數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

田永川

摘要：數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)的基本思想之一，是提高數(shù)學(xué)問題解決的準(zhǔn)確性和有效性的重要輔助思想。具體而言，數(shù)形結(jié)合就是將原始復(fù)雜和抽象的語言和邏輯轉(zhuǎn)換為簡單的圖形，將抽象圖形轉(zhuǎn)換為嚴(yán)密的數(shù)字，引導(dǎo)學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)問題并形成圖像分析思想。對此，本文從初中數(shù)學(xué)教科書開始入手。結(jié)合初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵問題，探索數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)問題解決中的具體應(yīng)用策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;初中數(shù)學(xué);應(yīng)用策略

掌握一定的數(shù)學(xué)思想是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是一個重要的解題思想，它可以幫助學(xué)生更便捷地解決問題。數(shù)形結(jié)合主要是使用數(shù)形之間關(guān)系的不斷轉(zhuǎn)化、對應(yīng)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的解答。

一、數(shù)形結(jié)合概念

數(shù)形結(jié)合就是利用數(shù)與形之間存在對應(yīng)關(guān)系，讓數(shù)和形進(jìn)行彼此轉(zhuǎn)化。在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，通過數(shù)形結(jié)合可以更便捷地解決許多問題。與此同時，許多知識都是抽象的，難以理解的。如果將數(shù)與形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，理解起來就會更加容易。它是初中數(shù)學(xué)課上的一種重要思維方法。運用這個思維方法實際上就是要檢驗結(jié)論和條件之間的關(guān)系[1]。將這種聯(lián)系用數(shù)軸或者圖形展示出來，可以解決有關(guān)幾何以及代數(shù)方面的問題，解題效率會更高，結(jié)果會更加精準(zhǔn)。數(shù)形結(jié)合就是既要將其代數(shù)意義分析透徹，也能將其中的幾何意義挖掘出來，這樣就能讓數(shù)量與空間結(jié)合起來，讓解題思路更加明朗。

二、數(shù)形結(jié)合法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

1.以“數(shù)”解“形”

就初中數(shù)學(xué)而言，“形”的主要特征是直覺性和形象性。但是，無論什么樣的東西都有優(yōu)點和缺點，“形”的缺點是缺乏精確性。如果某些圖形非常單一，在肉眼難 以找到規(guī)律的情況下，就要使用代數(shù)來分析和計算它。

例1：求直線y=x-2和拋物線y=x2+2x-2的交點坐標(biāo)。

分析：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)將拋物線和直線的草圖畫出來，從而能夠看出兩條曲線的交點為兩個，各自在第三與第四象限，然而，卻難以對點的具體坐標(biāo)加以確定，圖形非常直觀，但不是很精確。因此，應(yīng)該怎樣將此交點的坐標(biāo)求出來呢？借助于“數(shù)”就能夠有效地解決這一問題。由于交點同時在直線與拋物線上面，并且交點的坐標(biāo)還符合直線與拋物線的解析式，所以，可以分別將交點的橫、縱坐標(biāo)看成拋物線與直線解析式聯(lián)立的方程組的解，以此來實現(xiàn)。

立方程組，解得，;

因此，交點坐標(biāo)為（0，-2）與（-1，-3）。

通過以上例子能夠看出，在進(jìn)行解題過程中，運用“數(shù)”對“形”的問題不僅具有較高的準(zhǔn)確度，而且還發(fā)揮出了定量作用。

2.以形助數(shù)

幾何圖形在數(shù)學(xué)中的最大優(yōu)點是它具有直觀性且易于理解，因此在遇到“數(shù)形結(jié)合”思想時，就更偏好于“以形助數(shù)”的方法，利用幾何圖形解決相關(guān)不易求解的代數(shù)問題。幾何圖形直觀的運用于代數(shù)中主要表現(xiàn)在以下幾個方面：

（1）利用相關(guān)的幾何圖形輔助代數(shù)公式的記憶，例如：完全平方公式與平方差公式;

（2）利用數(shù)軸及平面直角坐標(biāo)系將一些代數(shù)表達(dá)式賦予幾何意義，通過構(gòu)造幾何圖形，進(jìn)而幫助求解相關(guān)的代數(shù)問題，或者簡化相關(guān)的代數(shù)運算。

例題如下：

將一根木棒放在數(shù)軸上，木棒的左端與數(shù)軸上的點A重合，右端與點B重合。

若將木棒沿數(shù)軸向右水平移動，則當(dāng)它的左端移動到B點時，它的右端在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為20;若將木棒沿數(shù)軸向左水平移動，則當(dāng)它的右端移動到A點時，則它的左端在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為5（單位：cm），由此可得到木棒長為多少cm。

解析：由題目和圖形可知，5～20cm之間的長度為15cm，而由上述題目條件（當(dāng)它的左端移動到B點時，它的右端在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為20;若將木棒沿數(shù)軸向左水平移動，則當(dāng)它的右端移動到A點時，則它的左端在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為5 （單位：cm），可知5-A=A-B=B-20，所以木棒AB的長度=15/3=5cm。

通過上述例題，我們發(fā)現(xiàn)了“數(shù)軸”以形助數(shù)的重要影響，同樣的，我們還可以借助“數(shù)軸”這個工具解決生活中的具體問題。

3.數(shù)形互助策略

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，我們經(jīng)常會遇到數(shù)量關(guān)系比較抽象的情況。例如，在不平等的研究中，這類問題的數(shù)量是抽象的，條件是抽象的，需要數(shù)字和形狀之間的有效合作來幫助學(xué)生建立具體的思維。突破解決問題的難度。

例如，在解不等式x-1≥-x²+2x+1這道題目時，已知條件比較抽象，只給了一個不等式，而且不等式中數(shù)量關(guān)系也比較抽象，學(xué)生在解題過程中難以找到切入口。因此，這就需要發(fā)揮數(shù)形兩者相互輔助的作用，利用圖形幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)字與已知條件的關(guān)系，利用數(shù)字規(guī)范圖形，保障圖形的準(zhǔn)確性。具體的解題思路，可將不等式拆分成兩個函數(shù)：y₁=x-1和y₂=-x²+2x+1，分別在直角坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖像，在圖像上分析滿足題目已知條件的圖像范圍，從而通過函數(shù)方程聯(lián)立，求出兩個函數(shù)交點坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)判斷具體的x值[2]。在這類題目的解決過程中，并不是單純地通過數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化來分析已知條件，而是需要數(shù)字與圖形之間的配合與幫助，發(fā)揮各自的特長，幫助學(xué)生從直觀的、形象的圖形中中找到解題方法。

總之，數(shù)形結(jié)合是一個重要的解題思想。數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和感官，對提高學(xué)生解決問題的能力起著重要作用。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該讓學(xué)生清楚數(shù)形結(jié)合的重要性，然后促使學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合規(guī)律，靈活運用它來解決問題，提高解決問題的速度與效率。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊海菲.數(shù)形結(jié)合的解題思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018 （07）：134

[2]唐凱.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化：教與學(xué)，2016 （10）.