基于風險偏好的投資組合效用最大化模型研究

孫多好 吳芳 劉剛 吳曉明 張玥

摘要：在投資過程中，風險和收益之間存在著一種權衡，這種權衡是根據(jù)投資者風險偏好的不同而不同，這就要求我們在構建投資組合時應該充分考慮投資者的風險偏好從而達到投資效用最大化。本文通過建立均值—最大熵優(yōu)化模型，將風險因子引入所構建的投資組合模型中，通過調(diào)整風險因子，得到符合投資者風險偏好的投資組合，并通過匯添富消費混合基金的實證研究，驗證了該投資組合效績明顯優(yōu)于市場組合及樣本組合。

Abstract： In the process of investment， there is a trade-off between risk and return. This trade-off varies according to investor's risk preferences， which requires that we should fully consider investor's risk preferences in the construction of portfolio so as to maximize the utility of investment.By establishing the mean-maximum entropy optimization model and introducing the risk factors into the portfolio model， this paper adjusts the risk factors to get the portfolio that meets the investor's risk preferences. The empirical study of the mixed fund of Huitian Rich Consumption verifies that the performance of the portfolio is obviously better than that of the market portfolio and sample portfolio.

關鍵詞：風險;投資組合;均值—最大熵優(yōu)化模型

Key words： risk;portfolio investment;mean-maximum entropy optimization model

中圖分類號：F830.59;F224 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1006-4311（2019）30-0265-04

0 ?引言

構建投資組合的目的是為了對投資風險進行分散化，從而達到既定投資收益下有效降低風險目的。因此，投資組合分散化程度就成為了投資組合效績評價的重要指標。對于投資組合風險分散化程度量化研究，唐順發(fā)[1]將信息熵作為基金風險分散化程度的度量指標，將風險分散化程度進行量化分析。這種方法成為繼下半方差法、VaR[2]等方法之后又一被研究者關注的度量投資組合整體風險的重要方法。

本文利用信息熵構建均值—最大熵優(yōu)化模型對投資組合風險分散化程度進行量化研究，得到投資組合中成分證券的權重，并引入風險因子來反映不同投資者的風險偏好[3]，從而構建出滿足投資者風險偏好且效用最大化的投資組合。通過匯添富消費混合基金的實證分析，對比基于所構建的模型的投資組合與市場組合及樣本組合的效績指標夏普比、貝塔系數(shù)等，驗證了基于本文所提出的模型的投資組合效績在各個指標上都明顯優(yōu)于市場組合及樣本組合。

1 ?模型的建立

1.1 模型的建立

1.1.1 ?主成分分析法概述

主成分分析[4]（principal component analysis）是運用降維的思想將多個自相關的指標進行處理，得到若干攜帶原始變量絕大多數(shù)信息且線性無關的主成分，解決了原數(shù)據(jù)指標之間的信息冗余和自相關問題。本文通過運用主成分分析對樣本基金投資組合的相關指標進行降維處理，獲得消除信息冗余的不相關成分。

1.1.2 均值—最大熵優(yōu)化模型

投資組合的第i（i=1，2，…，n）成分證券收益率ri受各種因素的影響而發(fā)生波動，導致對應的投資權重wi會隨之改變。將二者視為隨機變量，由最大熵原理[5]得到投資組合分散化程度的決策模型為：

（1）

其中H（w）是熵函數(shù)，pi為風險比例，a為最低預期收益。

為了權衡分散化程度和收益率之間的關系，以滿足不同風險偏好投資者的投資習慣要求，將Markowitz的均值—方差模型與均值—最大熵模型結(jié)合，建立收益率均值—最大熵優(yōu)化模型：

（2）

其中Z（w）考慮風險偏好的投資組合的期望收益，θ∈[0，1]為風險厭惡系數(shù)，且θ的不同取值反映了不同投資者的風險偏好?？梢院芮宄目闯鲈撃Ｐ彤敠?0時為均值—最大熵模型，在θ=1時該模型變?yōu)榫怠讲钅Ｐ汀?/p>

