估算中的替換及其判斷標準

□ 郜舒竹

美國著名作家海明威（Ernest Miller Hemingway，1899—1961）在小說《一天的等待》（A Day’s Wait）中，講述了一個父親和兒子的故事。兒子生病發(fā)燒至華氏102度，曾經(jīng)在法國生活學習的兒子誤認為自己即將死亡，因此一天都郁郁寡歡，等待死亡的來臨。根源就在于兒子所熟悉的攝氏溫度度量（Centigrade），與美國通用的華氏溫度度量（Fahrenheit）相混淆。而父親并不知道這一點，想盡辦法讓兒子開心，但都不能如愿，所有故事情節(jié)因此而展開[1]。

攝氏溫度度量是將冰點規(guī)定為0度，沸點規(guī)定為100度。而華氏溫度是將冰點規(guī)定為32度，沸點規(guī)定為212度。如果父親一開始就能讓兒子知道二者之間的換算關系，“一天的等待”這個故事也就不會發(fā)生了。

為了研究攝氏溫度與華氏溫度的關系，用字母C和F分別表示攝氏溫度和華氏溫度，兩者的關系可以用圖1表示出來。

圖1 溫度度量示意圖

從圖1不難看出，攝氏100度相當于華氏180度，或者攝氏1度相當于華氏1.8度。如果已知華氏溫度，可以用公式C=(F-32)÷1.8求出攝氏溫度。比如故事中的華氏102度，代入公式可以計算出相應的攝氏溫度約為38.89度。

如果已知攝氏溫度，可以用公式F=C×1.8+32求出華氏溫度。比如正常體溫為攝氏36.5度，代入公式可以計算出對應的華氏溫度為97.7度。

現(xiàn)在的問題是，如何在“無紙、無筆”等任何計算工具的情況下，相對準確、快捷地估算出結果？

比如把華氏102度轉換為攝氏溫度，關鍵在于如何估算70÷1.8。容易想到的做法是將1.8替換為2，得到結果是攝氏35度。這個結果不能令人滿意，發(fā)燒時攝氏溫度通常應當大于37度。說明這樣的替換不適用于此時的情境，沒有達成轉換的意愿。此情此景用2替換1.8進行估算是不可行的。

這個結果與38.89非常接近，僅相差0.11，也符合攝氏溫度下發(fā)燒的情境，因此可以說達成了估算的意愿。其中出現(xiàn)了多次替換，最為重要的是將350替換為“360-10”，目的是湊出9的倍數(shù)360，進而可以得到整數(shù)40。另外就是用替換了使得計算簡捷。得到的估算結果攝氏39度基本符合“無須準確、追求簡捷、達成意愿”的估算要求[2]。另外一種估算做法可以是：

這一結果也很接近實際結果的無限循環(huán)小數(shù)38.8?度。其中有兩次替換至關重要，第一次是將5替換為“4.5+0.5”，目的是得到另一次是將用替換。這樣一方面誤差很小，另一方面使得計算簡捷，如果計算出70的是35，那么70的就是3.5。完全可以實現(xiàn)在沒有紙筆等工具的情境下，心算出結果。真正實現(xiàn)“無須準確、追求簡捷、達成意愿”的目的。

下面再來討論從攝氏溫度轉換為華氏溫度的做法。比如前面將攝氏溫度36.5度轉換為華氏溫度，關鍵是如何簡便計算36.5×1.8。

如果將1.8用“2-0.2”替換，那么36.5×1.8就成為36.5×(2-0.2)，計算過程為：

這個過程并不是估算，但想法和估算類似。為了便于心算，將1.8用（2-0.2）替換，其中36.5的2倍容易計算得73，由于0.2是2的，從而立刻知道36.5的0.2倍是73的，也就是7.3。

在計算73-7.3時，利用減法的差不變性質，也就是“被減數(shù)和減數(shù)同時增加或減少相同數(shù)，則差不變”。將被減數(shù)73和減數(shù)7.3同時減少3，那么73-7.3就變?yōu)?0-4.3，二者的差相等，都是65.7。這樣改變的好處是將被減數(shù)變?yōu)檎當?shù)，更容易心算出結果。

綜上，估算和通常的計算，心理需求是不一樣的。通常的計算主觀意愿追求的是準確，在此基礎上盡量簡捷。而估算的主觀意愿是達到情境中的目的，海明威小說《一天的等待》中，如果父親一開始就能說出華氏102度大約等于攝氏38度多，不到攝氏39度，應當是對兒子最好的安慰，此時估算的目的是知道發(fā)燒的程度。

因此，估算做法并沒有對錯之分，只有“行不行”和“好不好”的差別，“行不行”的標準為是否達成意愿，“好不好”的標準為是否簡捷。因此，估算教學不能脫離情境以及情境中人所需要達成的意愿，也就是說，估算教學僅關注做法是不夠的，更要關注想法。