關(guān)注思維起點(diǎn)　讓學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生

梁淑媛　孟宜安

【摘要】本文摘錄了一節(jié)高三復(fù)習(xí)課的主體片段，旨在闡述教師如何在課堂上關(guān)注到學(xué)生思維的起點(diǎn)，而不是見題解題;在課堂上如何讓學(xué)生的思維得到提升，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生，進(jìn)而形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】思維起點(diǎn);數(shù)列通項(xiàng)公式;核心素養(yǎng);真實(shí)學(xué)習(xí)

【基金項(xiàng)目】本文系北京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2017年度一般課題：依托工作室提升數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)教育理論素養(yǎng)的研究（CDFB17343）研究成果之一.

新課程理念強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為主體，得到了廣大教師的認(rèn)可，大多數(shù)課堂教學(xué)都注意引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生學(xué)會(huì)解決問(wèn)題.但教學(xué)中常常有這樣的現(xiàn)象：學(xué)生解題遇到障礙，教師及時(shí)點(diǎn)撥，學(xué)生茅塞頓開，然后學(xué)生投入到后續(xù)的解題之中.學(xué)生熱情高漲，積極思考，自始至終都在動(dòng)腦動(dòng)手，不時(shí)還有激烈的爭(zhēng)論，最后多數(shù)學(xué)生得出正確的結(jié)論.這樣的一節(jié)課下來(lái)，教師講得清清楚楚，學(xué)生聽得明明白白，如此高效的課堂，學(xué)生解題能力應(yīng)當(dāng)很高才對(duì)，而事實(shí)是，當(dāng)學(xué)生自己做題時(shí)還是不會(huì)，有時(shí)講幾遍的題考試時(shí)仍然做錯(cuò).為什么會(huì)這樣呢？一個(gè)重要的原因是我們忽視思維的起點(diǎn)，思維的起點(diǎn)往往就是學(xué)生思維的障礙.他們不是不知道，而是想不到，你提示，他們就能明白，接下來(lái)的推理比較簡(jiǎn)單，他們會(huì)迅速完成，完成之后還會(huì)有一絲的成就感，表面看，他們懂了、會(huì)了、掌握了，但由于思維起點(diǎn)是教師提示的，因此，他們只知道了一個(gè)數(shù)學(xué)解題法，思維并沒有增進(jìn)，當(dāng)面對(duì)其他問(wèn)題時(shí)仍不知道如何處理.

課堂教學(xué)的效果，取決于教師對(duì)教學(xué)的理解，取決于教師把教育理念、教學(xué)思想物化為教學(xué)行為的能力，取決于學(xué)生的學(xué)習(xí)探究活動(dòng)真實(shí)發(fā)生.這是我聽完一節(jié)視導(dǎo)常態(tài)課后的感受，這是高三復(fù)習(xí)數(shù)列中求通項(xiàng)公式的第二節(jié)課，節(jié)選部分教學(xué)過(guò)程如下：

題1 對(duì)數(shù)列{an}，已知a1=1，an+1=3an+2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

學(xué)生探究1：

寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)：1，5，17，53，161，…不容易歸納出通項(xiàng).

學(xué)生探究2：

兩邊同時(shí)加1，右邊提出3，得到an+1+1=3（an+1），

所以數(shù)列{an+1}是a1+1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

教師變式：a1=1，an+1=4an+58.

學(xué)生探究2的方法，觀察不出兩邊加幾了，教師引導(dǎo)：所以剛才兩邊都加1是機(jī)緣巧合，還要找通法，回到上一個(gè)題再看：數(shù)列{an+x}是以a1+x為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，寫出an+1+x=3（an+x）an+1=3an+2x，所以2x=2，x=1.教師關(guān)注了這樣的思維起點(diǎn)，學(xué)生也不是僅僅會(huì)解一道題，學(xué)生順利寫出變式：數(shù)列{an+x}是a1+x為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，寫出an+1+x=4（an+x）an+1=4an+3x，所以3x=58，x=524，學(xué)生此時(shí)熱情很高，感覺真的有了.

知識(shí)方法的生成，重在“自然”，所謂的自然生成是，教師關(guān)注思維的起點(diǎn)，指明研究的主要方向，以學(xué)生的生成為主，通過(guò)學(xué)生的思考、合作交流，順其自然的發(fā)現(xiàn)一些有價(jià)值的規(guī)律、定理等.本題的推導(dǎo)過(guò)程并不復(fù)雜，關(guān)鍵是思維的起點(diǎn)，而思維的起點(diǎn)正是“為什么這么想”的問(wèn)題，所以該題目的處理側(cè)重解題思路對(duì)學(xué)生思維的觸發(fā)作用，多給學(xué)生提供激活思維的機(jī)會(huì)，逐步積累學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)不是刻意的，而是在學(xué)生感知、感受、體驗(yàn)、思考而自然形成的，只要揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，按照數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)思想方法發(fā)生、發(fā)展的規(guī)律教學(xué)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)也就在其中了.