1.2 相關指標的選取

1.2.1 市場無風險收益率的確定

無風險利率是指在市場是能夠在不承擔任何損失風險的情況下所獲得的收益。而在市場是任何企業(yè)和個人所發(fā)行的證券都不能保證能夠只賺不賠。而銀行作為國家信用的代表，有著國家的支持，可以認為其所給出的存款收益是無風險的。由于銀行為了吸儲而采用同一時段不同的利率且不同時段不同利率，因此本文選取了較為固定的中國人民銀行一年期定期存款利率作為本文無風險收益率。由于上文中所選取的數(shù)據(jù)時間區(qū)間里的定期一年存款利率沒有變，故給下文的分析帶來了便利。

1.2.2 市場基準組合的確定

我國現(xiàn)階段的開放式基金主要是投資于上海證券交易市場和深圳證券交易市場，而滬深300股票指數(shù)的成分股包含了在這兩個交易市場上絕大多數(shù)的優(yōu)質(zhì)、主流股票。因此，滬深300指數(shù)就成為了兩市的晴雨表和風向標，在大多數(shù)的投資組合和基金業(yè)績評價標準中得到了廣泛地運用。但是如果只用這一個指數(shù)作為評價標準，容易造成偏差，所以本文選用了上證指數(shù)和滬深300指數(shù)來構建基金業(yè)績評價體系的基準組合，得到市場基準組合周平均收益率Rs：

（3）

其中，Rh和Rg分別表示滬深300指數(shù)和上證指數(shù)的周平均收益率。

1.3 風險指標的確定

本文主要通過均值、貝塔系數(shù)、夏普比率來反映相關投資組合的效績。

1.3.1 貝塔系數(shù)[6]β：

（4）

其中R為所構建投資組合收益率，RM為基準組合收益率，σM為基準組合的方差，對于基準組合（市場組合）M來說其β值為1。

該指標能夠表示所構建的投資組合相對于市場投資組合的收益率波動性，對于基準組合來說，它的貝塔系數(shù)為1，即相對于自身而言，基準組合是沒用波動的。而樣本組合的貝塔系數(shù)則一般大于0小于1，這表示相對于基準組合來說樣本組合及優(yōu)化組合收益率波動性的大小。貝塔值越大，說明波動性越大，風險越大;貝塔值越小，風險越小。

1.3.2 夏普比率（SharpRatio）[7]：

夏普比由夏普在Markowitz資本資產(chǎn)定價模型的基礎上，研究資本市場線的前提下提出的。當市場處于均衡時，資本資產(chǎn)定價模型中的資本預期收益可由如下公式表示：

（5）

式中E（Rp）為投資組合預期收益率;rf為市場無風險收益率;E（RM）為市場基準組合預期收益率;σM為市場基準組合的標準差，其表示市場基準組合總體風險的度量;σp為投資組合預期收益率標準差。

（6）

其表示，投資組合每承受一單位總風險，會產(chǎn)生多少的超額報酬。舉例而言，假如國債的回報是3%，而既定投資組合的預期回報是15%，投資組合的標準差為6%，則夏普比率為2，這表示投資者的風險每增加一個單位換來的是2%的多余收益。

2 ?實證分析

2.1 數(shù)據(jù)的選取

我們利用匯添富消費混合基金10只重倉股（表1）2018年6月22日到2019年5月17日，共計46周的周收益率（源于同花順軟件）驗證模型的有效性。

2.2 模型運用

首先對所選取的基金重倉股2018年6月22日到11月30日這23周的周收益率進行主成分分析，得到特征值及每一成分的風險比例，再利用均值—最大熵優(yōu)化模型找到符合最優(yōu)化條件的投資權重wi（i=1，2，…，10）。主成分分析結(jié)果如表2。

從表2我們可以得到，十個指標對應的特征值（左邊第二列），從上到下依次遞減。進而可以獲得每個指標不考慮風險偏好的風險比例（圖1）。

下面在考慮風險偏好的情形下，針對三種風險厭惡系數(shù)取值情況討論各個成分證券的風險分散化程度的分布情況（以下圖中的成分證券是按照投資權重遞減的順序排列的）：

當θ=0時，均值—最大熵優(yōu)化模型就會變成均值—最大熵模型。得到各個成分證券風險比率的分布，風險比例分布情況如圖1。

從圖1可以看出，在最大熵投資組合模型下各成分證券分散化幾乎呈均勻分布，各成分證券風險比例相近，這說明了每個成分證券能夠所攜帶的風險近乎相等，對于它們的分散化程度也是幾乎一致的。

