考查模型思想導向核心素養(yǎng)

張穎穎

[摘 要]近年來各地的小學數(shù)學畢業(yè)試題呈現(xiàn)規(guī)避機械考核、凸顯核心素養(yǎng)、考查模型思想、引導研究學習等特色。壓軸題作為思維的制高點，倡導“核心素養(yǎng)、小題遞進、知識潛能、應用價值”的命題理念，要求教師教學時要重視學生幾何直觀的培養(yǎng)、數(shù)學建模的滲透、過程性分析的運用、學習習慣的養(yǎng)成。

[關鍵詞]小學數(shù)學;畢業(yè)考;核心素養(yǎng);壓軸題;模型思想;幾何直觀

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）29-0045-02

近年來各地的小學數(shù)學畢業(yè)試題呈現(xiàn)規(guī)避機械考核、凸顯核心素養(yǎng)、考查模型思想、引導研究學習等特色，對小學數(shù)學教學起到了良好的導向作用。同時作為一場總結(jié)與檢驗小學六年學習成果的畢業(yè)考試，試題必須兼顧基礎性和發(fā)展性，具備應有的信度、效度、梯度、難度以及區(qū)分度。壓軸題作為思維的制高點，一般說來具有內(nèi)隱性、創(chuàng)新性、綜合性等特點。對于壓軸題，很多學生或淺嘗輒止，或畏難止步。廣大一線教師對于壓軸題的教法也各有千秋。筆者認為，學習數(shù)學的過程就是研究模型、建立模型，進而使用模型解決問題的過程。因此，在教學壓軸題時，應先從一道壓軸題出發(fā)，歸類一類問題的解決策略，再選用恰當?shù)乃季S起點分析，形成一定的解題模型?；诖?，筆者對近幾年小學數(shù)學畢業(yè)考壓軸題進行了分析與思考，采摘一例如下。

一、試題再現(xiàn)

【例題】一艘漁船在救援中心東偏北30°方向的180千米處觸礁遇險，預計2小時后沉沒。救援中心有2艘搜救船，時速均為80千米/時。此時甲搜救船正在救援中心北偏東30°方向的120千米處巡邏，乙搜救船在救援中心待命。

（1）在下圖中按比例畫出遇險漁船和甲搜救船的具體位置。

（2）你認為應該派哪艘船救援？它能否及時趕到遇險地點？（請在必要的測量后，用計算來說明）

二、試題分析

該試題考查的是運用坐標描述圖形的位置和運動、比例尺、行程問題等知識點。

第（1）題主要考核的是“圖形與幾何”領域的運用坐標描述圖形的位置和運動。解決時，首先要應用比例尺知識，由實際距離算出圖上距離。遇險漁船與救援中心的圖上距離為180×100000×[14000000]=4.5（厘米），甲搜救船與救援中心的圖上距離為120×100000×[14000000]=3（厘米）。再根據(jù)圖上距離4.5厘米與東偏北30°畫出遇險漁船的具體位置，根據(jù)圖上距離3厘米與北偏東30°畫出甲搜救船的具體位置。

第（2）題的完成主要有兩個思考過程，其一是判定派哪艘船去救援。從“乙搜救船在救援中心待命”可以確定，180÷80>2小時，所以乙搜救船排除在外。其二則要判斷甲搜救船能否及時趕到。測量出遇險漁船與甲搜救船之間的圖上距離為2.5厘米，現(xiàn)有以下四種方法：

方法一：比較時間。先應用比例尺完成圖上距離與實際距離的換算：2.5×4000000÷100000=100（千米），再用“路程÷速度=時間”，求出100÷80=1.25（小時），1.25小時<2小時，甲搜救船能及時趕到。

方法二：比較實際距離。2.5×4000000÷100000=100（千米），80×2=160（千米），100千米<160千米，甲搜救船能及時趕到。

方法三：比較圖上距離。甲搜救船2小時所行的實際距離所對應的圖上距離為80×2×100000×[14000000]=4（厘米），2.5厘米<4厘米，甲搜救船能及時趕到。

方法四：求比值。（2.5×4000000÷100000）∶（80×2）=100∶160=[58]，[58]<1，甲搜救船能及時趕到。

三、試題特色

1.凸顯導向核心素養(yǎng)教學的命題理念

數(shù)學課程應當注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。為了適應時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學課程還要注重發(fā)展學生的應用意識和創(chuàng)新意識。

例題通過派哪艘船救援這一實際問題，探索圖形的位置運動與行程問題的動態(tài)聯(lián)系，是一道蘊含豐富數(shù)學思想方法的動態(tài)性試題。比例尺的應用貫穿始終，畫圖時需達成實際距離與圖上距離的對接，解決問題時需完成圖上距離與實際距離的轉(zhuǎn)換，體現(xiàn)了“比例尺解決問題”這一數(shù)學模型的應用。同時，問題的解決過程鍛煉了學生的幾何直觀、空間觀念與推理能力，培養(yǎng)了學生的核心素養(yǎng)。

2. 體現(xiàn)小題聯(lián)系層級遞進的設問策略

命題者的設問充滿了智慧，體現(xiàn)了壓軸題層級遞進的設問策略。第（1）問要求“在圖中按比例畫出遇險漁船和甲搜救船的具體位置”，起點低，易于學生進入解題狀態(tài)。學生只需要根據(jù)方向與距離兩個元素確定具體位置即可。第（2）問基于第（1）問的畫圖基礎，實質(zhì)是借助“速度、時間、路程”這一數(shù)學模型，通過比較來解決問題。方法多樣、本質(zhì)相通，考查學生靈活解決問題的能力，體現(xiàn)了小題設問的螺旋上升。

