數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用

聶兆科

（甘肅省武威市民勤實驗中學(xué)，甘肅武威 733399）

引 言

數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)中的一個重要思想，無論是在課本知識的學(xué)習(xí)過程中，還是在解答數(shù)學(xué)題目時都可以起到極大的輔助作用。因此，初中數(shù)學(xué)教師在開展教學(xué)時，要著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，這不僅可以取得良好的教學(xué)效果，同時也可以幫助學(xué)生更好地進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

一、數(shù)形結(jié)合思想概述

數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)是將較為抽象的數(shù)學(xué)概念和圖形進行結(jié)合，利用二者之間的關(guān)系，實現(xiàn)相應(yīng)的轉(zhuǎn)化，從而可以更好地進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)或者解決數(shù)學(xué)問題[1]。通過數(shù)與形在一定條件下的轉(zhuǎn)化，學(xué)生可以將較為復(fù)雜的問題簡單化，從而找到解決問題的突破口。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要注意多利用數(shù)形結(jié)合思想進行教學(xué)，即在講述關(guān)于數(shù)的內(nèi)容時，借助圖形來展現(xiàn)其關(guān)系；在講述關(guān)于圖形的內(nèi)容時，借助數(shù)的關(guān)系進行表述，從而讓學(xué)生逐漸掌握數(shù)形結(jié)合思想的精髓，并將其應(yīng)用到解決實際問題當(dāng)中。

二、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的作用

（一）可以讓教學(xué)內(nèi)容更加直觀

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性強的學(xué)科，各個部分之間存在著一定的聯(lián)系，運用好這之間的聯(lián)系可以讓復(fù)雜的問題變得相對簡單和直觀。在目前的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，大部分教師都是按照教材按部就班地進行教學(xué)，忽視了各章節(jié)內(nèi)容之間的聯(lián)系，導(dǎo)致教學(xué)效果不是很理想。教師要在教學(xué)過程中融入數(shù)形結(jié)合的思想，有效利用教材中各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，把握數(shù)形之間的聯(lián)系，通過二者之間的轉(zhuǎn)化，可以使教學(xué)內(nèi)容更加直觀，從而有助于獲得良好的教學(xué)效果。

（二）可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

相較于其他學(xué)科，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度相對較大，學(xué)生如果沒有正確的學(xué)習(xí)方法就會導(dǎo)致學(xué)習(xí)效率低，從而很難對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣。而在教學(xué)中融入數(shù)形結(jié)合思想，一方面可以在一定程度上降低學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度，另一方面也可以讓學(xué)生掌握正確的學(xué)習(xí)方法，提升學(xué)生解決問題的能力，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得一定的成就感，從而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。此外，數(shù)形結(jié)合思想可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中充分感受數(shù)學(xué)知識中蘊含的美感，如對稱美、簡潔美、和諧美等，不僅可以促進學(xué)生審美能力的提升，激發(fā)學(xué)生的審美追求，同時也能更好地激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識的欲望。

（三）有助于發(fā)展學(xué)生的思維能力

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，函數(shù)與圖像、不等式勾股定理、解三角形等內(nèi)容中均蘊含了數(shù)形結(jié)合的思想，在學(xué)習(xí)過程中學(xué)生可以借助圖像將復(fù)雜的、邏輯嚴(yán)密的代數(shù)推理直觀地展示出來，同時也可以借助代數(shù)推理驗證幾何部分的相關(guān)公理和定理。這種方法不僅可以使學(xué)生的邏輯思維能力和抽象思維能力得以提升，還能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，從而使其突破思維定式，學(xué)會從多角度思考和解決問題。在實際解答數(shù)學(xué)題目時，數(shù)形結(jié)合思想有助于學(xué)生化繁為簡，更好地理解題目要求，從而找到解答問題的突破口，完成題目的解答，甚至實現(xiàn)一題多解。

