基于新的無標(biāo)度區(qū)確定方法求取分形路面不平度的分形維數(shù)*

黃 華徐 凱何培松

(1.南京斯諾森汽車設(shè)計(jì)有限公司上海分公司,上海200120;2.廣西機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院,廣西 南寧530007;3.廣西玉柴機(jī)器股份有限公司,廣西 玉林537005)

1 W-M函數(shù)生成分形路面不平度

1.1 W-M函數(shù)

W-M函數(shù)最早是由德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯發(fā)現(xiàn)的,后經(jīng)M.Majumdar和B.Bhushan修正得到了M-B模型,用來表征工程表面的具有分形特征的輪廓,此模型也常常稱作W-M函數(shù).其形式如下：

式中,Z(x)為隨機(jī)表面輪廓高度;x為輪廓的位置坐標(biāo);G為幅度特征尺度;D為分形維數(shù);Nl、Mu為整數(shù);γn空間頻率,考慮到表面平整度和頻率分布,γ通常取1.5,n∈[Nl,Mu].最小空間頻率由采樣長度決定,若采樣長度為L,則最小空間頻率γNl=1/L;最大空間頻率γMu由采樣頻率F s確定,[1]γMu=Fs/2,采樣頻率Fs的取值需滿足采樣定理.

式(1)的連續(xù)功率譜密度表達(dá)式為：[2]

式中,ω是空間頻率.

1.2 路面不平度

路面不平度作為車輛系統(tǒng)輸入的主要激勵(lì)源,對車輛的振動、結(jié)構(gòu)的疲勞特性影響較大,一直是人們研究的重點(diǎn)對象.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),隨機(jī)路面不平度作為一種不規(guī)則的、自相似性的幾何集,具有明顯的分形特征.[3]

根據(jù)1984年國際標(biāo)準(zhǔn)化組織在文件ISO/TC 108/SC2N67提出的“路面不平度表示方法草案”和國內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)GB 7031《車輛振動輸入—路面平度表示》,路面的統(tǒng)計(jì)特性用功率譜密度表示,兩文件建議其表達(dá)式為冪函數(shù)形式.形式如下：[4]

式中,n為空間頻率(m-1),它是波長的倒數(shù),表示每米長度中包括幾個(gè)波長;n0為參考空間頻率,n0=0.1 m-1;G q(n0)為參考空間頻率n0下的路面功率譜密度值,稱為路面不平度系數(shù),單位是m3;w為頻率指數(shù),為雙對數(shù)坐標(biāo)上斜線的斜率,它決定路面功率譜密度的頻率結(jié)構(gòu).另外,文件按照功率譜密度的不同將路面不平度分為8個(gè)等級,頻率指數(shù)w=2.

1.3 W-M函數(shù)生成分形路面不平度

基于分形維數(shù)的求解方法中的功率譜密度法,[5]通過式(2)和式(3)可用W-M函數(shù)生成分形路面不平度.A級和C級分形路面不平度如圖1和圖2所示.參數(shù)設(shè)置如表1所示.

圖1 A級分形路面不平度Fig.1 Roughness of Grade A fractal road

圖2 C級分形路面不平度Fig.2 Roughness of Grade C fractal road

表1 分形路面不平度仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters of fractal road roughness

求取分形路面不平度的功率譜密度與標(biāo)準(zhǔn)功率譜對比,結(jié)果如圖3和圖4所示.由圖3和圖4可知,基于W-M函數(shù)生成的分形路面不平度反映了標(biāo)準(zhǔn)路面的統(tǒng)計(jì)特性,有較高的精度.

圖3 A級分形路面不平度的功率譜密度與標(biāo)準(zhǔn)譜的對比Fig.3 Comparison of power spectral density of Grade A fractal road roughness with standard spectrum

圖4 C級分形路面不平度的功率譜密度與標(biāo)準(zhǔn)譜的對比Fig.4 Comparison of power spectral density of Grade C fractal road roughness with standard spectrum

2 結(jié)構(gòu)函數(shù)法求分形路面不平度的分形維數(shù)

2.1 結(jié)構(gòu)函數(shù)法

結(jié)構(gòu)函數(shù)法常用于粗糙面分形特性的分析和分形特征參數(shù)的求取,其定義為：[6]

離散化之后,進(jìn)一步為：[7]

式(5)和式(6)中,S(τ)為結(jié)構(gòu)函數(shù);(τ)=n△l,n=1,2,3,…,N-1;△l為采樣距離間隔;〈·〉為差方的算數(shù)平均值;Z i為表面輪廓曲線的離散點(diǎn),i=0,1,2,3,…,N;將S(τ)和τ用對數(shù)坐標(biāo)表示,進(jìn)行線性回歸,得到直線方程,設(shè)其斜率為K,則表面輪廓曲線的分形維數(shù)為

基于上述分形路面不平度,采用結(jié)構(gòu)函數(shù)法求取分形路面不平度模型的分形維數(shù),在將分形路面不平度的標(biāo)度律,進(jìn)行線性回歸分析,擬合直線方程之前,需首先確定無標(biāo)度區(qū).本文提出了一種新的無標(biāo)度區(qū)確定方法.