3.重視知識運用潛能挖掘的評價方式

小學畢業(yè)考試作為一場總結(jié)與檢驗學生六年學習成果的考核，應考查學生運用知識解決問題的能力，考查學生繼續(xù)學習的潛在能力。例題看似熟悉常見，但知識間的融合巧妙，兩個問題的設計視角獨特。解決該問題時，不僅需要綜合運用平時的解題經(jīng)驗，而且需要充分運用數(shù)學理解能力。

4.突出數(shù)學實際應用價值的背景元素

數(shù)學源于生活，用于生活，特別是小學數(shù)學，更是充分體現(xiàn)了數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系。這道壓軸題的命題素材來源于生活實際問題，解決的也是與生活實際有關的問題。由此可見，融合多種生活元素，突出數(shù)學的實用價值應該是壓軸題的出題背景之一。

四、教學啟示

1.重視幾何直觀的培養(yǎng)

幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。

幾何基本圖形蘊含了豐富的數(shù)學性質(zhì)，它是數(shù)學研究的重要載體，是學生形成空間觀念的基礎。小學生的思維以具體形象思維為主，所以幾何直觀能力是積累小學經(jīng)驗性幾何知識的保證，是思考數(shù)學問題、發(fā)展數(shù)形結(jié)合思想的基礎，是學生必備的一種基本數(shù)學素養(yǎng)。通俗地講，幾何直觀就是看圖想題、讀題畫圖、借圖解題的策略與手段。小學高年級的數(shù)學教學中往往會有需要借助畫圖等方式來解決的數(shù)學問題，當然這個畫圖的需求可能是題中要求的，也可能是隱喻，需要學生內(nèi)化為自覺畫圖行為的。這都要求我們廣大一線教師在平時的教學中讓學生經(jīng)歷過程、熟悉步驟、積累充分的學習經(jīng)驗，重視圖形的變換，體驗圖形的運動，在頭腦中留下數(shù)形結(jié)合的表象。學生只有熟悉幾何直觀的應用，掌握問題研究的基本方法，才能游刃有余地面對復雜問題，并能自覺運用幾何直觀的方法解決新的數(shù)學問題。

2.重視數(shù)學建模的滲透

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在前言中指出，義務教育階段數(shù)學課程在呈現(xiàn)作為知識與技能的數(shù)學結(jié)果的同時，重視學生已有的經(jīng)驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構(gòu)建數(shù)學模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程。模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。

在數(shù)學模型建立時，需要對該模型進行歸納與消化;在運用模型解題時，需要在記憶中提取有效模型進行應用。歷年畢業(yè)考壓軸題都蘊含著豐富的教學資源，教師可以利用一些經(jīng)典的問題，加強數(shù)學模型思想的滲透，將知識、題型、解法歸類與模型化。比如例題中的比例模型、行程模型、幾何模型等，教師要使學生能辨認它屬于哪一類模型，或是由哪些基本模型復合而成，然后加以提煉，使解題有章可循，提升解題效率。這些經(jīng)歷有助于學生初步形成模型思想。在日常教學中，要設計有效的數(shù)學活動讓學生經(jīng)歷完整的建模過程，通過提煉模型→識別模型→理解模型→運用模型，促進學生在反思和感悟中形成模型思想，并內(nèi)化為自身的一種核心素養(yǎng)。

3.重視過程性分析的運用

思維具有過程性決定了思維的動態(tài)性，即問題的思維過程包含知識搜索及結(jié)論推理的過程。在知識搜索的過程中，結(jié)合結(jié)論推理得出相關結(jié)論，利用這些結(jié)論探索解題方法的分析方式即為過程性分析。

重視過程性分析，即在學習的過程中重視經(jīng)驗性知識的累積，并在解決問題的過程中經(jīng)歷提取經(jīng)驗性知識。學生在解決壓軸題時，往往會出現(xiàn)在限定的時間內(nèi)無法立刻破題的現(xiàn)象，這就需要搜集有用條件，進行分析與推理。這個過程就需要知識完備。比如，例題中出現(xiàn)比例尺，那就需要比例尺的知識完備。比例尺從類別上看有兩種，分別是數(shù)值比例尺與線段比例尺。這時，須結(jié)合題中信息，確定是哪種比例尺。比例尺從應用上看也有兩種，分別是求實際距離與求圖上距離。綜上分析，例題是根據(jù)已知的比例尺與實際距離求圖上距離，又涉及了“位置與方向”的綜合應用以及繪制簡易路線圖、方位圖等思維下枝。

4.重視學習習慣的養(yǎng)成

在數(shù)學學習過程中形成的意志品質(zhì)和學習習慣對學生今后的學習與處事都將產(chǎn)生深刻的影響。解題教學中，教師通過分析問題、預測結(jié)果、探尋方法、解答格式等程序，培養(yǎng)學生處理問題的預見能力、思維能力和意志力?！皣乐斔季S，規(guī)范表達”是學生日積月累才能養(yǎng)成的習慣，很難在短暫的復習階段做出明顯的改進，這就要求教師要在平時的教學中一點一滴地培養(yǎng)學生良好的思考和解題習慣，引導他們做到分析有條理、推理有依據(jù)、解題有過程，從而形成良好的思維品質(zhì)。

（責編 吳美玲）