品形數(shù)之美悟數(shù)形之妙
——《數(shù)與形》教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

屈 婷 袁凌云

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版六年級(jí)上冊(cè)第107頁例1。

【教學(xué)過程】

一、數(shù)與形，各展其長(zhǎng)

1.男生女生大PK：第一組題展示給男生，第二組展示給女生，展示后分別計(jì)算答題時(shí)間定輸贏。

第二組：如下圖，甲數(shù)和乙數(shù)相比，（ ）大。

師：同樣的題目，為什么女生用時(shí)這么少？

小結(jié)：雖然問題相同，但給出圖形的題目一眼就能看出結(jié)果。

2.第二輪PK：

（1）這個(gè)角是（ ）角。

（2）一個(gè)角的度數(shù)是 89°，這個(gè)角是（ ）角。

師：這次給女生的題目是數(shù)，給男生的是圖形，為什么男生又輸了？

小結(jié)：給出的圖形需要測(cè)量，給出的角的度數(shù)有數(shù)據(jù)，方便判斷角的類型。

師：看來圖形和數(shù)據(jù)都有優(yōu)點(diǎn)，也有缺點(diǎn)。華羅庚說過：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。數(shù)形結(jié)合到底有哪些好處呢？今天這節(jié)課我們就來研究。

【設(shè)計(jì)意圖：在小學(xué)階段，很多數(shù)學(xué)知識(shí)都是在數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)上逐步抽象概括的，數(shù)形結(jié)合的思想一直伴隨在學(xué)生的身邊，只是沒向?qū)W生特別點(diǎn)明。數(shù)與形是數(shù)學(xué)知識(shí)的兩種不同表征形式，沒有高低之分、優(yōu)劣之說。如何讓學(xué)生體會(huì)數(shù)抽象、形直觀的特點(diǎn)？筆者為學(xué)生提供了兩個(gè)例子，一是為了喚醒學(xué)生對(duì)數(shù)與形的認(rèn)識(shí)，感受數(shù)與形的一路相伴。二是便于讓學(xué)生初步體會(huì)到數(shù)與形各有優(yōu)勢(shì)：有時(shí)數(shù)可以助形，利用數(shù)的精確能夠準(zhǔn)確量化形的特征；有時(shí)形可以幫數(shù)，借助形的直觀可以降低數(shù)量關(guān)系的抽象程度?！?/p>

二、圖與式，相輔相成

師：如果用一個(gè)□表示1，1+3可以怎樣畫圖？1、3分別在圖中的哪里？怎樣讓別人一眼看出1、3在圖中的哪個(gè)位置？（用不同顏色加以區(qū)分）

師：一共有多少個(gè)小正方形？你是怎么知道的？

板書：1+3 2×2 （4個(gè)）

小結(jié)：用加法和乘法都可以計(jì)算小正方形的個(gè)數(shù)。

師：1+3+5可以怎樣畫？畫出的圖形哪種便于計(jì)算？為什么？

小結(jié)：畫成長(zhǎng)方形或不規(guī)則圖形要一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，畫成正方形更容易用3×3計(jì)算結(jié)果。