2.2 無標(biāo)度區(qū)確定的新方法

2.2.1 無標(biāo)度區(qū)的定義

測度與標(biāo)度在雙對數(shù)坐標(biāo)呈現(xiàn)直線的區(qū)域稱為具有分形特征的尺度區(qū)域,也稱作無標(biāo)度區(qū).[8]無標(biāo)度區(qū)越大,說明曲線具有較多層次的自相似結(jié)構(gòu),而在在無標(biāo)度區(qū)之外應(yīng)用分形理論是沒有任何意義的,同時(shí),無標(biāo)度區(qū)也是判別輪廓是否具有分形特征的重要參數(shù).

2.2.2 確定無標(biāo)度區(qū)的方法

目前確定無標(biāo)度區(qū)的方法很多,有人工判定法、相關(guān)系數(shù)法、強(qiáng)化系數(shù)法、擬合誤差法、分維值誤差法和自相似比法等.[9]本文提出了一種新的無標(biāo)度區(qū)確定方法,暫且稱之為“育苗法”.

2.2.3 新方法的原理和實(shí)現(xiàn)過程

根據(jù)分形理論,具有分形特征的理想曲線,存在無限小細(xì)分的自相似結(jié)構(gòu),在無標(biāo)度區(qū)上表現(xiàn)為無限大范圍內(nèi)的線性關(guān)系.而在實(shí)際自然界中,不存在理想的分形曲線,工程粗糙面表現(xiàn)為一段范圍內(nèi)的無標(biāo)度特征,因此,此區(qū)域內(nèi)的標(biāo)度與測度呈現(xiàn)良好的線性度.基于此,將雙對數(shù)坐標(biāo)下的測度和標(biāo)度構(gòu)成的數(shù)據(jù)點(diǎn)排列在一維數(shù)軸上,以一定的規(guī)則選擇一部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn),然后以這些數(shù)據(jù)點(diǎn)向兩端擴(kuò)展,計(jì)算這些數(shù)據(jù)點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)和方差,在滿足一定的閾值下,包含較多數(shù)據(jù)點(diǎn)的區(qū)域,應(yīng)為無標(biāo)度區(qū).

基于上述理論和思想,其實(shí)現(xiàn)過程是這樣的,將雙對數(shù)坐標(biāo)內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)(τ,S(τ))看作排列在一維數(shù)軸上的點(diǎn)的集合.以等同的2個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)為間隔,選擇一系列點(diǎn),然后將這些選中的數(shù)據(jù)點(diǎn)作為“種子”標(biāo)記在數(shù)軸上.以各個(gè)“種子”為中心,向數(shù)軸兩端外擴(kuò),每次外擴(kuò)數(shù)量為2個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn),計(jì)算各個(gè)“種子”區(qū)域內(nèi)的相關(guān)系數(shù),在滿足相關(guān)系數(shù)閾值下,再次外擴(kuò)2個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn),直至出現(xiàn)相關(guān)系數(shù)不滿足閾值.循環(huán)次數(shù)最多的“種子”包含的標(biāo)度個(gè)數(shù)越多,自然標(biāo)度區(qū)越大.在實(shí)際循環(huán)計(jì)算過程中,數(shù)據(jù)點(diǎn)外擴(kuò)到數(shù)據(jù)軸端點(diǎn)之后應(yīng)停止此方向端的外擴(kuò),只進(jìn)行另一方向端的外擴(kuò).其實(shí)現(xiàn)過程可以描述為以下4個(gè)過程：

1)播種過程.

此過程實(shí)際上是將數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行分段處理,每段內(nèi)有個(gè)標(biāo)記的數(shù)據(jù)點(diǎn),此點(diǎn)稱作“種子”,此過程也稱作“播種過程”,其標(biāo)記結(jié)果如圖5所示.

圖5 數(shù)據(jù)點(diǎn)的標(biāo)記過程Fig.5 Marking process of data points

2)“種子”自由生長過程.

此過程描述了各數(shù)據(jù)段不斷進(jìn)行循環(huán)計(jì)算相關(guān)系數(shù)的過程,其中不滿足相關(guān)系數(shù)閾值的數(shù)據(jù)段不再參與下次循環(huán)計(jì)算,此過程以種子為中心,數(shù)據(jù)段不斷外擴(kuò),似種子的自由生長,滿足條件的不斷生長,不滿足生長條件的“死亡”.其生長過程如圖6所示,圖中實(shí)弧線表示第一次數(shù)據(jù)點(diǎn)外擴(kuò),虛弧線表示第二次數(shù)據(jù)點(diǎn)外擴(kuò),計(jì)算各數(shù)據(jù)段的相關(guān)系數(shù)的過程.