當θ=1時，該模型就轉(zhuǎn)化Markowitz的均值—方差投資組合模型。該模型表示：在能夠承受的最大風險的情況下，獲得盡可能大的收益。與上面的方法相同，對收益率協(xié)方差矩陣作主成分分析，求出特征值和對應特征向量，得到風險比率分布情況如圖2。

該圖顯示，在θ=1時，雖然風險比例集中在第一主成分上，但其余成分所攜帶的風險近乎相等，這說明資產(chǎn)之間的相關性也依然存在。而這種相關性與風險有直接關系，相關性越大，風險越大。

在對第一周期收益率進行主成分分析的基礎上，通過優(yōu)化模型得到θ=0.56時，目標函數(shù)Z（w）取得最大值，同時其風險比率如圖3所示。

從圖中我們可以看到，從第一到第十成分證券的風險比例在遞減，且第一主成分所包含信息量最多?；鸾M合各資產(chǎn)權重如表3所示。

由表3可看出，第一周期期的十大重倉股投資權重由大到小分別為：貴州茅臺、格力電器、五糧液、長春高新、順鑫農(nóng)業(yè)、伊利股份、上海機場、中炬高新、口子窖、中國平安。

為了能夠反映出優(yōu)化組合的效績情況，我們將三種組合的收益、夏普比、方差這三個指標進行了對比（表4），可以看出優(yōu)化模型的優(yōu)勢。

從表4中可以得知，市場標準組合的夏普比和平均收益率明顯要高于樣本組合;而優(yōu)化組合的這兩個指標又低于樣本組合，這說明優(yōu)化組合效績要好于市場標準組合。

再對2018年12月7日到2019年5月17日這23周第二周期的各成分證券收益率進行主成分分析和均值—最大熵優(yōu)化，得到當θ=0.68時期望收益Z（w）取得最大值，得到基金組合各成分證券的權重（表5）。

樣本基金組合、優(yōu)化基金組合和市場基準組合的收益率與風險特征如表6所示。

表6明顯地反映出，優(yōu)化基金組合的期望收益和夏普比仍明顯高于其他兩種組合，但其收益率波動低于其他兩種組合，從而說明優(yōu)化模型在一定程度上能夠減小投資風險。

2.3 總結(jié)

本文選取了匯添富消費混合基金從2018年6月22日到2019年5月17日共計46周兩個周期的周收益率進行實證分析。先通過主成分分析法將所選基金成分證券的每個周期的周收益率進行處理，消除指標之間的信息雜冗，然后再利用均值—最大熵優(yōu)化模型得到基金的優(yōu)化投資組合。最后將優(yōu)化投資組合與樣本基金投資組合以及市場組合的三個風險指標—方差、夏普比、貝塔系數(shù)進行對比得到如下結(jié)論：①從方差來看，通過優(yōu)化模型處理而構建的投資組合方差要小于市場組合，說明優(yōu)化模型能夠?qū)⑼顿Y組合的非系統(tǒng)性風險有效的分散，且比市場組合的分散效果更好。②從夏普比率來看，優(yōu)化組合具有最高的夏普比率，這說明優(yōu)化組合的超額收益較市場組合及樣本組合的收益高。③從貝塔系數(shù)來看，優(yōu)化組合的貝塔系數(shù)也明顯小于市場組合的貝塔系數(shù)，說明優(yōu)化模型的收益率波動性較小，收益穩(wěn)定，風險較其他兩個組合小。④從優(yōu)化投資組合來看，在十只股中投資比重前三依次為貴州茅臺、格力電器及五糧液。

參考文獻：

[1]唐順發(fā).基于主成分分析的我國開放式基金風險分散優(yōu)化應用研究[D].華東交通大學，2018.

[2]連天一.基于VaR方法的證券投資基金風險管理研究[D].遼寧大學，2011.

[3]胡凱，朱澤鋼.前景理論與開放式基金風險調(diào)整研究[J].甘肅理論學刊，2012（04）：123-128，2.

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[6]郭范勇，潘和平.財務因素、市場因素與股票貝塔系數(shù)[J].財會通訊，2017（12）：125-128.

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