淺談高中階段數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)

摘要：數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基本組成要素之一。數(shù)學(xué)建模搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式。教師應(yīng)在教學(xué)實(shí)踐中不斷探索和總結(jié)培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)的有效教學(xué)策略。本文首先簡(jiǎn)要闡述了高中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)路徑，而后結(jié)合實(shí)例進(jìn)行了具體探討，冀對(duì)一線教師有所助益。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;核心素養(yǎng);高中數(shù)學(xué);新課標(biāo);教學(xué)體會(huì)

核心素養(yǎng)的提出是新一輪高中數(shù)學(xué)課程改革的最大亮點(diǎn)之一，隨著課改不斷深入，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展更成為一線教師的核心教學(xué)指向。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基本組成要素之一。數(shù)學(xué)建模是真正意義上的“學(xué)以致用”的基礎(chǔ)，是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的必由途徑，故而“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)的培養(yǎng)對(duì)學(xué)生的發(fā)展尤其意義非凡。以下擬結(jié)合筆者的探索實(shí)踐及體會(huì)對(duì)此作一簡(jiǎn)要探討，冀對(duì)一線教師有所助益。

一、 建模素養(yǎng)培養(yǎng)路徑

核心素養(yǎng)的實(shí)質(zhì)是“必備品格”和“關(guān)鍵能力”，數(shù)學(xué)知識(shí)和技能在將來(lái)可能會(huì)遺忘，而且有很多可能根本不會(huì)用到，但核心素養(yǎng)則是跟隨學(xué)生一生的東西，它是經(jīng)過(guò)內(nèi)化而形成的隱性的“思想指導(dǎo)”“行動(dòng)指南”，在潛移默化中發(fā)揮重要作用。由此來(lái)看，核心素養(yǎng)的發(fā)展和養(yǎng)成必然是在大量的針對(duì)性訓(xùn)練中實(shí)現(xiàn)，也就是通常所說(shuō)的“量變引起質(zhì)變”，不經(jīng)過(guò)這一關(guān)，所謂核心素養(yǎng)的培養(yǎng)也就淪為空談。當(dāng)然，這期間離不開教師的合理引導(dǎo)和有效點(diǎn)撥。具體到建模素養(yǎng)，按照課標(biāo)中給出的定義，它是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng)。因而建模素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開大量實(shí)際情境的創(chuàng)設(shè)和真實(shí)案例的列舉。具體來(lái)說(shuō)，教師要注重在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷建立數(shù)學(xué)模型并應(yīng)用其解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，使學(xué)生形成深刻體驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的躍遷和升華，這也就代表著學(xué)生真正掌握了數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)。長(zhǎng)此以往，必能在潛移默化中提升學(xué)生的建模素養(yǎng)。

二、 例談建模素養(yǎng)培養(yǎng)

我們常說(shuō)“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又服務(wù)于生活”，從廣義上說(shuō)，所有數(shù)學(xué)知識(shí)都可應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的解決，也就是說(shuō)在學(xué)習(xí)這些知識(shí)時(shí)可以滲透建模素養(yǎng)，只不過(guò)有的知識(shí)與實(shí)際聯(lián)系更緊密，更多地被用于解決一些相關(guān)實(shí)際問(wèn)題。教師要特別關(guān)注這些更具典型性的知識(shí)章節(jié)，在授課中積極落實(shí)建模教學(xué)，即在學(xué)生熟練掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上引入一些典型的實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過(guò)通過(guò)數(shù)學(xué)建模解決問(wèn)題的過(guò)程。下面以指數(shù)函數(shù)為來(lái)進(jìn)行較為具體的探討。

眾所周知，指數(shù)函數(shù)在很多實(shí)際問(wèn)題中有著重要應(yīng)用，其中不乏學(xué)生身邊的一些熱點(diǎn)生活問(wèn)題。例如，某家私立小學(xué)采取這樣的收費(fèi)方式：學(xué)員入學(xué)時(shí)一次性交付費(fèi)用8萬(wàn)元，學(xué)滿六年后8萬(wàn)元全部返還。那么學(xué)校在一個(gè)學(xué)生身上的最高收益是多少？（注：學(xué)校在銀行整存整取的現(xiàn)行利率是：一年期3.25%、二年期3.75%、三年期4.25%、五年期4.75%）

