基于緊致插值方法對(duì)氣動(dòng)制動(dòng)管路研究

(內(nèi)蒙古科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 內(nèi)蒙古 包頭 014010)

引言

隨著當(dāng)今工業(yè)產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展，人類對(duì)能源越來(lái)越依賴。在開(kāi)采資源的過(guò)程中，重型卡車是能源運(yùn)輸?shù)暮诵沫h(huán)節(jié)，重型卡車制動(dòng)性能亦成為主要的研究方向。為了減少事故的發(fā)生，需要提高制動(dòng)系統(tǒng)的制動(dòng)性能。重型卡車制動(dòng)力不足的主要原因之一就是管路泄漏。通過(guò)經(jīng)濟(jì)性和能源環(huán)境等諸多因素分析，氣動(dòng)制動(dòng)系統(tǒng)已經(jīng)成為重型卡車制動(dòng)力輸送的核心環(huán)節(jié)。

氣動(dòng)制動(dòng)管路中建立的氣體動(dòng)力學(xué)方程均為雙曲偏微分方程。由于計(jì)算雙曲偏微分方程較為復(fù)雜，并且考慮熱交換和摩擦等因素影響，解雙曲偏微分方程的理論解的過(guò)程需要大量的數(shù)學(xué)研究。賈對(duì)紅[1]通過(guò)解一類的雙曲型偏微分方程的混合問(wèn)題, 利用分離變量法得出非平凡的理論解。 熊君等[2]將半線性偏微分方程邊界條件進(jìn)行模糊處理，得到了有效的控制雙曲偏微分方程的邊界控制方法。趙洪鋪等[3]結(jié)合工程熱力學(xué)理論和流體數(shù)值模擬方法,提出了氣動(dòng)執(zhí)行部件在氣動(dòng)系統(tǒng)中的重要性，并且得到氣動(dòng)部件在實(shí)際參數(shù)變化范圍鋼管長(zhǎng)度、管徑和彎頭個(gè)數(shù)等因素對(duì)氣動(dòng)部件動(dòng)作時(shí)間的影響。牧彬等[4]通過(guò)充氣試驗(yàn)臺(tái)對(duì)管路充氣過(guò)程進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果表明,下流區(qū)域比例閥開(kāi)口變化對(duì)管路部分影響較大，當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間充氣則提高管路部分的疲勞壽命。為了提高管路部分研究的理論依據(jù)，通過(guò)把管路進(jìn)行網(wǎng)格化，在時(shí)間和空間上進(jìn)行差分計(jì)算，利用該研究方法得出研究管路中變量參數(shù)的理論狀態(tài)解。張順?shù)h等[5]通過(guò)對(duì)液壓滑閥的網(wǎng)格化分析，利用CFD方法證明了滑閥開(kāi)啟過(guò)程在仿真中的可靠性。張坤等[6]在研究毛細(xì)管力對(duì)非晶體聚合物的過(guò)程中，利用差分網(wǎng)格的方法，應(yīng)用潤(rùn)滑近似理論求解所建立的熱壓印控制方程,并對(duì)分析結(jié)果進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。HASHIMOTO K等[7]提供了網(wǎng)格的偏微分結(jié)構(gòu)來(lái)計(jì)算更大的管路壓力，但那樣近似只是用一階精度方法計(jì)算，并且時(shí)間解必須滿足較小值來(lái)避免產(chǎn)生分歧。緊致插值方法作為液壓的研究已經(jīng)相對(duì)成熟，通過(guò)緊致插值方法對(duì)流體內(nèi)部具體網(wǎng)格的分析精度得以大大提高。ZHAO等[8-9]在分析流體運(yùn)動(dòng)時(shí)，基于差分格式下的緊致插值方法解雙曲偏微分方程，通過(guò)圓柱繞流、堤壩實(shí)驗(yàn)等證明了利用緊致插值方法在流體的研究中精度更高，穩(wěn)定性更好。宋明彥[10]在論文中具體闡述了緊致插值方法的應(yīng)用過(guò)程，通過(guò)增加網(wǎng)格而就散時(shí)間不變的前提下，利用該方法計(jì)算偏微分方程，研究結(jié)果表明，不僅提高了時(shí)間研究精度，而且也提高了網(wǎng)格空間研究精度。HE L[11]用AMESim，Simulink和MORKS建立制動(dòng)模型和研究壓力特性，但是關(guān)于商業(yè)軟件包的算法是保密的，于是很難再應(yīng)用其對(duì)于不同需求的制動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行研究。桑勇等[12]通過(guò)ANSYS軟件分析大流量管路特性，而忽視了影響管路模型的內(nèi)在特征。因此，對(duì)于理論解下網(wǎng)格內(nèi)部高精度分析需要利用緊致插值方法來(lái)進(jìn)行進(jìn)一步的分析研究。