題2 對(duì)數(shù)列{an}，已知a1=1，an+1=2anan+2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

學(xué)生探究1：

寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)：1，23，12，25，13，….學(xué)生很快調(diào)整成：22，23，24，25，26，….

從而歸納出an=2n+1.這是不完全歸納得到的，如何證明，師生簡(jiǎn)單地回憶一下數(shù)學(xué)歸納法，沒有展開.

學(xué)生探究2：

兩邊都取倒數(shù)：1an+1=an+22an=12+1an，1an+1-1an=12.

數(shù)列1an是1a1為首項(xiàng)，12為公差的等差數(shù)列，1an=n+12，∴an=2n+1.

很多同學(xué)都是恍然大悟，這種方法很快呀，取倒數(shù)的目的是讓右邊的分式分母是單項(xiàng)可以裂項(xiàng)，我以為學(xué)生對(duì)此有了深一層的反應(yīng)，是思維深化的表現(xiàn)，可是學(xué)生說(shuō)出了自己新的困惑：我自己是想不到這種變形.這個(gè)疑問(wèn)在其他同學(xué)中產(chǎn)生了共鳴，有的沉默思考，有的相互交流，幾分鐘后，陸續(xù)有同學(xué)說(shuō)出了自己的想法.

學(xué)生探究3：

因?yàn)橛疫吺欠质?，最容易想到的是把分母乘過(guò)來(lái)，得到二次三項(xiàng)式：

an+1an+2an+1=2an，在教師的提示下，大部分學(xué)生聯(lián)想到了形如這樣二次三項(xiàng)式的處理辦法，兩邊同除以二次式，得到：2an+1-2an=1（或1an+1-1an=12），回到探究2一樣的結(jié)果.

這種解法雖不是最智慧的簡(jiǎn)捷解法，但符合大多數(shù)學(xué)生的思維習(xí)慣，在對(duì)得到的整式處理上又開闊了一部分同學(xué)的解題視野，相比之下學(xué)生更容易入手.教學(xué)中首先要順應(yīng)學(xué)生的思維習(xí)慣，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思考，同時(shí)還要不斷發(fā)展學(xué)生的思維，用新的方法、新的思想豐富學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生不斷更新、完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生，沒有方法不可怕，不會(huì)思考才可怕.

題3 對(duì)數(shù)列{an}，已知a1=12，an=-2snsn-1（n≥2），求證：數(shù)列1sn是等差數(shù)列.

學(xué)生的目標(biāo)性很強(qiáng)，要證明的結(jié)論就是目標(biāo)，所以去掉an，得到：n≥2，sn-sn-1=-2snsn-1，學(xué)生都會(huì)處理這個(gè)二次三項(xiàng)式了.

高三的復(fù)習(xí)課，尊重學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，首先要清楚學(xué)生知道什么不知道什么，教學(xué)設(shè)計(jì)一定要尊重這個(gè)事實(shí)，不能掩耳盜鈴，一廂情愿.本節(jié)課就沒有就題給模型，而是把關(guān)注學(xué)生思維的起點(diǎn)作為本節(jié)課的核心所在，也是價(jià)值所在.在題2的探究3中，符合學(xué)生思維起點(diǎn)整理到二次三項(xiàng)式，這是學(xué)生熟悉的，然而熟悉的結(jié)論在陌生的情境下沒有喚起記憶，這說(shuō)明學(xué)生的能力尚有欠缺，能力欠缺的原因是教師沒有提供足夠的、有價(jià)值的訓(xùn)練素材，因此，教師必須善于創(chuàng)造和把握機(jī)會(huì)，為學(xué)生提供觸動(dòng)聯(lián)想的好問(wèn)題，沒有好的問(wèn)題，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)就是一句空話.所以該教師在看到題2的探究3中學(xué)生處理二次三項(xiàng)式時(shí)產(chǎn)生的問(wèn)題，及時(shí)拋出了題目三，恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)給學(xué)生提供了有價(jià)值得訓(xùn)練素材，高三教學(xué)不能僅僅是知識(shí)的回歸，要深化理解知識(shí)體系;不能僅僅是題型的總結(jié)歸納以及機(jī)械重復(fù)的訓(xùn)練，要突出問(wèn)題的分析，突出學(xué)生的思維過(guò)程，要讓學(xué)生領(lǐng)悟方法的內(nèi)涵，達(dá)到靈活運(yùn)用的目的.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王尚志.數(shù)學(xué)課表修訂與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[R].浙江省基礎(chǔ)教育研究中心.

[2]徐解清.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：從內(nèi)隱走向外顯[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2017（7）：24-27.

[3]祁平.基于探究的數(shù)學(xué)教學(xué)的哲學(xué)思索[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2014（8）：22-28.