兔子長成大兔子后，每個月都能生下一對小兔子，而且不管是小兔子還是大兔子，都能健康成長，沒有死亡。

師：是呀！新出生的小兔子到第3個月又可以生小兔子，它們生下的小兔子到第3個月又可以生小兔子?！瑢W們，你們能告訴我到第12個月，到底有多少對兔子嗎？

生：太難了。

師：我國古代的思想家老子說過這樣一句話：“天下難事，必作于易?！本褪钦f遇到難度很大的問題時，我們應該從其中簡單的事物入手，探索發(fā)現(xiàn)它的規(guī)律，然后運用這個規(guī)律來解決這一難題?。ò鍟簭暮唵蔚南肫穑?/p>

師：現(xiàn)在，我們就用這個法寶嘗試著解決問題吧！大家認為開始從第幾個月研究比較好呢？

生：從第1個月開始。

二、分層探究，初探兔子數(shù)增長的規(guī)律

探究活動一：從一對小兔子開始，到第4個月時，一共有多少對兔子呢？你能用自己的方法表示出兔子從第1個月到第4個月的對數(shù)變化情況嗎？

師：同學們準備怎樣表示一對兔子呢？

生：可以用文字表示，一對小兔子寫“小”，一對大兔子寫“大”。

生：可以用一個三角形表示一對小兔子，用一個圓表示一對大兔子。

師：在這里，為了研究的方便，我們統(tǒng)一用一個三角形表示一對小兔子，用一個圓圈表示一對大兔子。接下來，請同學們獨立研究這個問題吧！

（學生探究，教師巡視指導）

學生匯報研究結果。

生：我是這樣表示的（如圖1）。

圖1

生：我不同意他的看法，到第4個月時，小兔子會長成大兔子，同時原來的大兔子還會再生一對小兔子。我是這樣畫的（如圖2）。

圖2

師：說得真好，這兒的大兔子每個月都會生一對小兔子。

探究活動二：到第7個月時，一共有多少對兔子呢？你能接著剛才的研究表示出兔子從第1個月到第7個月的對數(shù)變化情況嗎？（畫好后在圖的下方標上兔子的總對數(shù)）

師：請大家邊畫邊思考兩個問題：每一個月大兔子的對數(shù)與上個月的什么數(shù)量有關？每一個月小兔子的對數(shù)與上個月的什么數(shù)量有關？

學生匯報展示。

生：我是這樣表示兔子對數(shù)變化的（如圖3）。

圖3

師：真厲害！大家發(fā)現(xiàn)每個月大兔子的數(shù)量和什么有關了嗎？每一個月小兔子的對數(shù)和什么有關？

生：我發(fā)現(xiàn)第5個月的大兔子數(shù)等于第4個月的兔子總對數(shù)，第5個月的小兔子對數(shù)等于第4個月的大兔子對數(shù)，所以它們之間的關系可以用這樣的示意圖來表示（如圖4）。

圖4

師：說得真好！到第7個月一共有多少對兔子？（板書畫△、○，填寫對數(shù)）

師：要想知道第12個月共有多少對兔子，該怎么辦？有沒有更巧妙的方法呢？

生：我們可以根據(jù)兔子總數(shù)中的規(guī)律，計算得出答案。

師：為了讓規(guī)律更明確，請同學們同桌合作，完成探究活動三。

探究活動三：在表格中將1到12月的兔子數(shù)列舉出來。（板書：列表）

出示表1，學生活動。

師：現(xiàn)在看出兔子數(shù)變化的規(guī)律了嗎？你能接著推算出8到12月兔子的對數(shù)嗎？

師：大家非常能干，都推算出了答案，和剛才自己猜想的結果對比一下，一樣嗎？

生：相差得很多，我原來猜想只有50對，讓我感到很震撼。

師：意大利數(shù)學家斐波那契發(fā)現(xiàn)了這個有趣的數(shù)列，所以這個數(shù)列就以他的名字命名，叫作斐波那契數(shù)列（揭示課題）。誰能用自己的話說說什么樣的數(shù)列叫作斐波那契數(shù)列？

生：數(shù)列中的數(shù)等于與它相鄰的前兩個數(shù)的和。

師：我們一起來看看數(shù)學家總結的規(guī)律：一個數(shù)列，如果從第三項起，每一項都是前兩項之和，我們把這樣的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列。

三、深度探究，再探斐波那契數(shù)列之奧秘

師：斐波那契數(shù)列還有怎樣的神奇之處呢？

1.奧秘探索一

探究內容：相鄰的兩個斐波那契數(shù)，如果用前一項除以后一項，它的商大約是多少？它們的商有怎樣的規(guī)律？（除不盡的得數(shù)保留三位小數(shù)）

探究要求：

（1）借助計算器，同桌兩人合作進行研究，將計算出的得數(shù)填寫在研究記錄中。

（2）說一說：研究中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

（3）從斐波那契數(shù)列中選兩個較大（后面）的相鄰數(shù)，它們的商還符合這樣的規(guī)律嗎？

學生交流：

生：我發(fā)現(xiàn)，相鄰的兩個斐波那契數(shù)，如果用前一項除以后一項，它的商大約是0.618。

師：是一開始商就約等于0.618嗎？

生：不是，它們的商的近似值是越來越接近0.618這個數(shù)的。

師：如果選兩個較大的相鄰斐波那契數(shù)，它們的商還符合這樣的規(guī)律嗎？

生：符合。

師：我們發(fā)現(xiàn)，從第三項開始，前后兩個數(shù)的商越來越接近一個數(shù)0.618，這個數(shù)叫作黃金分割數(shù)?？磥恚巢瞧鯏?shù)列與黃金比值有關系！

