數(shù)形結(jié)合視角下對運算律教學的思考

王娟

[摘 要]運算律貫穿于整個小學數(shù)學，也將運用于今后的數(shù)學學習中。數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的數(shù)學思想，可以有效地幫助學生理解數(shù)學知識，促進學生邏輯思維能力的發(fā)展。在運算律教學中，教師可通過以形相助、以形相輔、以形助思，促進學生把握運算本質(zhì)，幫助學生變通思維，提升思維深度。

[關(guān)鍵詞]運算律;數(shù)形結(jié)合;思考

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）29-0025-02

在小學階段，運算律貫穿于整個數(shù)學學習。比如，在看圖列式或解決問題中加法交換律和乘法交換律就得到了廣泛應用;進位加法中利用湊十法進行計算也需要加法結(jié)合律的支撐，除表內(nèi)乘法及整十整百數(shù)以外的乘法計算也都離不開乘法分配律的幫助。小學階段的運算律學習大致可分為三個階段。第一階段，學生結(jié)合具體的生活實例初步感受運算律，同時在解決問題和計算中不自覺地對運算律加以應用。第二階段，也就是四年級，將會系統(tǒng)地學習五個基本的運算律，探索并了解運算律。第三階段，將運算律及其運算法則遷移到小數(shù)和分數(shù)中進行應用。在北師大版四年級教材中，五個運算律的編排結(jié)構(gòu)基本一致，即“觀察算式—仿寫算式—解釋規(guī)律—表述規(guī)律—應用規(guī)律”。但學生在做題時對乘法結(jié)合律和乘法分配律的應用經(jīng)常出錯，說明學生對運算律的掌握僅僅停留在模仿階段，所以教師需要為學生提供合適的學習素材，比如圖形、實物、有趣的活動情境、適當?shù)膶W習方法等，讓學生有所觀、有所感、有所悟、有所思，親身經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展過程，形成良好的數(shù)學思維習慣。

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“數(shù)學中有一些重要內(nèi)容、方法、思想是需要學生經(jīng)歷較長的認識過程，逐步理解和掌握的，如分數(shù)、函數(shù)、概率、數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、模型思想等?！边@就明確了數(shù)形結(jié)合思想對于數(shù)學學習的重要作用。小學階段是數(shù)形結(jié)合思想形成的啟蒙和發(fā)展階段，因此，筆者思考：能不能利用數(shù)形結(jié)合的方法幫助學生理解運算律的本質(zhì)，進而合理有效地運用運算律呢？

一、以形相助，把握運算本質(zhì)

以加法交換律和乘法交換律為例，教材把它們放在一起呈現(xiàn)，例如出示幾組算式：

先讓學生觀察算式，仿寫算式，發(fā)現(xiàn)問題，然后舉出事例，說明解釋，確認發(fā)現(xiàn)。然而，能寫出100個這樣的算式，是不是就可以得出結(jié)論？筆者認為還是要結(jié)合加法的運算本質(zhì)來說。著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)源于數(shù)?！奔臃▽嶋H是數(shù)數(shù)的高級形式。在一年級的學習中，學生經(jīng)常會遇到這樣的題目：如下圖，一共有多少根小棒？

加法的本質(zhì)就是把多個數(shù)量合起來，因此有學生從左邊開始數(shù)起，列式為4+2=6，有學生從右邊開始數(shù)起，列式為2+4=6。不管從哪邊開始數(shù)，都是把這兩堆小棒合在一起，小棒的總數(shù)不變。如果小棒的堆數(shù)比較多，還可以進行結(jié)合，這就出現(xiàn)了加法的結(jié)合律。教材要求學生發(fā)現(xiàn)問題、得出猜想后再列舉生活中的事例驗證猜想，這是本末倒置的。仿寫的算式都符合規(guī)律，就代表所有的式子都符合規(guī)律了嗎？筆者認為，教材可以調(diào)整編排順序，把一年級的看圖寫算式放在前面，讓生活事例緊跟其后。算式只是表面現(xiàn)象，是表現(xiàn)形式，其本質(zhì)上還是如何數(shù)數(shù)。教材在加法結(jié)合律的編寫中也是同樣的問題，在這里就不多加贅述。