要解決這個(gè)問(wèn)題難度并不大，只需利用指數(shù)函數(shù)建立模型，求出學(xué)?？梢圆扇〉乃写婵罘绞降氖找婕纯?。根據(jù)題意，學(xué)?？梢圆扇〉拇婵罘绞接邪朔N，即6次一年期、4次一年期和1次二年期、3次一年期和1次三年期、2次一年期和2次二年期、1次一年期和1次五年期、1次一年期、1次二年期和1次三年期、3次二年期、2次三年期。下面我們來(lái)看具體的建模及求解過(guò)程。

最簡(jiǎn)單的情況是存一年期，假設(shè)存n次（也就是存n年，在本研究問(wèn)題中n=6），則利息的計(jì)算公式是：本金×（1+利率）n-本金=利息①;如果是一年期存n次，某個(gè)非一年期（可能是二年期、三年期、五年期）存m次（本研究問(wèn)題中m+n=6），則利息的計(jì)算公式是：本金×（1+利率）n（1+利率）m-本金=利息②，顯然，該式本質(zhì)上與①式是一樣的，當(dāng)存款方式包含一年期和其他兩種非一年期時(shí)，仍可基于①式來(lái)求解利息，只不過(guò)略加拓展而已（式中的利率項(xiàng)達(dá)到三個(gè)，其三個(gè)指數(shù)相加即為存款總年數(shù)），這種情況也就是第六種存款方式。由于該例問(wèn)題相對(duì)簡(jiǎn)單，數(shù)學(xué)建模也相對(duì)容易，因而至此實(shí)際上已經(jīng)可以確定該類問(wèn)題的基本數(shù)學(xué)模型即為①式。但出于科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性的考慮，筆者在實(shí)際教學(xué)中還是將第六種存款方式作為特例對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了驗(yàn)證，這種情況下的計(jì)算式為8（1+0.0325）（1+0.0375）2（1+0.0425）3-8，顯然是符合①式的拓展形式的。在此基礎(chǔ)上推而廣之，不包含一年期存款的情況是否亦符合①式呢？如本研究問(wèn)題中的第七種情況和第八種情況，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)推理和計(jì)算驗(yàn)證，答案是肯定的。至此我們可以確定，一定本金存若干年如何獲得最大收益這一實(shí)際問(wèn)題，其基本的數(shù)學(xué)模型即為“本金×（1+利率）n-本金=利息”，在模型的實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，則需要根據(jù)具體情況對(duì)模型加以合理拓展。在建立了上述數(shù)學(xué)模型后，就可以利用該模型表達(dá)式求取每種存款方式所獲得的利息了。結(jié)果如下：

6次一年期：8（1+0.0325）6-8=1.6924;4次一年期和1次二年期：8（1+0.0325）4（1+0.0375）2-8=1.7864;3次一年期和1次三年期：8（1+0.0325）3（1+0.0425）3-8=1.9767;2次一年期和2次二年期：8（1+0.0325）2（1+0.0425）4-8=1.8815;1次一年期和1次五年期：8（1+0.0325）（1+0.0425）5-8=2.4172;1次一年期、1次二年期和1次三年期：8（1+0.0325）（1+0.0375）2（1+0.0425）5-8=1.7864;3次二年期：8（1+0.0375）6-8=1.9774;2次三年期：8（1+0.0425）6-8=2.2694。至此我們就通過(guò)建立指數(shù)模型的方式?jīng)Q定了最后答案，即學(xué)校從一個(gè)學(xué)生身上獲得的最高收益為2.4172元，采取的存款方式是1次一年期和1次五年期。在實(shí)際教學(xué)中，教師要能夠引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷上述建模求解過(guò)程，并使其形成較為深刻的體驗(yàn)。經(jīng)常如此，就能在長(zhǎng)期的潛移默化過(guò)程中逐步培養(yǎng)學(xué)生的建模素養(yǎng)。

綜上所述，本文首先簡(jiǎn)要闡述了高中數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)路徑，而后結(jié)合實(shí)例進(jìn)行了具體探討。數(shù)學(xué)建模搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式。教師應(yīng)在教學(xué)實(shí)踐中不斷探索和總結(jié)培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)的有效教學(xué)策略。本文拋磚引玉，尚盼同仁指教。

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作者簡(jiǎn)介：

魯永軍，陜西省咸陽(yáng)市，陜西省咸陽(yáng)市旬邑縣職教中心。