陳偉華
【摘要】本文是以基本不等式的教學為例,通過給學生“挖坑”的形式,引導學生“犯錯”,總結(jié)犯錯的原因,從而加深對易錯點的理解,讓學生在犯錯中成長.
【關(guān)鍵詞】犯錯;引導;挖坑
我們教學中常遇到的一個問題:“學生能聽懂課,但不會解題”.如何解決這個問題呢?筆者覺得可以試著給學生“挖坑”,甚至有時候可以“誤導”一下學生,多讓學生犯犯錯,然后在糾正錯誤的過程中獲取知識.筆者以基本不等式的教學為例,闡述這個觀點.
基本不等式 a,b∈R+,a+b≥2ab,當且僅當a=b時取等號.
變式 a,b∈R,ab≤a+b2≤a2+b22,當且僅當a=b時取等號.
使用基本不等式有個常用的口訣:“一正二定三相等”,學生對這個口訣都耳熟能詳,但其實能運用得好的學生并不多.為了使學生們真正地理解這個口訣,并且能很好地運用它,筆者采用的是給學生“挖坑”的辦法,使學生在犯錯中加深對口訣的理解.
例1 已知x>3,求y=x+1x-3的最小值.
解 ∵x>3,∴x-3>0,
∴y=x+1x-3=(x-3)+1x-3+3
≥2(x-3)·1x-3+3=5,
∴y的最小值是5.
變式 (第一個坑)已知x<54,求y=4x-2+14x-5的最大值.
設計這道題的目的是因為許多學生會忽略掉自變量的取值范圍,然后照搬例1的解法,學生易犯錯誤:
∵y=4x-2+14x-5=4x-5+14x-5+3
≥2(4x-5)·14x-5+3=5,
∴y的最小值是5.
解法和例1很類似,但不滿足“一正”,并且也不是最大值,糾正:
∵x<54,∴4x-5<0,∴5-4x>0.
∵(5-4x)+15-4x≥2(5-4x)·15-4x=2,
∴(4x-5)+14x-5≤-2,
∴y=4x-2+14x-5≤1,
∴y的最大值是1.
強調(diào)使用基本不等式,必須是在“一正”的前提之下.
例2 已知y=x2+2x2+1,求y的最小值.
解 ∵y=x2+2x2+1=x2+1+1x2+1=x2+1+1x2+1
≥2x2+1·1x2+1=2,
∴y的最小值是2.
變式 (第二個坑)求y=x2+5x2+4的最小值.
學生易犯錯誤:
∵y=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4
≥2x2+4·1x2+4=2,
∴y的最小值是2.
這種解法忽略了“三相等”,因為只有當x2+4=1x2+4時,也就是x2=-3時才能取到最小值2,但這是做不到的.
正確解答 y=x2+4+1x2+4.
令x2+4=t,y=t+1t(t≥2).
∵y′=1-1t2=t2-1t2>0,
∴函數(shù)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,
∴y≥2+12=52,∴y的最小值為52.
實際上這道題用基本不等式是解不了的,挖這個坑的目的是想告訴學生:使用基本不等式解題必須滿足“一正二定三相等”三要素,缺一不可.
例3 已知a2+b2=1,求a1+b2的最大值.
解 ∵a1+b2≤a2+1+b22=1,
∴a1+b2的最大值為1.
變式 (第四個坑)已知a2+b22=1,求a1+b2的最大值.
學生易犯錯誤:“二定”,湊不出定值.
分析 ∵a2+b22=1,∴2a2+b2=2.
又∵a1+b2≤a2+1+b22,
要湊出定值,只需在不等式左邊添加2,解答如下:
∵(2a)1+b2≤(2a)2+(1+b2)22
=2a2+b2+12=32,
∴a1+b2≤322=324,
∴a1+b2的最大值為324.
小結(jié) 使用基本不等式求解最值問題時,要注意:“一正二定三相等”三要素,特別應該注意,一般不要出現(xiàn)兩次不等號,若出現(xiàn),則要看兩次等號是否同時成立.
在函數(shù)的填空題中也有很多這樣的例子,那么教師也不應該放過這些讓學生犯錯的機會,我們來看一下這個例子:
總之,在教學過程中,教師不應該剝奪學生“犯錯”的機會,讓學生在“犯錯”之中總結(jié)經(jīng)驗,尋找解題規(guī)律.這樣給學生留下的印象會特別深刻,而最終達到少犯錯的效果.
【參考文獻】
[1]沈新權(quán).高中學生數(shù)學思維障礙的成因及突破[J].中學時代,2014(10):30.