2.奧秘探索二

（1）寫出下面幾個斐波那契數(shù)的平方。

（2）探究提示（同桌合作進行探究）。

探究內容：

將第1個、第2個、第3個斐波那契數(shù)的平方數(shù)相加，和是多少？再繼續(xù)加一個呢？你能發(fā)現(xiàn)所得的和中隱藏的斐波那契數(shù)嗎？

展示交流：

師：誰來說說你的發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn) 12+12+22＝2×3，12+12+22+32＝3×5……這里的斐波那契數(shù)的平方相加的和等于兩個相鄰斐波那契數(shù)的乘積。

師：真厲害！那同學們知道為什么12+12+22+32+52+82＝8×13嗎？

3.數(shù)形結合，揭示規(guī)律

師：我們可以借助畫圖來思考?？梢韵犬嬕粋€邊長1厘米的正方形，它的面積表示為12，再畫一個邊長1厘米的正方形，它的面積還是12，再畫一個邊長2厘米的正方形，它的面積是22，接著畫一個邊長3厘米的正方形，面積用32來表示。接下來怎么畫？

生：接著畫邊長5厘米和邊長8厘米的正方形。

師：同學們請仔細觀察，這些小正方形拼起來的大長方形的面積可以怎樣表示？

生：12+12+22+32+52+82。

師：再仔細觀察大長方形，你還發(fā)現(xiàn)什么？

生：大長方形的長是13厘米，寬是8厘米，所以長方形的面積還可以用8×13來計算。

師：現(xiàn)在大家明白為什么12+12+22+32+52+82=8×13嗎？

生（齊答）：明白了。

師：大多數(shù)植物的花，其花瓣數(shù)都恰好是斐波那契數(shù)。例如，蘭花、茉莉花、百合花有3個花瓣，毛茛屬的植物有5個花瓣，翠雀屬植物有8個花瓣，萬壽菊屬植物有13個花瓣，紫菀屬植物有21個花瓣，雛菊屬植物有34，55或89個花瓣。所以斐波那契數(shù)列又被稱為“大自然的密碼”“上帝的指紋”！斐波那契數(shù)列的更多奧秘有待于我們去思考、去探索。

【教后反思】

斐波那契數(shù)列是人教版六年級數(shù)學教材中“比的認識”部分的補充內容，大部分教師在教學時將其作為一個課外拓展故事進行簡要介紹，不會引導學生對斐波那契數(shù)列進行探究。事實上，這一教學素材可以充分地引導學生進行自主探究和數(shù)學思考，運用多種解題策略綜合性地解決問題，是教學黃金分割比的有益補充，學生在探索過程中可以體驗到數(shù)學的神奇。

那么，怎樣挖掘斐波那契數(shù)列中所蘊含的數(shù)學教學價值呢？

一、挑戰(zhàn)性問題驅動，引領學生走向數(shù)學深度學習

斐波那契數(shù)列非常奇妙，如果教師引導學生進行開放性的探究，學生則會在探索中發(fā)現(xiàn)其中的奧妙。這里的“奧妙”不僅是數(shù)學規(guī)律，更著眼于在探究中思考為什么存在這樣的規(guī)律，引領學生走向數(shù)學深度學習。

數(shù)學深度學習是以知識深度加工、意義建構和深度思維為主要特征，以理解、應用、分析、推理、綜合、評價、創(chuàng)造等高層次認知活動為主要內容的學習活動。就“斐波那契數(shù)列”一課的教學而言，教學目標不能僅僅局限于發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學規(guī)律，更在于在探索數(shù)學規(guī)律的過程中，綜合運用多種數(shù)學方法展開“全景式”的數(shù)學探究活動，培養(yǎng)和激發(fā)學生的數(shù)學探究精神。

二、分層探究，助力學生自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律

教學時，教師分三個層次引領學生進行自主探究：一是探究兔子從第1個月到第4個月的對數(shù)變化情況，意在引導學生“從簡單想起”，同時促進學生對“一對剛出生的小兔子1個月后就能長成大兔子，再過1個月便能生下一對小兔子”“此后大兔子每個月都能生一對小兔子”等題意的理解。二是探究兔子從第1個月到第7個月的對數(shù)變化情況，并啟發(fā)學生思考，每個月大兔子的對數(shù)與上個月的什么數(shù)量有關？每個月小兔子的對數(shù)與上個月的什么數(shù)量有關？三是引導學生依據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，將1到12月的兔子數(shù)用表格表示出來，讓學生真正地理解兔子繁殖問題中數(shù)量之間的關聯(lián)，有利于學生自主發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學規(guī)律。同時，畫圖、列表等多種策略的運用，有利于培養(yǎng)學生綜合運用多種策略解決問題的能力。

三、“結構化”探究，帶領學生體驗數(shù)學之妙

斐波那契數(shù)列之奇妙，不僅僅在于樹木的枝丫、向日葵的花瓣中，更在于斐波那契數(shù)列本身所蘊含的數(shù)學規(guī)律中。例如教學中，一是引導學生從第三項起，探索相鄰的兩個斐波那契數(shù)的商的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)其比值接近黃金分割比；二是讓學生探索斐波那契數(shù)的平方和的規(guī)律，由此引發(fā)學生思考：為什么12+12+22+32+52+82＝8×13，數(shù)形結合的精彩演繹讓學生恍然大悟，驚嘆不已?！敖Y構化”的再探究，使學生發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列更為豐富、深刻的數(shù)學規(guī)律，體驗到數(shù)學的奇妙和魅力。