總之，以“形”助“數(shù)”，可促進學生有效把握數(shù)的本質(zhì)，加深數(shù)與形之間的聯(lián)系與溝通。

二、以形相輔，幫助思維變通

如果說加法是相同對象的運算，那么乘法就是不同對象之間的運算。雖然現(xiàn)在淡化了乘法意義的教學，比如3個6寫成兩個乘法算式：3×6，6×3;6個3也可以寫成3×6，6×3。雖然兩個式子的計算結(jié)果一樣，但表示的意義卻不一樣。因此，筆者認為僅僅觀察算式，仿寫算式就得出結(jié)論是不恰當?shù)?，還是要借助圖形或者實物來理解。教材出示了數(shù)椅子的情景圖：

在這里，乘法又回到了“數(shù)”，不管橫著看還是豎著看，椅子的總數(shù)不變，只是每個人數(shù)數(shù)的習慣不一樣。在解決問題時，教師可以引導學生先從數(shù)的方面去分析，進行抽象思維，再從形的方面去研究，進行形象思維。用“數(shù)”來表示“形”，以把握“形之屬性”，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，可有效發(fā)展學生的邏輯思維。

三、以形助思，提升思維深度

乘法分配律歷來是教學中的重點和難點。前面學習的運算律僅僅是同一種運算，而乘法分配律就涉及了加法和乘法兩種運算。

乘法分配律的字母表達式（a+b）×c=a×c+b×c很抽象，也很難理解，需要借助圖形和大量的生活例子幫助學生理解，促進學生自然構(gòu)建知識體系，只有這樣才能避免學生只會機械模仿，面對變式無從下手。教材創(chuàng)設(shè)了“貼了多少塊瓷磚？”這一情境，出示了兩組算式“3×10+5×10=（3+5）×10;4×8+6×8=（4+6）×8”，提出問題：觀察算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

筆者認為，這一情境可以分兩步呈現(xiàn)給學生，而且要結(jié)合乘法的意義來說明。先呈現(xiàn)給學生正面的墻面：

學生可以很直觀地看出瓷磚有藍色和白色兩種顏色，列算式的方法有很多種：

方法一：3×6+5×6=48，白色瓷磚每行有6塊，共3行，所以3×6表示3個6;藍色瓷磚每行有6塊，共5行，所以5×6表示5個6;3個6加上5個6就是8個6。

方法二：（3+5）×6=48，表示白色瓷磚有3行，藍色瓷磚有5行，一共有8行瓷磚。

方法三：8×6=48，瓷磚一共有8行，每行有6塊，所以就有8個6。

看來這三種方法都表明瓷磚的總數(shù)可以用8個6表示。引發(fā)學生思考：能不能寫出這樣的等式：（3+5）×6=3×6+5×6=8×6=48？在學生有所感悟的基礎(chǔ)上再出示側(cè)面的墻壁。

側(cè)面墻壁的瓷磚數(shù)量和正面墻壁的瓷磚數(shù)量的計算方法一樣。

方法一：3×4+5×4=32，白色瓷磚每行有4塊，共3行，所以3×4表示3個4;藍色瓷磚每行有4塊，共5行，所以5×4表示5個4;3個4加上5個4就是8個4。

方法二：（3+5）×4=32，白色瓷磚有3行，藍色瓷磚有5行，一共有8行瓷磚。

方法三：8×4=32，瓷磚一共有8行，每行有4塊，所以就有8個4。

引導學生思考：是不是也可以寫出等式（3+5）×6=3×6+5×6=48呢？單靠這兩組算式還不足以得出乘法分配律的公式，還需要大量生活事例的支撐才能抽象出乘法分配律的公式。但是通過這些式子，學生可以感受到，當出現(xiàn)相同乘數(shù)時都可以利用乘法的意義，最后歸結(jié)于求出幾個幾的運算。然后在學生有所感的前提下再要求他們應用“學校要給28個人的合唱隊買服裝，請算算買服裝要花多少錢？”，繼續(xù)思考能否寫出一組等式。

在大量素材的積累下，學生深刻理解了乘法分配律?？梢?，利用數(shù)形結(jié)合可以幫助學生化抽象為直觀，進而建立解決問題的數(shù)學模型，為學生的再創(chuàng)造和應用做好準備。

數(shù)形結(jié)合有助于發(fā)展學生的邏輯思維，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維，激發(fā)學生的創(chuàng)造性思維。正所謂“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休”，“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學教學中培養(yǎng)學生數(shù)學學習能力的重要方式。

（責編 黃春香）