1 氣動(dòng)制動(dòng)管路模型建立

1.1 管路數(shù)學(xué)模型建立

在重型卡車的氣動(dòng)制動(dòng)系統(tǒng)中，一般管路直徑在4～12 mm范圍之內(nèi)，其管路長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于直徑。由于氣體具有可壓縮性，則視管內(nèi)氣體流動(dòng)為一維非定常流。在設(shè)計(jì)氣動(dòng)制動(dòng)系統(tǒng)的過(guò)程中，把管路部分作為獨(dú)立元件分析是非常重要的。圖1為一個(gè)簡(jiǎn)化后的氣動(dòng)制動(dòng)系統(tǒng)模型。

圖1 氣動(dòng)制動(dòng)管路模型

氣體由空氣壓縮機(jī)進(jìn)入氣囊，再由氣囊經(jīng)過(guò)管路通過(guò)減壓閥進(jìn)入制動(dòng)氣室。隨著減壓閥口的開(kāi)合，不斷進(jìn)入制動(dòng)氣室從而完成車輛制動(dòng)。

管路內(nèi)氣體流動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程主要是雙曲偏微分方程，具體方程如下：

1) 狀態(tài)方程式

p=ρRθ

(1)

式中，p—— 管路內(nèi)氣體壓力

ρ—— 氣體密度

θ—— 熱力學(xué)溫度

其描述了管路內(nèi)3種變量之間的狀態(tài)關(guān)系。

2) 氣體連續(xù)方程

依據(jù)氣體動(dòng)態(tài)特性，則氣體在管路中滿足氣體的連續(xù)方程、運(yùn)動(dòng)方程和能量守恒式。于是，可以描述為以下控制方程：

連續(xù)方程式：

(2)

式中，u—— 管路中氣體流動(dòng)速度。

連續(xù)方程是反映單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)出氣體微團(tuán)的質(zhì)量差與密度變化之間的關(guān)系。

3) 運(yùn)動(dòng)方程式

(3)

式中，D—— 管路直徑

λ—— 管路內(nèi)壁的摩擦系數(shù)

運(yùn)動(dòng)方程是反映氣體微團(tuán)的質(zhì)量和加速度與微團(tuán)所受外力的總和的關(guān)系。

4) 能量守恒式

(4)

式中，A—— 管路截面積

h—— 空氣與管壁間的傳熱率

e—— 單位質(zhì)量氣體的內(nèi)能

θα—— 大氣溫度

θ—— 空氣絕對(duì)溫度

質(zhì)量守恒式是反映氣體微團(tuán)在單位時(shí)間內(nèi)所吸收的總熱量與該微團(tuán)內(nèi)所存儲(chǔ)的總能量的變化與其所產(chǎn)生的壓力對(duì)外做功之間的關(guān)系。