三、數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體運用

（一）數(shù)形結(jié)合在函數(shù)教學(xué)中的運用

在初中數(shù)學(xué)體系中，函數(shù)是重要的組成部分，函數(shù)往往與圖像之間存在著密切的聯(lián)系。因此，教師在開展教學(xué)的過程中，應(yīng)注意融入數(shù)形結(jié)合的思想，將函數(shù)的數(shù)字表達式和圖像的表達進行結(jié)合，從而讓學(xué)生更加直觀地理解函數(shù)關(guān)系。例如，在教學(xué)“二次函數(shù)”時，如果教師僅僅用函數(shù)表達式來為學(xué)生講解二次函數(shù)的特點，由于缺乏直觀的認識，學(xué)生很難有效掌握和理解。如果教師利用數(shù)形結(jié)合的形式來闡述二次函數(shù)的特點，就會更加直觀，可以有效降低學(xué)生理解的難度。筆者在教學(xué)過程中，為了讓學(xué)生更加直觀地感受函數(shù)的變化，借助了多媒體技術(shù)，通過改變二次函數(shù)表達式中的某個符號或者數(shù)字讓學(xué)生觀察函數(shù)圖像的變化，從而更好地理解函數(shù)關(guān)系。此外，在函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，往往會有求證一次函數(shù)和二次函數(shù)共同的解這樣的題目，對于這類題目，學(xué)生如果僅僅利用函數(shù)表達式來求解，會顯得比較復(fù)雜；如果借助函數(shù)圖像，分別畫出一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖像，看其是否存在交叉點，就可以輕易地得出結(jié)論。由此可見，利用數(shù)形結(jié)合的思想可以讓函數(shù)學(xué)習(xí)變得更加簡單，可以極大地提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。

（二）數(shù)形結(jié)合在幾何教學(xué)中的運用

數(shù)形結(jié)合思想不僅可以在函數(shù)教學(xué)中以圖像的形式來表達函數(shù)之間的邏輯關(guān)系，同時在幾何教學(xué)中也可以借助數(shù)之間的邏輯關(guān)系來表達幾何關(guān)系。教師在開展幾何教學(xué)的過程中要注意對數(shù)形結(jié)合思想加以利用，用數(shù)之間的關(guān)系來推導(dǎo)證明幾何圖形之間的關(guān)系，這不但可以幫助學(xué)生更好地理解幾何圖形之間的關(guān)系，同時也能培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。例如，“在矩形GHEF中，A點位于矩形GH邊上，基于EB將矩形折疊，讓H點落在GF邊上，將這個點記為B點。假設(shè)GH等于4，HE等于5，求解tan∠GAB的值”。這個題目就可以利用數(shù)形結(jié)合的思想來進行解答。根據(jù)已知條件可以得出∠G=∠H=∠F=90°，EF=GH=4，GF=HE=5，按照折疊性質(zhì)：∠ABE=∠H=90°，EB=HE=5。其次根據(jù)同角的余角相等這一定義可得：∠HEB=∠GAB，在直角三角形FBE中，∠ABE=∠H=90，EB=EF=5，所以∠FEB=∠GBA，在直角三角形FEB中，EB=5，EF=4，所以FB=3，由此可得tan∠GAB=tan∠FEB=

（三）數(shù)形結(jié)合在一元一次不等式中的應(yīng)用

在一元一次不等式的學(xué)習(xí)過程中，如果從“數(shù)”的角度去分析，就是以一次函數(shù)的求解方式去解決一元一次不等式的問題，而學(xué)生用這種方式去解決一元一次不等式時基本上所犯的錯誤與解決一次函數(shù)問題時所犯的錯誤一致。如果從“形”的角度去分析一元一次不等式，可以利用數(shù)軸解決問題，這樣會顯得更加直觀，學(xué)生可以很輕易地找到解題的突破口。雖然從數(shù)的角度去解決一元一次不等式也可以求解出正確的答案，但是求解的過程相對比較抽象，學(xué)生理解起來具有一定的難度，尤其是在遇到相對復(fù)雜的問題時，大部分學(xué)生會無從下手。而通過利用數(shù)軸就相對要簡單一點，如|x-3|＜6，求解x的值，在解答這道題目時，根據(jù)絕對值，從“形”的角度來分析，可以將這道題看成數(shù)軸上從x到3之間小于6的數(shù)，借助數(shù)軸的形式就可以很輕易地得出x的值為x＞9或x＜3。

結(jié) 語

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中有重要的意義，不僅可以使教學(xué)內(nèi)容更加直觀，易于學(xué)生理解掌握，同時也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使其掌握正確的學(xué)習(xí)方法。數(shù)形結(jié)合的思想在初中數(shù)學(xué)函數(shù)、幾何等部分都可以得到較好的應(yīng)用，學(xué)生可以利用數(shù)形結(jié)合的思想提升自己解決問題的能力，從而提升學(xué)習(xí)效率。此外，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中也應(yīng)善于利用數(shù)形結(jié)合的思想，幫助學(xué)生厘清邏輯關(guān)系，從而取得事半功倍的教學(xué)效果。