板書：1+3+5 3×3 （9個(gè)）

師：同一個(gè)正方形，為什么既可以寫成兩個(gè)數(shù)相乘的形式，又可以寫成幾個(gè)數(shù)連加的形式？這些等式，我們是借助什么得到的？

【設(shè)計(jì)意圖：要實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，首先要完成數(shù)與形的轉(zhuǎn)化?！皬?開始的連續(xù)奇數(shù)相加的算式對(duì)應(yīng)的圖不只一種，為什么要研究拼成正方形的形？”這是學(xué)生的疑惑之處。因此筆者首先出示“1+3”的算式，讓學(xué)生構(gòu)造形，體會(huì)形雖然有多種，但數(shù)字和圖卻是一一對(duì)應(yīng)的。接著讓學(xué)生畫出“1+3+5”對(duì)應(yīng)的形，從“多樣化的形”到“呈正方形的形”，旨在讓學(xué)生體會(huì)“形”有繁簡(jiǎn)之分，正方形方格具有明顯的圖形特征，便于用乘法計(jì)算出“1+3+5”的結(jié)果。最后，讓學(xué)生感悟到同樣的圖形換個(gè)角度看，可以產(chǎn)生不同的算法，用兩種不同的方式計(jì)算同一個(gè)幾何量，就可以得到一個(gè)等式。這樣就將數(shù)與形進(jìn)行了溝通與轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)形之間的密切聯(lián)系?！?/p>

三、想與畫，虛實(shí)相生

師：按照這樣的規(guī)律，如果再增加一個(gè)加數(shù)，你認(rèn)為是多少？（加7）先想一想，這個(gè)算式等于哪兩個(gè)數(shù)相乘，它所對(duì)應(yīng)的正方形邊長(zhǎng)是多少？再畫一畫，驗(yàn)證你的猜想是否正確。

師：為什么1+3+5+7還可以寫成4×4相乘？除了用圖形來解釋，這兩個(gè)算式之間是否也存在內(nèi)在聯(lián)系？1+3+5+7這個(gè)算式中是否也藏著4？你能找到嗎？4在正方形圖中是什么意思？

師：結(jié)合前面的算式和圖看一看，是否也存在這樣的規(guī)律？這些加數(shù)隨便是幾都可以嗎？剛才說增加加數(shù)的時(shí)候，你們?cè)趺串惪谕曊f要加7？3+5+7可以寫成3×3嗎？

師：像 1、4、9、16 這些數(shù)都可以用一個(gè)實(shí)心的正方形來表示，這些數(shù)是一些和形狀有關(guān)的數(shù)，數(shù)學(xué)家把它叫做正方形數(shù)。1是不是平方數(shù)？符合這個(gè)規(guī)律嗎？

師：邊長(zhǎng)是6的正方形可以轉(zhuǎn)化成哪些算式？如果分割成從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加，加數(shù)可能是哪幾個(gè)？

【設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于此類問題，不管是數(shù)還是形，都有規(guī)律可循。規(guī)律探尋雖然不是本節(jié)課的主旋律，但發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程能逼著學(xué)生把數(shù)與形統(tǒng)一起來觀察與思考。在這一環(huán)節(jié)中，筆者讓學(xué)生先猜想“1+3+5之后接下來該加哪個(gè)數(shù)”，想象之后再畫圖，讓學(xué)生在頭腦中先定格圖形，再通過畫圖幫助學(xué)生確定想象的圖形是否正確，為推算“從1開始的連續(xù)奇數(shù)連加的結(jié)果與平方數(shù)之間的關(guān)系”打下根基；接著，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等式左邊加數(shù)的個(gè)數(shù)、等式右邊的相同因數(shù)與正方形邊長(zhǎng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；最后，把學(xué)生的目光聚焦到加數(shù)的特點(diǎn)上，明確只有從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加才符合這個(gè)規(guī)律。在這一過程中，學(xué)生利用想象形成的表象，聯(lián)系畫圖過程回想，自發(fā)將數(shù)與圖聯(lián)系起來思考，在整體上把握數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將數(shù)與形結(jié)合起來發(fā)現(xiàn)規(guī)律?！?/p>