上述氣體管路方程可以通過(guò)傳統(tǒng)一階迎風(fēng)差分方法計(jì)算出管路內(nèi)氣流在管路中任意點(diǎn)、任意時(shí)刻關(guān)于壓力、流速及密度的狀態(tài)值。由于考慮氣體的可壓縮性、管壁摩擦因素等影響，于是在分析管路內(nèi)氣柱的過(guò)程中其精度較高。

1.2 管路模型網(wǎng)格化

為了通過(guò)使用計(jì)算機(jī)對(duì)管路模型進(jìn)行仿真，需要采用迎風(fēng)格式對(duì)氣體運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)方程和能量守恒式進(jìn)行網(wǎng)格化。如圖2所示，對(duì)管路進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并在管路兩端加入虛擬參數(shù)邊框作為管路計(jì)算邊界條件。

圖2 管路網(wǎng)格劃分

1) 連續(xù)方程式

(5)

式中，i—— 管路等分編號(hào)

n—— 時(shí)間步數(shù)

Δx—— 空間步長(zhǎng)

2) 運(yùn)動(dòng)方程式

(6)

3) 能量守恒式

(7)

通過(guò)對(duì)管路的網(wǎng)格劃分，發(fā)現(xiàn)每個(gè)時(shí)刻所求的密度、壓力和溫度都需要上個(gè)時(shí)刻中所有相關(guān)的狀態(tài)變量的值。因此，計(jì)算管路各個(gè)步長(zhǎng)的狀態(tài)值需要每個(gè)狀態(tài)的初始條件，也就是在網(wǎng)格化后，0時(shí)刻的每一個(gè)狀態(tài)值。通過(guò)初始時(shí)刻的狀態(tài)值依次通過(guò)計(jì)算機(jī)推出下一個(gè)時(shí)刻狀態(tài)值。

2 緊致插值方法

2.1 緊致插值模型介紹

緊致插值方法是模擬流體變化的一種較為成熟的算法，主要應(yīng)用于流體內(nèi)部交叉和流體表面變化的復(fù)雜形狀的界面移動(dòng)問(wèn)題。當(dāng)遇到流體數(shù)值擴(kuò)散和不穩(wěn)定等問(wèn)題，需要對(duì)流體網(wǎng)格內(nèi)部信息得到更加準(zhǔn)確的數(shù)值。于是需要大量的網(wǎng)格應(yīng)用于計(jì)算仿真當(dāng)中。然而一階導(dǎo)數(shù)對(duì)于網(wǎng)格的分析精度較低，于是可以利用三次多項(xiàng)式進(jìn)行插值近似。其方法所得到的都是時(shí)間和空間上的三階精度的顯示穩(wěn)定格式。氣體作為一種特殊流體已經(jīng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)當(dāng)中，利用精度更高的方法作為研究氣體狀態(tài)的依據(jù)是非常有必要的。

下面公式為氣體的一般偏微分方程：

(8)

如果u是正數(shù)且為常數(shù)，則分析方法為f(t,x)=f(t-Δt,x-Δx)，這就意味著節(jié)點(diǎn)的值到下一個(gè)時(shí)間斷的值可以通過(guò)目前時(shí)刻的值獲得。下面給出一階差分格式其工作原理圖。

如圖3所示，其中圖3a～圖3c是迎風(fēng)差分格式的原理分析圖，通過(guò)原初始波在經(jīng)過(guò)uΔt后波之間的關(guān)系，由點(diǎn)與點(diǎn)之間的直線連接來(lái)展示函數(shù)情況的。而圖3d是緊致插值方法采用一種獨(dú)特的方式，在一個(gè)網(wǎng)格內(nèi)實(shí)現(xiàn)了高階差分格式，通過(guò)利用空間網(wǎng)格點(diǎn)的變量值及其空間導(dǎo)數(shù)值，來(lái)描述該網(wǎng)格內(nèi)的信息，可逼真地再現(xiàn)網(wǎng)格內(nèi)的信息，函數(shù)是通過(guò)uΔt形式進(jìn)行漂移的。