圖6 各數(shù)據(jù)段循環(huán)計(jì)算的過程Fig.6 The process of cyclic calculation of each data segment

3)培植過程.

培植過程主要是處理數(shù)據(jù)段外擴(kuò)出現(xiàn)到達(dá)數(shù)軸端點(diǎn)問題.在“種子”生長到數(shù)軸端點(diǎn)時(shí),此端點(diǎn)方向應(yīng)停止生長,而另一側(cè)保持外擴(kuò)相同的個(gè)數(shù)的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行生長,直到不滿足相關(guān)系數(shù)閾值,其流程如圖7所示.

4)選苗過程.

選苗過程是“育苗”方法的核心步驟,主要是用來判斷各個(gè)“種子”的生長的區(qū)域能否成為無標(biāo)度區(qū)的過程.具體過程為：根據(jù)過程1)～3)的計(jì)算結(jié)果,按照各個(gè)“種子”停止生長時(shí)包含的數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)由小到大的順序進(jìn)行排列,同時(shí)標(biāo)記出包含多個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的 “種子”對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)、雙對數(shù)坐標(biāo)中測度的方差以及標(biāo)度的上、下限,從這些數(shù)據(jù)可確定出無標(biāo)度區(qū).

“育苗”方法的流程圖,如圖8所示.

圖7 數(shù)據(jù)外擴(kuò)到數(shù)軸端點(diǎn)的處理過程Fig.7 The process of data expansion to the endpoint of the number axis

圖8 “育苗”方法流程圖Fig.8 Flowchart of"nurturing"method

2.2.4 仿真結(jié)果分析

根據(jù)結(jié)構(gòu)函數(shù)法,采用“育苗”方法確定無標(biāo)度區(qū),A級和C級分形路面不平度的標(biāo)度律以及擬合直線如圖9和圖10所示.

根據(jù)圖9和圖10的擬合直線的斜率,結(jié)合式(6)求取的分形維數(shù)如表2所示.

圖9 A級分形路面不平度的標(biāo)度律和擬合直線Fig.9 The scaling law and fitting line of Grade A fractal road roughness

圖10 C級分形路面不平度的標(biāo)度律和擬合直線Fig.10 The scaling law and fitting line of Grade C fractal road roughness

表2 “育苗”法確定的無標(biāo)度區(qū)求取的分形維數(shù)Tab.2 The fractal dimension obtained from the scale-free region determined by the"nurturing"method

3 人工觀測方法

為了對比驗(yàn)證“育苗”算法的準(zhǔn)確性,采取人工觀測的方法確定無標(biāo)度區(qū),求取的分形維數(shù)如表3所示.通過對比表2和表3可知,“育苗”方法作為一種新的思想和方法在確定無標(biāo)度區(qū)和求取分形維數(shù)上具有較高的準(zhǔn)確性,且實(shí)現(xiàn)了計(jì)算機(jī)自動處理,提高了計(jì)算分形維數(shù)的效率.

表3 人工觀測的方法確定無標(biāo)度區(qū)求取的分形維數(shù)Tab.3 The fractal dimension obtained from the scale-free region determined by the manual observation

4 結(jié)論

通過W-M函數(shù)的連續(xù)功率譜密度函數(shù),結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)路面譜,生成了分形路面不平度.采用結(jié)構(gòu)函數(shù)法求取了分形路面不平度的標(biāo)度律,該標(biāo)度律說明分形路面不平度具有分形特征.本文提出了一種新方法確定了分形路面不平度的無標(biāo)度區(qū),求取了分形維數(shù);同時(shí),采用人工觀測法確定了無標(biāo)度區(qū),并求取了分形維數(shù).通過對比可知,本文提出的方法求取的分形維數(shù)與理論分形維數(shù)較為接近,比人工觀測法精度高.

未來,可研究此方法在確定具有多重分形特征的曲線的無標(biāo)度區(qū)和求取分形維數(shù)的準(zhǔn)確性,另外可用洛倫茲方程進(jìn)一步檢驗(yàn)該方法的準(zhǔn)確性.W-M函數(shù)曲線是無限項(xiàng)尺度為的隨機(jī)相位余弦函數(shù)組成,其與生成路面不平度的三角級數(shù)法之間有何聯(lián)系也是研究方向之一.

此外,作者研究發(fā)現(xiàn)W-M函數(shù)的相似形式：

比式(1)在描述路面不平度上精度更高,且可用于車輛平順性仿真分析,后續(xù)研究可圍繞此展開.