【教學(xué)思考】

一、圖式互譯，數(shù)形轉(zhuǎn)換，架設(shè)思維通道

在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中數(shù)是數(shù)，形是形，難以統(tǒng)一。將數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成形的問題，從形中尋找計(jì)算方法，通過數(shù)形的轉(zhuǎn)換，能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)與形都是表征問題的方式，由此打通形象思維與抽象思維之間的數(shù)學(xué)通道。因此，筆者從式引入，給出算式讓學(xué)生用圖形來表征，以形表數(shù)，這樣就將數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成形的問題。當(dāng)學(xué)生用直觀的圖形表征算式之后，讓學(xué)生指出這些連續(xù)奇數(shù)分別在圖中的什么位置，數(shù)形對(duì)照，算式與圖形一一對(duì)應(yīng)，培養(yǎng)學(xué)生尋找數(shù)與形對(duì)應(yīng)的能力。如果說“由數(shù)想形”是順向思維的話，那么“見形思數(shù)”就是逆向思維。當(dāng)學(xué)生尋找到等式與正方形方格圖的規(guī)律之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考“邊長(zhǎng)是6的正方形方格圖可以轉(zhuǎn)化成哪些算式？如果分割成從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加，可能是哪幾個(gè)”，讓學(xué)生在頭腦中對(duì)正方形方格進(jìn)行分拆與計(jì)算，與“式”建立聯(lián)系，經(jīng)歷從圖形到算式的回流，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)換能力。

二、內(nèi)聯(lián)溝通，數(shù)形結(jié)合，搭建思維橋梁

圖形直觀、形象的特點(diǎn)，決定了化數(shù)為形能夠達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁的目的。因此，筆者以直觀的正方形方格為載體，引導(dǎo)學(xué)生將算式與圖形結(jié)合起來觀察、思考，以形解數(shù)，尋找加法算式的簡(jiǎn)便算法。等式的左右兩邊，落實(shí)到圖形中，都是對(duì)小正方形個(gè)數(shù)（或大正方面積）的計(jì)算。對(duì)一個(gè)圖形，從不同的角度研究它、計(jì)算它，能得到一個(gè)等式?！皬?開始的連續(xù)奇數(shù)相加可以用同數(shù)相乘來計(jì)算，奇數(shù)的個(gè)數(shù)、形態(tài)與相乘的因數(shù)有怎樣的關(guān)系，又與正方形的邊長(zhǎng)有怎樣的聯(lián)系？”這幾個(gè)問題讓學(xué)生在反觀數(shù)與形的關(guān)系進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程中，漸漸體會(huì)到：規(guī)律如果沒有直觀圖形作思考的載體，很難被發(fā)現(xiàn)和理解；只通過圖形，不借助算式也難以建立正方形數(shù)與算式之間的聯(lián)系。形之于數(shù)解釋現(xiàn)象的作用逐步發(fā)揮出來，數(shù)之于形發(fā)現(xiàn)規(guī)律的價(jià)值慢慢被彰顯，形數(shù)的特點(diǎn)深深印在學(xué)生的腦海中。

三、抽絲剝繭，數(shù)形互助，打通思維血脈

就數(shù)學(xué)本質(zhì)而言，“從1開始的連續(xù)奇數(shù)相加”可以利用等差數(shù)列求和公式“（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2”來計(jì)算。由于這個(gè)數(shù)列的特殊性，（首項(xiàng)+末項(xiàng)）÷2得到的結(jié)果正好與項(xiàng)數(shù)（奇數(shù)的個(gè)數(shù)）相等，而奇數(shù)的個(gè)數(shù)正好等于正方形的邊長(zhǎng)，因此可以寫成同數(shù)相乘的形式。小學(xué)生沒有學(xué)過數(shù)列，難以領(lǐng)略到其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，但等差數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征與構(gòu)成正方形“L”形的結(jié)構(gòu)特征是有內(nèi)在聯(lián)系的。如何通過數(shù)形結(jié)合的方法讓學(xué)生逐步體悟正方形數(shù)的魅力？當(dāng)學(xué)生探究出規(guī)律后，我再次引領(lǐng)學(xué)生把算式與圖聯(lián)系起來思考，深究現(xiàn)象背后的道理，讓學(xué)生進(jìn)一步感悟到數(shù)的結(jié)構(gòu)特征與形的結(jié)構(gòu)特征高度一致，感悟數(shù)形之間的密切聯(lián)系。