圖3 緊致插值工作原理

2.2 緊致插值原理

如果我們所知的(x-uΔt)是在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間，那么我們需要通過(guò)在兩節(jié)點(diǎn)間插值，即高精度的插值方程為：

f(x)=ai(x-xi-1)3+bi(x-xi-1)2+

(9)

上式中系數(shù)由下面方程得：

(10)

(11)

(12)

di=fi

(13)

于是可以得到下一個(gè)時(shí)間段函數(shù)值和其導(dǎo)數(shù)值：

(14)

(15)

對(duì)于一階迎風(fēng)差分格式來(lái)說(shuō)，利用直線的方式聯(lián)立相鄰2個(gè)節(jié)點(diǎn)的信息來(lái)工作，而忽略了網(wǎng)格內(nèi)部的信息，會(huì)導(dǎo)致較大的數(shù)值耗散。為了真實(shí)地再現(xiàn)網(wǎng)格內(nèi)部的信息，于是我們需要借助于緊致插值方法對(duì)氣動(dòng)制動(dòng)管路進(jìn)行分析。

3 數(shù)值仿真分析

3.1 數(shù)值算例

為了更好理解管路中使用緊致插值方法在氣動(dòng)制動(dòng)系統(tǒng)中管路差分格式下的研究過(guò)程，通過(guò)下面數(shù)值算例進(jìn)行說(shuō)明。選取管路長(zhǎng)度為20 m，將管路等分400份，管路內(nèi)徑為6 mm，時(shí)長(zhǎng)2 s，時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)為0.01 s。氣體從最左端進(jìn)入制動(dòng)系統(tǒng)管路部分。初始狀態(tài)，管路進(jìn)氣壓力為0.7 MPa，下流端為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓且管路中聲速流導(dǎo)C=0.5 dm3/(s·bar)。按照上述網(wǎng)格模型計(jì)算，我們計(jì)算任意管路空間步長(zhǎng)的狀態(tài)變量，需要設(shè)出2個(gè)端部的虛擬網(wǎng)格0和N+1。然而管路等400份，則最右端為401，由這兩個(gè)特殊的格子確定管路邊界條件。對(duì)于初始速度第0個(gè)格子壓力可設(shè)與第1個(gè)格子的相同，通過(guò)差分仿真分析求出最右端下流的速度，遵循下面計(jì)算流程圖計(jì)算求出各個(gè)狀態(tài)變量，如圖4所示。

圖4 數(shù)值計(jì)算流程圖

3.2 數(shù)值結(jié)果分析

如圖5～圖7所示，由數(shù)值仿真所得的差分格式中的理論參數(shù)值與緊致插值方法曲線擬合度很高，在0.4 s以前出現(xiàn)擬合度較低的原因是由于在數(shù)值分析過(guò)程中，進(jìn)氣時(shí)刻曲線梯度過(guò)大產(chǎn)生的階段性誤差。

圖5 理論壓力解與緊致插值方法對(duì)比圖

圖6 理論密度解與緊致插值方法對(duì)比圖

圖7 理論溫度解與緊致插值方法對(duì)比圖

利用MATLAB數(shù)學(xué)仿真，獲得了管路氣柱重要的狀態(tài)參數(shù)壓力、密度和溫度的數(shù)值圖，通過(guò)數(shù)值分析我們可以得到以下結(jié)論。

4 結(jié)論

通過(guò)利用緊致插值方法研究管路中的重要狀態(tài)參數(shù)，證明了利用緊致插值方法所分析的狀態(tài)值與差分格式理論值基本吻合，同時(shí)也證明緊致插值方法除了可以應(yīng)用于液體流體分析以外，同樣也可以應(yīng)用于氣體流體的領(lǐng)域，通過(guò)數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證了該方法在氣動(dòng)制動(dòng)管路分析中的可行性，為后續(xù)研究氣動(dòng)制動(dòng)系統(tǒng)提供了可靠的依據(jù)。